APPUNTI DI MATEMATICA: I limiti e la continuità Le derivate. Prof. ssa Prenol R.

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1 APPUNTI DI MATEMATICA: I iti e la continuità Le derivate Prof. ssa Prenol R.

2 INTERVALLI e INTORNI Definizione di intervallo: è un sottoinsieme di numeri reali e può essere - ilitato: graficamente viene rappresentato da una semiretta - itato: graficamente corrisponde ad un segmento a b a; b Intervallo chiuso a b a; b Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra a b a; b Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra a b a; b Intervallo aperto a a ; Intervallo chiuso ilitato superiormente a a ; Intervallo aperto ilitato superiormente a ;a Intervallo chiuso ilitato inferiormente a ;a Intervallo aperto ilitato inferiormente Defininizione di intorno: Intorno completo: dato un numero reale si dice intorno completo di un qualsiasi intervallo aperto contenente : Intorno circolare: è l intervallo aperto avente centro nel punto : Intorno destro di : Intorno sinistro di : Intorno di -: a Intorno di +: a Se A è un sottoinsieme di R e è un punto di A: - è un punto isolato di A se esiste un intorno di che non contiene elementi di A diversi da ; - è un punto di accumulazione di A se ogni intorno di contiene infiniti elementi di A.

3 Definizione formale di ite: si dice che la funzione scrive DEFINIZIONE DI LIMITE f ha per ite il numero reale l per che tende a e si l quando comunque si scelga un intorno di l, I(l), si può determinare un intorno completo di, I( ), tale che per ogni punto appartenente a I( ), escluso al più, f appartiene all intorno di l, I(l). Limite Significato geometrico l Vedi figura sopra è asintoto verticale è asintoto verticale l y l è asintoto orizzontale l y l è asintoto orizzontale

4 Limite destro e ite sinistro l 1 l l 1 (l ) è il ite destro (sinistro) per la funzione f () quando si avvicina a in un intorno destro (sinistro) di Esiste l se e solo se esistono entrambi e e sono entrambi uguali a l.

5 IL CALCOLO DEI LIMITI Per calcolare il ite di una funzione in un punto, bisogna innanzitutto chiedersi se il punto appartiene al dominio della funzione: se la risposta è affermativa, è sufficiente calcolare il valore della funzione nel punto considerato. Esempio: Calcolare. 1 Poiché il dominio della funzione è dato da R - 1 ed il punto appartiene al dominio, per calcolare tale ite si 1 può semplicemente sostituire il valore all incognita: I iti possono essere calcolati solo nei punti di accumulazione del dominio. I punti di accumulazione sono o i punti che appartengono al dominio, per i quali, come abbiamo visto, non sussiste nessun problema di calcolo, oppure i punti di frontiera del dominio, cioè i punti che non appartengono al dominio ma che sono indefinitamente vicini al dominio, cioè tali che in ogni loro intorno, preso piccolo a piacere, esistono infiniti punti del dominio. In altre parole, non si possono calcolare i iti in punti isolati del dominio, che tuttavia non incontreremo nel nostro studio. Per le funzioni razionali fratte, che sono invece oggetto del nostro studio, i punti di frontiera sono esattamente i punti che escludiamo dal dominio perché annullano il denominatore ed inoltre i cosiddetti punti all infinito: + e -. Per le funzioni razionali fratte non esistono punti isolati del dominio. Esempio Determinare i punti di frontiera delle seguenti funzioni: 1. f ( ) 1. Poiché la funzione è razionale intera, gli unici punti di frontiera sono + e -. Siamo quindi interessati a calcolare i iti e f ( ) 4 Il dominio della funzione è dato da R - ;, quindi i punti di frontiera della funzione sono: -,, + e -. Dovremo quindi capire come calcolare i iti: 1, 4 1, 4 1 1, 4, 4 1,

6 Per il calcolo dei iti bisogna tener presenti i seguenti teoremi: 1. Il ite della somma è uguale alla somma dei iti: se l e g( ) m dove l, m, allora g( ) g( ) l m.. Il ite del prodotto è uguale al prodotto dei iti: se l e g( ) m dove l, m, allora g( ) g( ) l m.. Il ite della potenza è uguale alla potenza del ite: se l e n 4. Il ite della funzione inversa: se l, l, allora f ( ) f ( ) l, allora f ( ) n n l. 5. Il ite del quoziente è uguale al quoziente dei iti: se l e g( ) m dove l, m e m f ( ) l allora. g ( ) g ( ) m I precedenti teoremi valgono per iti finiti, eventualmente anche per che tende all infinito, ma si possono estendere anche al caso di iti infiniti. Dobbiamo allora introdurre un aritmetica dei iti nel caso di iti infiniti. Occorre trovare un simbolismo aritmetico per i due simboli + e -. Se pensiamo ai simboli l,, + e - come iti di funzioni, allora si ha: 1. l + (+) = (+) + l = + per ogni numero reale l. l + (-) = (-) + l = - per ogni numero reale l. l (+) = (+) l = 4. l (-) = (-) l = 5. (+) (+) = (-) (-) = + 6. (+) (-) = (+) (-) = - se l > se l < se l > se l < l l 7. l 8. se l > e l se l < l 9. se l > e l se l < 1., 11., Non siamo in grado di stabilire un formalismo aritmetico per le seguenti espressioni: Tali espressioni, di cui non possiamo stabilire a priori il risultato, prendono il nome di forme di indecisione o forme indeterminate e devono essere studiate caso per caso. Esistono altre tre forme di indecisione, ma non le elenchiamo perché non le incontreremo nel nostro studio.

7 ALCUNI ESEMPI DI CALCOLO DI LIMITI Esempio 1 ( ) Esempio Esempio Nota: al numeratore sostituiamo senza distinguere se provenendo da destra o da sinistra: è ininfluente nel calcolo, mentre cambia la situazione al denominatore. Se viene richiesto di calcolare il ite senza distinguere se da destra o da sinistra, si procede nel seguente modo: cioè non si specifica se tende a + o a -. Esempio Esempio

8 COME RISOLVERE LE FORME INDETERMINATE La forma indeterminata + Calcoliamo Sostituendo alla, otterremmo e quest ultima scrittura dà luogo ad un forma inderminata. Per risolvere la forma indeterminata, si raccoglie a fattor comune cioè : La forma indeterminata 1) 1 caso. Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore: Calcoliamo 1 1 : si tratta di una forma indeterminata (F.I.). Per risolverla procediamo come per la precedente forma indeterminata, raccogliendo cioè a numerarore e a denominatore elevato al massimo esponente: 1 1 ) caso. Il grado del numeratore è minore del grado del denominatore: Calcoliamo : si tratta di una forma indeterminata (F.I.). Per risolverla procediamo come al solito, raccogliendo cioè a numerarore e a denominatore elevato al massimo esponente: In questo caso succede che la retta y, cioè l asse delle ascisse, è asintoto orizzontale per la funzione in questione. ) caso. Il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore: Calcoliamo 1 1 : si tratta di una forma indeterminata (F.I.). Per risolverla procediamo come al solito, raccogliendo cioè a numerarore e a denominatore elevato al massimo esponente: In questo caso succede che la retta questione. 1 y, cioè l asse delle ascisse, è asintoto orizzontale per la funzione in 1

9 La forma indeterminata Quando siamo in presenza di questa forma indeterminata, vuol dire che sia numeratore sia denominatore sono scomponibili ed hanno lo stesso fattore comune:. Esempi 4 4 Calcoliamo il ite: : si tratta di una forma indeterminata (F.I.) Per risolverla osserviamo che sia numeratore sia denominatore sono scomponibili: Numeratore: Denominatore: 4 (raccogento totale) (differenza di due quadrati) Possiamo quindi riscrivere il ite dato nel seguente modo: Calcoliamo il ite: 1 : si tratta di una forma indeterminata (F.I.) Per risolverla scomponiamo numeratore e denominatore: Numeratore: 1 Denominatore: (trinomio particolare) (differenza di due quadrati) 1

10 LE FUNZIONI CONTINUE Def. Siano f () una funzione definita in un intervallo [a; b] e un punto interno all intervallo. La funzione f () si dice continua nel punto quando esiste il ite di f () per e tale ite è uguale al valore f ( ) della funzione calcolata in. Una funzione f è quindi continua in se sono verificate tre condizioni: 1. f è definita in, cioè esiste f. esiste finito l (cioè f ( ) f ( ) l ). f l Def. Una funzione definita in [a; b] si dice continua nell intervallo [a; b] se è continua in ogni punto dell intervallo. In maniera intuitiva si può dire che una funzione è continua in un intervallo quando è possibile tracciare il suo grafico senza interruzioni. I punti di discontinuità di una funzione Punti di discontinuità di prima specie: un punto si dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione f() quando, per, il ite destro e il ite sinistro di f () sono entrambi finiti ma diversi tra loro. La differenza l l 1 si dice salto della funzione. Punti di discontinuità di seconda specie: un punto si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f () quando, per, almeno uno dei iti, destro o sinistro, di f () è infinito oppure non esiste. Punti di discontinuità di terza specie (o einabile): un punto si dice punto di discontinuità di terza specie per la funzione f () quando: - esiste ed è finito il ite l di f () per - f () non è definita in oppure, se lo è, risulta f l. Questa funzione ha una discontinuità di prima specie nel punto ed una discontinuità di seconda specie nel punto -1

11 GLI ASINTOTI DI UNA FUNZIONE Def. Una retta è detta asintoto di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a quando l ascissa o l ordinata del punto tendono a. Abbiamo già incontrato gli asintoti verticali e orizzontali. Esistono tuttavia anche gli asintoti obliqui: Se il grafico della funzione y = f () ha un asintoto obliquo di equazione y = m + q con m allora m e q sono dati dai seguenti iti: f ( ) m q m Esempio 1 Data la funzione y determinare le equazioni degli eventuali asintoti obliqui. 1 Perché la funzione abbia un asintoto obliquo è necessario innanzitutto che il ite della funzione per sia infinito. Infatti: Calcoliamo allora f ( ) m 1 Poiché m risulta finito possiamo calcolare anche q m Quindi la funzione data ha come asintoto la retta di equazione y.

12 DERIVATA DI UNA FUNZIONE Sia y = f () una funzione definita nell intervallo [a; b] e siano e h due numeri reali interni all intervallo. DEFINIZIONE: Il rapporto incrementale relativo a è il numero y f ( h) f ( ) h SIGNIFICATO GEOMETRICO: considerati nel piano cartesiano i punti P( ; f ( ) ) e Q( il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per P e per Q. h ; f h ) DEFINIZIONE: La derivata del funzione f nel punto interno all intervallo è il ite, se esiste ed è finito, per h che tende a, del rapporto incrementale relativo a e si indica ' f : f '( ) f h f h ( ) ( ) h SIGNIFICATO GEOMETRICO: La derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa. RETTA TANGENTE AL GRAFICO IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE Data la funzione y f ( ), l equazione della tangente al grafico di f nel punto ( ; y ), quando esiste e non è parallela all asse y, è y y f '( )( ). TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE 1) Derivata della somma/differenza: ' ) Derivata del prodotto: ' ) Derivata del quoziente: f ( ) g( ) f '( ) g '( ) f ( ) g( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ) ' f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ) g( ) g( )

13 CRESCENZA/DECRESCENZA DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE: - Una funzione y f ( ) in un intervallo I si dice crescente se, comunque si scelgano 1 e appartenenti ad I, con 1 <, si ha che f f. 1 - Una funzione y f ( ) in un intervallo I si dice decrescente se, comunque si scelgano 1 e appartenenti ad I, con 1 <, si ha che f f. 1 TEOREMA (per determinare crescenza/decrescenza di una funzione): Data una funzione y f ( ), continua in un intervallo I e derivabile nei suoi punti interni, si ha che - Se f '( ) I allora la funzione è crescente in I - Se f '( ) I allora la funzione è decrescente in I DEFINIZIONE: Un punto si dice stazionario per y f ( ) se f ' Nei punti stazionari il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione è nullo, cioè la retta tangente è parallela all asse.

14 MASSIMI/MINIMI DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE: Data la funzione y f ( ) definita nell intervallo I: - M è un massimo assoluto di f () se M f ( ) I ; - m è minimo assoluto di f () se m f ( ) I ; - I con f M si dice punto di massimo assoluto; - I con f m si dice punto di minimo assoluto. DEFINIZIONE: Data la funzione y f ( ) definita nell intervallo I, il punto I si dice di: - massimo relativo di f () se esiste un intorno I di punto tale che f f I - minimo relativo di f () se esiste un intorno I di punto tale che f f I. ; M 1, M, M sono massimi nell intervallo a; b, di cui M 1 è assoluto mentre M M sono relativi. Quindi a è punto di massimo assoluto e O e b sono punti di massimo relativo nell intervallo a; b. m 1 e m sono i minimi nell intervallo a; b, di cui m è assoluto e m 1 relativo. Quindi 1 è punto di minimo relativo e è punto di minimo assoluto nell intervallo a; b. TEOREMA (per determinare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione): Data la funzione y f ( ), definita e continua in un intorno completo I del punto e derivabile nello stesso intorno per ogni, se per ogni dell intorno - si ha f ' per e f ' per, allora è un punto di massimo relativo: segno di f '( ) + andamento della funzione cresce decresce - si ha f ' per e f ' per, allora è un punto di minimo relativo: segno di f '( ) + andamento della funzione decresce cresce