Materiale didattico relativo al corso di Matematica generale Prof. G. Rotundo a.a.2009/10

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1 Materiale didattico relativo al corso di Matematica generale Prof. G. Rotundo a.a.2009/10 ATTENZIONE: questo materiale contiene i lucidi utilizzati per le lezioni. NON sostituisce il libro, che deve essere comunque consultato per la preparazione degli argomenti corrispondenti. 1

2 Equazione di una retta che passa per i punti y x y x (x1,y1) e (x2,y2) = m y y y y = m = x x x x y y y y = x x x x y y y y = ( x x ) x2 x1 da cui da cui da cui y y2 y y1 x1 x x2 y y 2 1 y = ( x x1) + y1 x2 x1 2 x

3 Esempio y y 2 1 y = ( x x1) + y1 = mx + n x2 x1 m<0, n=0 m>0, n=0 m=0, n=0 3

4 y f(x) f(x0) x0 x x 4

5 Equazione della retta secante: y y y ( ) 2 1 y = x x1 + y1 = mx + n x2 x1 f( x) f( x0) y = ( x x0 ) + f ( x 0) x x 0 y2=f(x) y1=f(x0) x0 x x x1 x2 5

6 Equazione della retta secante: f( x) f( x0) y = ( x x0 ) + f ( x 0) x x 0 y y2=f(x) f(x)-f(x0) y1=f(x0) x-x0 x0 x x x1 x2 6

7 Equazione della retta secante: f( x) f( x0) y = ( x x0 ) + f ( x 0) x x 0 y y2=f(x) f(x)=f(x)-f(x0) y1=f(x0) x=x-x0 x0 x x x1 x2 7

8 Derivata di f in x0: è la pendenza della retta tangente a f in x0 f( x) f( x0) lim = f '( x0) x x x x 0 0 8

9 Esempio: calcolo della derivata di Calcolo f(x)=k f f( x) f( x0) k k 0 '( x) = lim = lim = lim = lim 0 = x x 0 x x 0 x x 0 x x x x x x x x

10 Esempio: calcolo della derivata di Calcolo f(x)=x f f( x) f( x0) x x = = = = 0 '( x0 ) lim lim lim1 1 x x0 x x x x0 x x0 0 x x 0 10

11 Esempio: calcolo della derivata di f(x)=ax Calcolo f( x) f( x0) ax ax a( x x ) f x = = = = a= a 0 0 '( ) lim lim lim lim 0 x x0 x x x x0 x x0 x x0 0 x x 0 x x 0 11

12 Esempio: calcolo della derivata di f(x)=x 2 Calcolo f 2 2 f( x) f( x0) x x0 '( x0 ) = lim = lim = x x x x x x0 x x0 0 0 ( x+ x )( x x ) = = x+ x = x 0 0 lim lim( 0) 2 0 x x0 x x x x0 0 12

13 La funzione derivata prima Il calcolo impostato per x0 si può ripetere per ogni x. La derivata prima in x è la pendenza della retta tangente alla curva che rappresenta il grafico della funzione in x. 13

14 Proprietà delle derivate D[f(x)g(x)]=f (x)g(x)+f(x)g (x) D[f(x)+g(x)]=f (x)+g (x) D[f(x)-g(x)]=f (x)-g (x) D[f(x)/g(x)]=[f (x)g(x)-f(x)g (x)]/[g(x) 2 ] 14

15 La funzione derivata seconda E la derivata della funzione derivata prima L operazione si può ripetere e si ottengono la derivata terza, quarta, ecc.; Ciascuna è una funzione, quindi ognuna ha il suo insieme di definizione; Può capitare che non esistano tutte sempre (esempio: la funzione valore assoluto in 0; radice di (x^2-1) per x=+1 e x=-1). 15

16 Esercizio: derivare le seguenti funzioni f f x ( x) = x x + 1 ( x) = x 1 Vd libro degli esercizi f 2 x ( x) = x

17 Crescenza e decrescenza

18 Funzione crescente in x0 x>x0 f(x)>f(x0) quindi x-x0>0 f(x)-f(x0)>0 Quindi [f(x)-f(x0)]/[x-x0]>0 f(x) f(x0) x0 x x<x0 --> f(x)<f(x0) f(x0) quindi f(x) x-x0<0 f(x)-f(x0)<0 Quindi [f(x)-f(x0)]/[x-x0]>0 x x0

19 Funzione decrescente in x0 x>x0 f(x)<f(x0) quindi x-x0>0 f(x)-f(x0)<0 Quindi [f(x)-f(x0)]/[x-x0]<0 f(x0) f(x) x0 x x<x0 --> f(x)>f(x0) quindi x-x0<0 f(x)-f(x0)>0 Quindi [f(x)-f(x0)]/[x-x0]<0 f(x) f(x0) x x0

20 Teorema (condizione necessaria per estremi) Enunciato: Se la f(x) ha un estremo relativo in un punto x0, interno all intervallo I, e se in tale punto essa è derivabile, allora f (x0)=0 Dimostrazione: segue dalle osservazioni precedenti applicando le proprietà dei limiti. [calcoli sulla lavagna; riferimento al libro di testo Blasi p.192] 20

21 Definizioni di funzione crescente o decrescente in un intervallo Una funzione si dice crescente in un intervallo se è crescente in tutti i punti di quell intervallo Una funzione si dice decrescente in un intervallo se è decrescente in tutti i punti di quell intervallo 21

22 Condizioni del primo ordine x=x massimo: m=0 x<x massimo: m>0 x>x massimo: m<0 22

23 Condizioni del primo ordine x=x minimo: m=0 x>x minimo: m<0 x<x minimo: m>0 23

24 y f(x) f(x0) x0 x x 24

25 y Retta tangente: yx ( ) = f'( x)( x x) + f( x) f(x0) +df f(x) f(x0) f(x0) + f f(x0) x f df Differenziale= =incremento dei valori della retta tangente x0 x x 25

26 Differenziale=incremento della retta nel passare da x0 a x Equazione della retta tangente. Da cui, sottraendo: yx ( ) = f'( x)( x x) + f( x) y( x ) = f '( x )( x x ) + f( x ) = f( x ) y( x) y( x0) = f ( x0) + f '( x x0) f ( x0) = f '( x x0) Da cui df = f '( x )( x x ) 0 0 Questa uguaglianza viene usata per definire il differenziale 26

27 Consideriamo di nuovo rettafunzione Sono circa uguali. Per avere l uguaglianza sommo un ulteriore termine. Lo chiamo R1: errore o resto f( x) = f( x ) + f '( x )( x x ) + R ( x) Da cui R ( x) = f( x) f( x ) f '( x )( x x ) lim R ( x) lim f( x) f( x ) f '( x )( x x ) = = x x x x 0 0 x x x x 0 0 = lim f( x) f( x0) f '( x0)( x x0) lim = f '( x0) f '( x0) = 0 x x x x x x0 0 x x0 0 27

28 La formula di Taylor La formula di McLaurin coincide con la formula di Taylor per x0=0 Proprietà del resto " (3) ' f ( x0) 2 f ( x0) 3 f( x) = f( x0) + f ( x0)( x x0) + ( x x0) + ( x x0) ! ( n) f ( x0 ) ( 0 ) n + x x + Rn n! ( n) f () c ( 0 ), n Rn = x x c ( x0, x) oc ( x, x0) n! R 1 è il resto di ordine 1 della formula di Taylor. 28

29 Combinazione lineare convessa Osservo che la distanza tra a e x è data da (x-a) e che la distanza tra a e b è data da (b-a). Chiamiamo l il quoziente tra le due distanze: (x-a)/(b-a)=λ, con λ (0,1) per considerare x (a,b) Da cui, moltiplicando, con x-a= λ (b-a) e quindi x=a+ λ(b-a) a x b Se, invece di a e b, considero i punti x1 ed x2 ottengo, sostituendo x1=a e x2=b: x=x1+ λ(x2-x1) x1 con λ (0,1) per considerare x (x1,x2) x x2 29

30 Funzione convessa: tra x1 e x2 la funzione è al di sotto della retta secante Consideriamo ora una funzione f(x), definita sull intervallo. Poiché x=x1+ λ(x2-x1) si ha che f(x)=f( x1+ λ(x2-x1) ) Considero ora il segmento verticale da f(x1) a f(x2). Un punto y su questo segmento verticale, con lo stesso ragionamento, si può scrivere y=f(x1)+ λ(f(x2)-f(x1)) = f(x2) =(1- λ) f(x1)+λf(x2) f(x1) Quindi esprimere y>f(x) significa, f(x) sostituendo: (1- λ) f(x1)+λf(x2) >f( x1+ λ(x2-x1) ) x1 y x x2 30

31 Funzione concava: tra x1 e x2 la funzione è al di sopra della retta secante Consideriamo ora una funzione f(x), definita sull intervallo. Poiché x=x1+ λ(x2-x1) si ha che f(x)=f( x1+ λ(x2-x1) ) Considero ora il segmento verticale da f(x1) a f(x2). Un punto y su questo segmento verticale, con lo stesso ragionamento, si può scrivere y=f(x1)+ λ(f(x2)-f(x1)) = f(x2) =(1- λ) f(x1)+λf(x2) f(x1) Quindi esprimere y<f(x) significa, f(x) sostituendo: (1- λ) f(x1)+λf(x2) <f( x1+ λ(x2-x1) ) x1 y x x2 31

32 Concavità e convessità:caratterizzazione mediante la derivata seconda Si può dimostrare che f (x0)>0 funzione convessa f (x0)<0 funzione concava 32

33 Flessi a tangente obliqua Riscrivo la formula di Taylor " (3) ' f ( x0) 2 f ( x0) 3 f( x) = f( x0) + f ( x0)( x x0) + ( x x0) + ( x x0) ! ( n) f ( x0 ) ( 0 ) n + x x + Rn n! ( n) f () c ( 0 ), n Rn = x x c ( x0, x) oc ( x, x0) n! La formula di Taylor arrestata al II ordine diventa: 33

34 Funzioni affini e combinazioni Vd libro di testo lineari convesse 34

35 Condizioni del II ordine Vedi testo 35

36 Lezione del 23/10 36

37 Elementi utili per quanto segue: Teorema di Weierstrass: ogni funzione continua in [a,b] è dotata di massimo, minimo ed assume tutti i valori tra il minimo ed il massimo; Condizioni del primo ordine: se f(x) è derivabile in (a,b) massimi e minimi in (a,b) si ottengono in corrispondenza dei punti stazionari (quando la derivata prima è nulla). 37

38 Esempi Condizioni del I ordine verificate a b Condizioni del I ordine NON verificate a 38 b

39 Teorema di Rolle (p.195) Ipotesi: data una funzione 1. continua in [a,b] 2. Derivabile in (a,b) 3. f(a)=f(b) allora Tesi: esiste almeno un punto a<c<b in cui la derivata prima si annulla (f (c) =0 ) 39

40 Dimostrazione Primo caso: f(x)=k, costante. Questa funzione verifica tutte le ipotesi. Abbiamo già calcolato precedentemente che la derivata di una funzione costante è uguale a 0. Quindi la derivata della funzione è nulla in ogni punto inm (a,b). Basta scegliere un punto a<c<b qualisasi per avere la tesi. 40

41 Secondo caso: funzione non costante Utilizzo l ipotesi 1 (che la funzione è continua in [a,b]), quindi per il Teorema di Weierstrass è dotata sia di minimo che di massimo Utilizzo l ipotesi 3: i cui valori non coincidono (altrimenti sarebbe costante) e non possono cadere entrambe agli estremi dell intervallo, altrimenti coinciderebbero (f(a)=f(b) per ipotesi). Quindi almeno uno dei due valori (minimo o massimo) deve cadere in un punto interno dell intervallo Utilizzo l ipotesi 2: ed in tale punto (per la condizione necessaria del primo ordine) la derivata è 41 nulla.

42 Elementi utili per la dimostrazione che segue: Equazione della retta per due punti (x1,y1) e (x2,y2) y y 2 1 y = ( x x1) + y1 = mx + n x2 x1 Se i punti sono dati da (a,f(a)) e (b,f(b)) devo sostituire x1=a;y1=f(a);x2=b;y2=f(b), Quindi y=[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)+f(a) 42

43 Teorema di Lagrange (p.196) Ipotesi: data una funzione 1. continua in [a,b] 2. Derivabile in (a,b) allora Tesi: esiste almeno un punto a<c<b tale che f(b)-f(a)=f ( c ) (b-a) 43

44 Dimostrazione f(b) Scriviamo l equazione della retta secante nei punti f(a) di ascisse a e b e la chiamiamo g(x): g(x)=[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)+f(a) Consideriamo F(x)=f(x)-g(x). Calcolo a =0 b F(a)=f(a)-g(a)=f(a)-{[(f(b)-f(a))/(b-a)](a-a)+f(a) }= =f(a)-f(a)=0 F(b)=f(b)-g(b)=f(b)-{[(f(b)-f(a))/(b-a)](b-a)+f(a) }= =f(b)-{(f(b)-f(a))+f(a)}=f(b)-f(b)=0 44

45 Considero F(x) Utilizzo ipotesi 1: È continua in [a,b] perché somma di funzioni continue Utilizzo ipotesi 2: È derivabile in (a,b) perché somma di funzioni derivabili Abbiamo verificato che F(a)=F(b) Queste sono le ipotesi del teorema di Rolle, quindi lo applico a F(x): discende la tesi che esiste almeno un punto intermedio a<c<b in cui F (c ) )=0 Osserviamo ora cosa vuol dire. 45

46 F (c )=0 F (c ) = f ( c )- g (c ) = = f ( c ) [(f(b)-f(a))/(b-a)=0 Quindi f ( c ) =(f(b)-f(a))/(b-a) c.v.d. 46

47 f(b) f(a) a Geometricamente: esiste almeno un punto c in cui la pendenza della retta tangente è uguale a quella della secante da (a,f(a)) a (b,f(b) b

48 Funzione infinitesima Funzione infinita Infinitesimo campione Infinito campione Infinitesimo di ordine superiore ad n

49 Teorema di de l Hopital Vedi testo pp