Dispense di matematica

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1 Giorgio Follo Dispense di matematica Analisi Matematica December 1, 2007

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3 Introduzione Queste dispense vogliono rappresentare un riassunto dei punti principali trattati nel corso. L intenzione è di dare agli studenti una guida attraverso i concetti più importanti del programma, talvolta non abbastanza evidenziati in una trattazione troppo meticolosa. È opportuno che lo studente abbia accanto a se un foglio mentre legge queste pagine, in modo da eseguire i conti che vengono impostati ma raramente eseguiti, proprio per non distogliere l attenzione dai concetti principali. Gli esercizi proposti nel corso dei capitoli sono astratti e piuttosto difficili e hanno anchessi lo scopo di stimolare nel lettore la formazione di una autonomia che lo svincoli da manuali e formulari. Gli esercizi di tipo compilativo sono invece raccolti al fondo di ogni capitolo. Dal momento che il lavoro è in corso e proseguirà di anno in anno, non è completo e non può sostituire interamente il libro di testo o peggio la frequenza al corso. Per il momento i capitoli possono presentarsi scoordinati e fare riferimento a risultati non compresi nelle dispense stesse. Asti, Ottobre 2007 Giorgio Follo v

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5 Indice Parte I Analisi 1 Funzioni convesse Introduzione Definizione e prime proprietà Rapporto incrementale Derivate di funzioni convesse Funzioni concave e flessi Esercizi Suggerimenti e soluzioni degli esercizi vii

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7 Parte I Analisi

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9 Capitolo 1 Funzioni convesse Sommario. - In questo capitolo studieremo le funzioni convesse, dal punto di vista della loro regolarità e cercheremo caratterizzazioni in termini di monotonia della derivata prima e di segno della derivata seconda. 1.1 Introduzione In parole povere le funzioni convesse e quelle concave sono sostanzialmente funzioni il cui grafico gira sempre dalla stessa parte. Sono quindi escluse quelle funzioni con un andamento oscillante. Ciò permette di ottenere vantaggi in termini di regolarità. L affermazione precedente può essere tradotta dicendo che le retta tangente al grafico ruota sempre nello stesso senso e quindi la derivata prima è monotona. Questo permetterà di concludere che la derivata seconda ha segno costante. Per tutto il capitolo f sarà una funzione a valori reali, definita su un intervallo aperto ]a,b[, a < b Definizione e prime proprietà Definiamo subito l oggetto di questo capitolo. Definizione. - Si dice che f è convessa se f (λx + (1 λ)y) λ f (x) + (1 λ) f (y) x,y ]a,b[ λ [0,1]. (1.1) Cerchiamo innanzitutto di dedurre qualche semplice proprietà qualitativa delle funzioni convesse, a partire dalla sola definizione. Esercizio Siano (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ) R 2 con x 1 < x 2. 3

10 4 1 Funzioni convesse Scrivere un equazione della retta passante per (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ). Siano λ R e x = λx 1 + (1 λ)x 2. Trovare y R tale che il punto (x,y) stia sulla retta passante per (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ). Dopo aver attribuito dei valori a (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ), disegnare l insieme s = {(x,y) R 2 x = λx 1 + (1 λ)x 2, y = λy 1 + (1 λ)y 2, λ [0,1]}. Osservazione 1. - Dall esercizio precedente e dalla figura si capisce il significato della definizione. Una funzione f è convessa se per ogni x, y il grafico della funzione tra x e y passa sotto al segmento di estremi (x, f (x)),(y, f (y)). Fig. 1.1 Tra x e y il grafico della funzione passa sotto il segmento di estremi (x, f (x)) e (y, f (y)). Esercizio Dimostrare che le funzioni x, 3x, x sono convesse mentre x, x, logx, cosx non lo sono Rapporto incrementale Esercizio Siano x,y,z R, con x < y < z. Trovare λ ]0,1[ tale che y = λx + (1 λ)z. Il prossimo lemma afferma che nelle funzioni convesse il rapporto incrementale aumenta se si spostano verso destra gli estremi nei quali viene calcolato. Lemma Le seguenti condizioni sono equivalenti: 1. f è convessa; 2. per ogni x,y,z con a < x < y < z < b si ha f (y) f (x) y x f (z) f (x) z x f (z) f (y) z y ; (1.2)

11 1.2 Definizione e prime proprietà 5 Fig. 1.2 Il rapporto incrementale calcolato tra x e y è la pendenza della retta passante per i punti (x, f (x)) e (y, f (y)). 3. per ogni x,y,z con a < x < y < z < b si ha f (y) f (x) y x f (z) f (y) z y ; (1.3) Dimostrazione. - Dimostriamo che la condizione 1) implica la 2). Siano x < y < z : allora possiamo porre y = λx + (1 λ)z per un opportuno valore di λ ]0,1[. Sostituendo nella prima frazione nella (1.2) e applicando la definizione si ottiene la prima disuguaglianza. Lo stesso per la seconda, partendo però dalla terza frazione. È ovvio che la 2) implica la 3); occorre provare che la 3) implichi la convessità di f. Siano x < z e λ ]0,1[ : si sostituisca y = λx+(1 λ)z nella (1.3) (tanto deve valere per ogni y ]x,z[ ) e si risolva la disequazione nell incognita f (λx + (1 λ)z) : si otterrà la condizione di funzione convessa. Esercizio Dimostrare che la funzione x 2 è convessa, mentre x 3 non lo è. Dimostrare che la funzione x 3 è convessa sull intervallo ]0,+ [. Esercizio Sia x 0 ]a,b[. Dimostrare che se f è convessa allora f (x) f (x 0 ) x x 0 f (y) f (x 0) y x 0 x,y ]a,b[ con x < y. (1.4) Viceversa dimostrare che se vale la (1.4) allora f è convessa.

12 6 1 Funzioni convesse 1.3 Derivate di funzioni convesse Applichiamo ora il Lemma 1.1 per dedurre quanto regolare debba essere una funzione convessa e soprattutto per ricavare una condizione più agevole di quella fornita dal lemma stesso. Teorema Se f è convessa allora è derivabile da destra e da sinistra su ]a,b[ e inoltre f (x 0 ) f +(x 0 ) x 0 ]a,b[. Dimostrazione. - Siano x 0,c,d ]a,b[ con c < x 0 < d e consideriamo la funzione g : [c,d] \ {x 0 } R, g(x) = f (x) f (x 0) x x 0. Nell Esercizio 1.5 si è visto che g è crescente e quindi è anche limitata da g(c) e g(d). Dunque esistono finiti f (x 0 ) = lim x x 0 g(x) e f +(x 0 ) = lim x x + 0 g(x). Sempre per il fatto che g è crescente è facile convincersi che f (x 0 ) f +(x 0 ) ; tuttavia la dimostrazione rigorosa di questo fatto è più tecnica e viene saltata. Esercizio Calcolare f (0) e f +(0) per f (x) = x. Corollario Le funzioni convesse sono continue. Dimostrazione. - Sia x 0 ]a,b[ : allora esiste finito f (x 0 ) = lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 e siccome il denominatore tende a 0, deve essere lim x x f (x) = f (x 0 ). 0 Nello stesso modo si vede che lim x x + f (x) = f (x 0 ), quindi lim x x0 f (x) = 0 f (x 0 ) e f è continua in x 0. Osservazione 2. - Se una funzione avesse una discontinuità, per esempio di tipo salto, in un punto x 0, allora in un intorno di x 0, il suo rapporto incrementale non potrebbe essere crescente, ne il suo grafico restare sotto la corda. Si veda la figura 1.4. Il Lemma 1.1 e l esercizio 1.5 ci dicono che il rapporto incrementale f (x + h) f (x) h è crescente rispetto ad h. Sempre il Lemma 1.1 ci dice però che tale quantità è crescente anche rispetto a x. Le funzioni convesse sono cioè funzioni che all aumentare di x aumentano sempre più rapidamente (o diminuiscono sempre più lentamente). Questo concetto è espresso in modo più rigoroso dal seguente teorema e dal successivo corollario.

13 1.3 Derivate di funzioni convesse 7 Fig. 1.3 Il rapporto incrementale non è limitato in prossimità del salto e quindi non può essere crescente su un intervallo che lo contenga. Teorema Supponiamo che f sia derivabile su ]a, b[. Allora f se e solo se f è crescente. è convessa Dimostrazione. - Supponiamo f convessa: siano x, y ]a, b[ e h, k R tali che x < x + h < y + k < y : per il Lemma 1.1 si ha f (x + h) f (x) h f (y + k) f (x + h) y + k x h f (y) f (y + k) k = f (y + k) f (y) k. Tali disuguaglianze sono valide per ogni h > 0 e k > 0, purchè valgano le condizioni imposte; passando al limite per h 0 + e ricordando che f è derivabile in x, si ha f (x) = f +(x) f (y + k) f (y). k Ripetendo il ragionamento per y e k (questa volta k 0 ) si ottiene f (x) f (y). Supponiamo ora f crescente: siano x,y,z ]a,b[ con x < y < z : per il teorema di Lagrange esistono t ]x,y[ e s ]y,z[ tali che f (y) f (x) = f (t)(y x) e f (z) f (y) = f (s)(z y). Ricordando che f è crescente si ha f (y) f (x) y x = f (t) f (s) = f (z) f (y) z y.

14 8 1 Funzioni convesse Ancora per il Lemma 1.1 abbiamo che f è convessa. Esercizio Dimostrare che una funzione derivabile se e solo se f (x) 0 x ]a,b[. f :]a, b[ R è crescente Corollario Supponiamo che f sia derivabile due volte su ]a,b[. Allora f è convessa se e solo se f (x) 0 x ]a,b[. Dimostrazione. - Si applichino il Teorema 1.2 e l Esercizio 1.7. Esercizio Dire in quali intervalli le funzioni x 4, x 5, sinx, tanx, arctanx, exp(x), logx, exp(x 2 ), exp( x 2 ) sono convesse. 1.4 Funzioni concave e flessi Definizione. - Si dice che f è concava se f è convessa. Esercizio Dire in quali intervalli le funzioni dell esercizio 1.8 sono concave. È necessario sostituire f con f? Definizione. - Si dice che x 0 ]a,b[ è un punto di flesso per f se valgono le seguenti condizioni: esiste r > 0 tale che f è convessa in ]x 0 r,x 0 [ e concava in ]x 0,x 0 + r[ o viceversa; f è derivabile in x 0 oppure è continua in x 0 e lim h 0 ( f (x+h) f (x))/h = + (o ). Osservazione 3. - Siano f derivabile due volte in ]a,b[ e x 0 ]a,b[ un punto di flesso. Supponiamo, per esempio, che f (x) 0 in un intorno sinistro ]x 0 r,x 0 [ e f (x) 0 in un intorno destro ]x 0,x 0 + r[. Per il teorema di Darboux deve essere f (x 0 ) = 0. Tuttavia la condizione f (x) = 0 non può, in generale, caratterizzare i punti di flesso, come mostrano i seguenti esempi. Esempio La funzione f (x) = x 4 di flesso, anche se f (0) = 0. è convessa su tutto R e quindi non ha punti Esercizio Calcolare f (x) e f (x) per f : R R { x f (x) = 4 sin 1 x x 0 0 x = 0. Esempio La funzione dell esercizio precedente è derivabile due volte su tutto R e f (0) = 0, ma non esiste nessun r > 0 tale che f sia concava o convessa sull intorno ] r,0[ o ]0,r[. Dunque 0 non è un punto di flesso per f. Si veda la figura 1.4

15 1.4 Funzioni concave e flessi 9 Fig. 1.4 la funzione f (x) = x 4 sin 1 x non è concava, ne convessa in nessun intorno destro o sinistro di 0, a causa delle infinite oscillazioni. Tuttavia f (0) = f (0) = 0. Esempio La funzione f (x) = 3 x ha un punto di flesso in 0, ma non è derivabile in quel punto. Esempio La funzione f :] 1,2 + 2[ R { 1 x 2 1 < x 1/ 2 f (x) = 2 2 2x x 2 1 1/ 2 < x < ha un punto di flesso in 1/ 2, ma è derivabile una sola volta in quel punto. Esercizi 1.1. Per ciascuna delle seguenti funzioni dire in quali intervalli sono convesse, in quali sono concave e trovare gli eventuali punti di flesso. e x2 3x+2, e x2 +3x 2, x 4 4x 3 +6x 2 34x+1281, x 4 4x 3 6x 2 34x+1281, 3x 5 10x 3 + ax + b a,b R Per ciascuna delle seguenti funzioni dire in quali intervalli sono convesse, in quali sono concave e trovare gli eventuali punti di flesso.

16 10 1 Funzioni convesse arctanx, xlogx, logx x, (x 1)(x 3), xe x Per ciascuna delle seguenti funzioni dire in quali intervalli sono convesse, in quali sono concave e trovare gli eventuali punti di flesso. 1 sinx 1 + cosx, x x 1, x Dire in quali intervalli è convessa la funzione { e x 1 f (x) = x x 0 0 x = Sia g(x) = 3x e sia f :]0,+ [ R definita nel seguente modo: per ogni x ]0,+ [, f (x) è l area del triangolo di vertici (0,0),(x,0),(x,g(x)). Dimostrare che f è convessa. Ripetere l esercizio con g(x) = 2e x.

17 Suggerimenti e soluzioni degli esercizi Suggerimenti Capitolo 1 Esercizi di supporto alla teoria 1.2 Per x ricordare la disuguaglianza trangolare del modulo. Per dimostrare che una funzione non è convessa basta trovare un caso in cui la (1.1) non funziona. 1.4 Applicare il Lemma 1.1 e ricordare i prodotti notevoli e la scomposizione in fattori. 1.6 Ricordare la definizione di x : x = 1.7 Applicare il teorema di Lagrange. { x x 0 x x < Considerare a parte f (0) e f (0). Si possono calcolare entrambe facendo il limite della derivata (prima o seconda) calcolata nei punti vicini? Perchè? Esercizi conclusivi 1.3 Per le singole funzioni: (a) Dopo aver calcolato la derivata seconda osservare che sinx e cosx sono sempre comprese tra 1 e 1. Fare attenzione al dominio della funzione (b) Come per l esercizio 1.6. Inoltre conviene limitarsi alla derivata prima. (c) Fare attenzione ai punti di non derivabilità. 11

18 12 Suggerimenti e soluzioni degli esercizi 1.4 Osservare che il numeratore della derivata seconda è strettamente crescente e si annulla in 0.