PENDENZA (ripasso classe II)

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1 PENDENZA (ripasso classe II) Vediamo di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la pendenza indicata in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna. La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali. Una pendenza del 1 % a il seguente significato geometrico : La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza = 1 % = 1 / 1 =,1. Se il cateto verticale fosse di 1 metri come quello orizzontale, la pendenza sarebbe del 1 %, ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di 45 : Col crescere del cateto verticale si anno pendenze sempre maggiori fino all'infinito. Per esempio, una pendenza del 7 %, ovvero uguale a 7, significa : Si noti ce col crescere della pendenza, l'angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre più a 9. Quando l'angolo alla base sarà di 9, la pendenza sarà infinita. La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale. Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di quest'ultima tracciando la tangente alla curva nel punto specificato : Nel grafico, la curva rappresenta la funzione y = f(). La pendenza della curva nel punto P è la pendenza della retta tangente alla curva tracciata nel medesimo punto P. Punto per punto, la pendenza in generale è diversa : Nell' esempio, in P è positiva, in Q è nulla (la retta tangente è orizzontale) ed in R è negativa.

2 DERIVATA La pendenza di una curva in un punto si ciama derivata della funzione in quel punto. Per trovare la pendenza di una curva in un punto occorre quindi trovare la pendenza della retta tangente (coefficiente angolare) alla curva in quel punto. RAPPORTO INCREMENTALE Consideriamo una funzione f () y definita in un intervallo a; b e sia f ( ) P un punto del ; grafico della funzione, con la condizione ce sia un valore interno all intervallo, cioè a b. Indiciamo con un numero positivo o negativo in modo ce sia verificata la condizione a; b. I valori ce la funzione assume nei punti e sono rispettivamente f ( ) e f ( ). Si dice incremento della variabile indipendente nel passaggio dal punto al punto quantità : ( ) la Si dice incremento della variabile dipendente y=f() relativo all incremento e al punto la quantità : y f ) f ( ) Graficamente si a: y ( Q s Si dice rapporto incrementale della funzione y f() relativo al punto di ascissa e all incremento la quantità: P y f ( ) f( ) O a b SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL RAPPORTO INCREMENTALE Ricordando ce il coefficiente angolare di una retta è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la yq yp differenza delle ascisse di due punti qualunque della retta, cioè m e prendendo in considerazione i due punti P ; f e Q f ( ; (, punti d intersezione della curva con la retta secante s risulta ce: yq yp y f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) m. Q P Q P Ossia: il rapporto incrementale di una funzione nell intorno di un suo punto è il coefficiente angolare della retta secante passante per il punto dato e per il punto di ascissa incrementata.

3 DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN SUO PUNTO Si ciama derivata della funzione y f() nel suo punto di ascissa il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale della funzione al tendere a zero dell incremento della variabile, ossia : f ( ) f ( ) lim. La derivata della funzione y f () nel punto di ascissa si suole indicare con una qualunque delle seguenti notazioni: y ), f ). ( ( Può darsi ce, pur non esistendo il limite per ce tende a zero del rapporto incrementale, esista e sia finito tuttavia il limite a desta o il limite a sinistra, questi si ciameranno allora, rispettivamente, derivata destra e derivata sinistra della funzione y f () in, e si rappresenteranno con i simboli f ( ) e f ), si a quindi, per definizione: ( f( ) f() f () lim e f( ) f() f() lim. Una funzione si dice derivabile in un punto se esiste la derivata della funzione in quel punto. Quindi affincè una funzione sia derivabile in un punto si devono verificare le tre seguenti condizioni: 1) La funzione sia definita in un intorno del punto ) Esista il limite del rapporto incrementale relativo a per ce tende a zero ) Tale limite sia finito Una funzione si dice derivabile in un intervallo (a;b) se è derivabile in tutti i punti dell intervallo (a;b). SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA Partendo dal significato geometrico del rapporto incrementale e osservando ce al tendere di a zero, il punto Q tende a P e la retta secante, passante per i punti P e Q, tende a disporsi tangente alla curva nel punto P, si può affermare ce: la derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva in quel punto. Graficamente si a: y t Q s P O a b

4 DERIVATA ESERCIZI ESEMPIO. 1 Calcolare la derivata della funzione f()= nel punto =1 = 1 + = 1 + f( ) = f(1) = 1 f( +) = f(1+) = (1+) = 1++ f( +) - f( ) = = - = (+) La derivata riciesta è data dal limite del rapporto incrementale: ESEMPIO. : Calcolare la derivata della funzione y = nel punto = -1 Se la derivata viene calcolata in un punto generico (variabile) essa è funzione di tale punto e si dice: FUNZIONE DERIVATA PRIMA. Esempio: Calcolare la derivata prima della funzione: y f ( ) 5 y f ( ) f ( ) R i 5 ( ) ( ) lim R i ' f ( ) lim( ) Calcolata la funzione derivata prima, per calcolare la derivata della funzione in un punto qualsiasi basta sostituire in valore della variabile indipendente corrispondente a quel punto. Per la funzione precedentemente calcolata si a: ESERCIZI: Calcolare la derivata della funzione f()= nel punto =-1 (soluzione: -7) Calcolare la derivata prima della funzione y 7 nel punto Calcolare la derivata prima della funzione y 5 nel punto di ascissa =

5 REGOLE DI DERIVAZIONE Funzione Derivata Esempio y=k La derivata di una costante è uguale a y'= y=5 y = y= α y =α α-1 y= y = y=f()+g() y=f()g() y=kf() y=f()/g() y=f() α La derivata della somma algebrica di due funzioni derivabili è uguale alla somma algebrica delle derivate delle funzioni stesse. La derivata del prodotto di di due funzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda aumentato del prodotto della prima funzione per la derivata della seconda. La derivata del prodotto di una costante per una funzione a come derivata il prodotto della costante per la derivata della funzione La derivata del quoziente di due funzioni derivabili è uguale ad una frazione ce a per denominatore il quadrato della funzione divisore e per numeratore il prodotto tra la derivata del dividendo e il divisore diminuito del prodotto del dividendo per la derivata del divisore. La derivata della potenza di una funzione è uguale al prodotto dell esponente α per la funzione elevata ad α-1 per la derivata prima della funzione stessa y'=f'()+g'() y'=f'()g()+f()g'() y= +-4 y'=+1 y= +5-4 y'=6+5 y'=kf'() y=5 y' f '( ) g( ) f ( ) g'( ) g( ) y =αf() α-1 f () y'=1 ESERCIZI: 1) y 7 ) y 4 5 ) 7 y 4) 5) y 6) 5 9) ( 5)( 1) y 7) y 1 4 y 1) y 1 11) y 5 1 8) y 4 y ) y 5 1) y 14) 1 4 y 15) y 1 16) y 17) y 18) y 19) y 5 ) y 1) 1 y ) y 5 ) y 4) 1 y 5) 5 4 y 6) y 5 7) y 5

6 FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI Si dice ce una funzione y=f() definita in un intervallo (a;b) è monotona crescente se 1, ( a; b), se 1 f ( 1 ) f ( ) decrescente se ( a; b), se f ( ) f ( ) 1, 1 1 Teorema Data una funzione y=f() continua in un intervallo (a;b) e derivabile nei suoi punti interni, se la derivata prima della funzione è sempre positiva allora la funzione è crescente in (a;b); se la derivata prima della funzione è sempre negativa allora la funzione è decrescente Se ( a; b) f '( ) f f ( ) è crescente in ( a; b) Se ( a; b) f '( ) p f ( ) è decrescente in ( a; b) e viceversa ESERCIZIO Determinare gli intervalli di monotonia della funzione y 1 Si calcola la derivata prima: y' 4 Si studia il segno della derivata prima: y ' Si rappresenta il segno della derivata prima sulla retta reale: 4 Ne segue ce: per la derivata prima è positiva, quindi la funzione è crescente 4 per la derivata prima è negativa, quindi la funzione è decrescente 4 per la derivata prima è positiva, quindi la funzione è crescente 4 MASSIMI E MINIMI MASSIMI E MINIMI RELATIVI -una funzione f() si dice ce a un massimo relativo in o D, se è possibile determinare l'intorno completo I di o tale ce per ogni I risulti: f() f ( o ) -una funzione f() si dice ce a un minimo relativo in o D, se è possibile determinare l'intorno completo I di o tale ce per ogni I risulti: f() f( o )

7 MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI -Una funzione definita in un intervallo si dice ce a un massimo assoluto in o se per ogni dell'intervallo risulti: f() f ( o ) ; -Una funzione definita in un intervallo si dice ce a un minimo assoluto in o se per ogni dell'intervallo risulti: f() f ( o ). PUNTI STAZIONARI Si ciamano stazionari quei punti nei quali la derivata è uguale a zero. I punti stazionari possono essere punti di: massimo relativo minimo relativo flesso a tangente orizzontale. 1. Un punto di ascissa si dice di massimo relativo se in esso la derivata prima si annulla e la derivata della funzione in un suo intervallo sinistro è maggiore di ( funzione crescente), mentre in un suo intervallo destro è minore di zero ( funzione decrescente). Nel punto di ascissa la retta tangente alla curva è parallela all asse delle ascisse.. Un punto di ascissa si dice di minimo relativo se in esso la derivata prima si annulla e la derivata della funzione in un suo intervallo sinistro è minore di ( funzione decrescente), mentre in un suo intervallo destro è maggiore di zero ( funzione crescente). Nel punto di ascissa la retta tangente alla curva è parallela all asse delle ascisse.. Un punto di ascissa si dice di flesso a tangente orizzontale se in esso la derivata prima si annulla e la derivata sia in un intervallo destro di in uno sinistro non cambia segno ( la funzione sia prima ce dopo a sempre lo stesso andamento crescente o decrescente

8 Per trovare, invece, i punti di massimo e minimo assoluto di una funzione definita in un intervallo I determiniamo gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo nell'intervallo I calcoliamo inoltre i valori della funzione in tali punti, se dall'andamento della funzione non riusciamo a stabilire se sono ance punti di massimo o minimo assoluto; calcoliamo i valori della funzione negli estremi di I confrontiamo i valori della funzione ottenuti: - il minimo assoluto è nel punto corrispondente al valore minore, - il massimo assoluto è nel punto corrispondente al valore maggiore PUNTI DI NON DERIVABILITA Abbiamo già ribadito ce non necessariamente la derivata esiste: ciò è legato all'esistenza (finita!!!) del limite del rapporto incrementale: Possono quindi verificasi diversi casi ce vengono raggruppati in specie: Se la funzione y=f() non è derivabile in = percé la derivata destra e la derivata sinistra sono finite ma diverse tra loro si parla allora di punto angoloso In questo caso ci sono una semiretta tangente sinistra e una semiretta tangente destra. Se la funzione y=f() non è derivabile in = percé la derivata destra è e quella sinistra ( o viceversa) si parla allora di cuspide In questo caso (pendenza infinita) la retta tangente a equazione = ed è parallela all asse y. Se la funzione y=f() non è derivabile in = percé il limite del rapporto incrementale (derivata) è si parla allora di punto di flesso a tangenza verticale In questo caso (pendenza infinita) la retta tangente a equazione = ed è parallela all asse y.

9 ESERCIZIO-1 Dato il grafico della funzione: Individua quello della sua derivata:

10 Dato il grafico della derivata: ESERCIZIO- Individua quello della funzione corrispondente: In quali intervalli le seguenti funzioni anno la derivata positiva? In quali nulla? In quali negativa? y ' y ' y ' y ' y ' y '

11 REGOLE DI DE L HOPITAL: Applicazione alle forme indeterminate Questa regola e' molto utile e si puo' applicare a tutte le forme indeterminate del tipo f ( ) Se o ce lim c g ( ) allora per calcolare il limite posso sostituire alle due funzioni le loro derivate f '( ) lim c g'( ) stessa cosa con ( 4) Esempio: consideriamo un limite lim Tale limite si presenta nella forma ( ) Sostituiamo al numeratore ed al denominatore le loro derivate: La derivata di -4 e' La derivata di - e' 1 quindi posso calcolare lim 4 1 e DERIVATA SECONDA Si dice ce la funzione y=f() è: convessa (o ce volge la concavità verso l'alto) nel punto se esiste un intorno I in cui il grafico non è mai al di sotto della retta t tangente al grafico nel punto P. concava (o ce volge la concavità verso il basso) nel punto se esiste un intorno I in cui il grafico non è mai al di sopra della retta t tangente al grafico nel punto P. Per definizione i punti di flesso sono quei punti in cui la curva cambia concavità passando da concava a convessa (o viceversa) con continuità;di conseguenza la funzione f''() passerà da un valore positivo ad uno negativo (o viceversa) Introduciamo pertanto il calcolo della derivata seconda ed enunciamo i seguenti teoremi: TEOREMA a.se f''( )> la funzione a la concavità verso l alto in ; b.se f''( )< la funzione a la concavità verso il basso in ; c.se f''( ) = la curva a nel punto P (,f( )) un flesso.

12 Nel Punto di Flesso la Derivata seconda si annulla, mentre la Derivata prima può avere vari comportamenti. Un punto di flesso può essere: A tangente orizzontale se la tangente nel punto P è parallela all asse delle ascisse ( in questo caso la derivata seconda = e la derivata prima=) A tangente verticale se la tangente nel punto P è parallela all asse delle ordinate ( in questo caso la derivata seconda = e la derivata prima tende ad infinito) A tangente obliqua se la tangente nel punto P non è parallela agli assi ( in questo caso la derivata seconda = e la derivata prima a un valore qualsiasi) CALCOLO DELLE ORDINATE DEGLI EVENTUALI PUNTI DI FLESSO Basta sostituire una alla volta le ascisse dei punti di flesso nell'equazione della curva e ricavare l'ordinata corrispondente. LA PARABOLA E LA CONCAVITA L anno scorso abbiamo studiato ce il segno del termine a (coefficiente numerico del termine di secondo grado) determina la concavità della parabola. Dimostriamo questo alla luce di quanto appena studiato y a b c Per stabilire la concavità è necessario calcolare la derivata seconda: y' a b '' y a Quindi la parabola a la concavità verso l alto se a a

13 DOMANDE DI MATEMATICA per l interrogazione orale di ripasso CLASSE V 1) Enuncia la definizione di funzione ) Spiega come si classificano le funzioni motivando le risposte ) Come si stabilisce se un punto appartiene ad una funzione? 4) Ce cosa si intende per dominio di una funzione? 5) Ce cosa si intende per codominio di una funzione? 6) Spiega come si calcola il dominio di una funzione razionale intera motivando la risposta 7) Spiega come si calcola il dominio di una funzione razionale fratta motivando la risposta 8) Spiega come si calcola il dominio di una funzione irraz. intera pari motivando la risposta 9) Spiega come si calcola il dominio di una funzione irraz. intera dispari motivando la risposta 1) Spiega come si calcola il dominio di una funzione irraz. fratta pari motivando la risposta 11) Spiega come si calcola il dominio di una funzione irraz. fratta dispari motivando la risposta 1) Spiega quale ragionamento occorre fare per scrivere una funzione ce a CE: 1) Spiega come si trovano le intersezioni con gli assi 14) Spiega come si trova il segno di una funzione 14) A cosa serve il calcolo dei limiti? 15) Spiega graficamente quali sono i quattro tipi di limiti e i vari sottocasi? 16) Parla del limite della somma di due funzioni: enuncia il teorema e spiega ce cosa capita a seconda dei risultati di l 1 e l 17) Parla del limite del prodotto di due funzioni: enuncia il teorema e spiega ce cosa capita a seconda dei risultati di l 1 e l 18) Parla del limite del quoziente di due funzioni: enuncia il teorema e spiega ce cosa capita a seconda dei risultati di l 1 e l 19) Dimostra con un esempio numerico ce il limite per di una funzione razionale intera è uguale al limite del suo termine di grado massimo ) Spiega i tre tipi di forme indeterminate studiate 1) Come si calcola il grado di un polinomio? ) Parla degli asintoti: definizione, condizione, esempi algebrici e grafici ) Spiega quale ragionamento devi fare per scrivere una funzione ce a A.V. = 4) Spiega quale ragionamento devi fare per scrivere una funzione ce a A.O. y= 5) Se una funzione a dominio illimitato, a sicuramente un asintoto orizzontale? 6) Se una funzione a un asintoto orizzontale deve avere dominio illimitato? 7) Una funzione può intersecare l asintoto orizzontale? E quello verticale? 8) Quando una funzione si dice continua? 9) Parla delle discontinuità? ) Parla del rapporto incrementale: definizione e suo significato geometrico 1) Qual è la definizione di derivata ) Qual è il significato geometrico della derivata prima? ) Quando una funzione si dice derivabile? 4) Parla dei punti stazionari (massimi,minimi e flessi a tangente orizzontale) 5) Percé in un punto stazionario la derivata prima è nulla? 6) All interno dello studio di funzione ce informazioni fornisce la derivata prima? 7) Quando una funzione si dice crescente e quando si dice decrescente? 8) Ce cosa sono gli intervalli di monotonia? 9) Enuncia le regole di derivazione? 4) Quando una funzione si dice derivabile? 41) Quali informazioni permette di ricavare la derivata seconda? 4) La funzione f() a derivata seconda f '' 6 : ce informazioni ricavi? 4) Ce cos è un punto di flesso? Ce tipi di flesso ci sono? 44) Quali sono i passi da seguire per fare lo studio di una funzione? 45) Quando una funzione si dice pari? Quando si dice dispari?

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