Limiti di funzioni 1 / 41
|
|
- Rosangela Bello
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Limiti di funzioni 1 / 41
2 Comportamento agli estremi: operazione di ite 2 / 41 Sia f (x) una funzione definita su R e supponiamo di voler studiare l andamento della funzione agli estremi del dominio: x +, x Indichiamo tale operazione con f (x), x + f (x) x
3 Esempi 3 / 41 f (x) = 2 x x + 2x = + x 2x = 0 La retta y = 0 si dice asintoto orizzontale per la funzione f. ( ) 1 x g(x) = x + ( ) 1 x + 1 = 1 2 x ( ) 1 x + 1 = + 2 La retta y = 1 si dice asintoto orizzontale per la funzione g.
4 Esempi 4 / 41 La seguente funzione non ammette ite. f (x) = cos(x) cos(x) = x + cos(x) = x
5 Limite di una funzione all infinito 5 / 41 Si dice che il ite per x che tende a + della funzione f (x) é + f (x) = + x + se M > 0 k > 0 tale che x > k si ha f (x) > M. Si dice che il ite per x che tende a + della funzione f (x) é l R f (x) = l x + se ε > 0 k > 0 tale che x > k si ha f (x) l < ε.
6 Definizione intuitiva generale di ite 6 / 41 Se f (x) é una funzione definita sui R, e c,l R, dire che: "l é il ite di f (x) per x tendente a c" equivale a dire che "se x é molto prossimo, ma non identico, a c, allora f (x) é molto vicina a l". Esempio. Verificare che f (x) = l x c x 2 x x 1 = 2 Osservazione. L esistenza del ite di una funzione in un dato punto c, é assolutamente indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso.
7 Limite finito per una funzione in un punto 7 / 41 Si dice che il ite per x che tende a c della funzione f (x) é l R x c f (x) = l se ε > 0 si puó sempre determinare un intorno completo H del punto x 0 tale che x H (x x 0 ) si ha ossia f (x) l < ε l ε < f (x) < l + ε. Esempio. Verificare che risulta x 1 x 1 x 1 = 2
8 Limite infinito per una funzione in un punto Sia data la funzione f (x) = 1 x questa funzione non é definita su tutto l insieme R. Il suo dominio di esistenza é D = (,0) (0,+ ). Possiamo allora studiare il comportamento della funzione agli estremi, finiti e/o infiniti, del suo intervallo di definizione. Per quanto riguarda gli estremi infiniti si ha 1 x x = 0 1 x + x = 0 La retta y = 0 é un asintoto orizzontale della funzione. Osservazione Nell operazione di ite dividere per una quantitá che tende a da 0 (basti pensare a 1/1000 = 0.001) 8 / 41
9 Limite infinito per una funzione in un punto 9 / 41 Per quanto riguarda gli estremi finiti si hanno invece le seguenti operazioni 1 x 0 x = 1 0 = e si dice che x tende a 0 da sinistra; 1 x 0 + x = = + e si dice che x tende a 0 da destra. La retta x = 0 si dice asintoto verticale della funzione. Osservazione Nell operazione di ite dividere per una quantitá che tende a zero produce una quantitá infinita (basti pensare a 1/0.001 = 1000).
10 Limite infinito per una funzione in un punto 10 / 41 Si dice che il ite per x che tende a x 0 R della funzione f (x) é + x x 0 f (x) = + se M > 0 si puó sempre determinare un intorno completo H del punto x 0 tale che x H (x x 0 ) si ha f (x) > M. Se x x0 f (x) = allora M > 0 si puó sempre determinare un intorno completo H del punto x 0 tale che x H (x x 0 ) si ha f (x) < M.
11 Condizione esistenza ite 11 / 41 Condizione necessaria e sufficiente perché esista il x x0 f (x) é che esistano il ite destro (x x 0 + ) e il ite sinistro (x x0 ) e siano uguali. Esempio infatti 1 x 0 x = 1 1 = x 0 x x 0 + x = +
12 Riepilogando: ite di una funzione all infinito Si possono avere tre situazioni: la funzione converge f (x) = l x ± allora l equazione y = l é un asintoto orizzontale la funzione diverge la funzione non ha ite f (x) = ± x ± x ± f (x) = 12 / 41
13 Riepilogando: ite di una funzione in un punto Sia x 0 R. Si possono avere tre situazioni: la funzione converge { l = f (x0 ) f (x) = l = x x 0 l f (x 0 ) la funzione diverge f (x) = ± x x 0 allora l equazione x = x 0 é un asintoto verticale la funzione non ha ite f (x) = x x 0 13 / 41
14 Riepilogando: ite di una funzione in un punto 14 / 41 Sia data la funzione x 2 se x < 0 f (x) = 1 se x = 0 x 2 se x > 0 allora f (x) = 0 f (0) = 1 x 0 dove x 0 f (x) = 0 perché x 0 + f (x) = 0 = x 0 f (x)
15 Operazioni sui iti: somma 15 / 41 Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un dominio comune D ( R) e a valori in R: Se, per x 0 R finito o infinito, x x0 f (x) = l 1 e x x0 g(x) = l 2 allora x x 0 (f (x) ± g(x)) = l 1 ± l 2 Esempi x 3x +3x = 0 = 10x+3x 2 = 10(3)+3(3 2 ) = 57 = f (3) x 3 x + 2x + x 3 = + =? Si ha una forma indeterminata/ di indecisione quando l 1 = + e l 2 = = l 1 + l 2 = +
16 Operazioni sui iti: somma Valgono le seguenti regole per il ite della somma: a + = a = + + = + = 16 / 41
17 Operazioni sui iti: prodotto 17 / 41 Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un dominio comune D ( R) e a valori in R: Se, per x 0 R finito o infinito, x x0 f (x) = l 1 e x x0 g(x) = l 2 allora x x 0 (f (x)g(x)) = l 1 l 2 Esempi x 2 3x log(x 2) = 3 2 ( ) x 3 x (x+1) = (+ )( ) = x + 3 x (x + 1) = (0)(+ ) =? Si ha una forma indeterminata/ di indecisione quando l 1 = 0 e l 2 = ± = l 1 l 2 = 0(± ) l 1 = ± e l 2 = 0 = l 1 l 2 = (± )0
18 Operazioni sui iti: rapporto Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un dominio comune D ( R) e a valori in R: Se, per x 0 R finito o infinito, x x0 f (x) = l 1 e x x0 g(x) = l 2 allora f (x) x x 0 g(x) = l 1 l 2 Esempi x 2 3 x log 2 (4x) = 9 3 = 3 x x 2 + x + 2 = = + x x 0 2 x x + 1 = + =? x + x 3 4x 3x 2 = 0 0 =? 18 / 41
19 Operazioni sui iti: rapporto 19 / 41 Si ha una forma indeterminata/ di indecisione quando l 1 = ± e l 2 = ± = l 1 = ± l 2 ± l 1 = 0 e l 2 = 0 = l 1 l 2 = 0 0
20 Operazioni sui iti: prodotto e rapporto 20 / 41 Valgono le seguenti regole per il ite del prodotto e del rapporto: a( ) = con a 0 a = 0 a 0 = con a 0
21 Operazioni sui iti Sia c R e x + f (x) = +, allora se c 0 allora 3. (c + f (x)) = + x + (cf (x)) = x + x + { + se c > 0 se c < 0 c f (x) = 0 Esempio Studiare il comportamento della funzione f (x) = 5e 3x agli estremi del suo dominio. 21 / 41
22 Polinomi e forme indeterminate 22 / 41 Risolvere i seguenti iti sui polinomi con forme indeterminate: Forma indeterminata ( 9x 2 ( 9x + 1 3x) = x)( 9x x) x + x + ( 9x x) = x + (9x x 2 ) ( 9x x) = Forma indeterminata 0 0 x + 1 ( 9x x) = 0 x + x 3 x 0 4x 3x 2 = x(1 + x 2 ) x 0 x(4 3x) = (1 + x 2 ) x 0 (4 3x) = 1 4
23 23 / 41 Polinomi e forme indeterminate Risolvere i seguenti iti sui polinomi con forme indeterminate: Forma indeterminata ± x + ± 2x + x x 3 2x = x + Forma indeterminata 0(± ): si risolve trasformandola nella forma ± ± o 0 0 x 1 (x + 1) = x2 x x 3 2 = 3 2 x + 1x 3 3 = (x + 1) x 2 Risolvere i seguenti esercizi 1 = x + x = 1 = 0 x 2 + x x + 4x 3x 2 x 2 + x x + x + 2
24 Confronti: ordine di infiniti Una funzione che diverge (a ± ) si dice infinito. Siano f (x) e g(x) due infiniti. Allora il rapporto dei loro iti puó essere: f (x) = ± = f (x) diverge piú velocemente di x x0 g(x) g(x) (f é un infinito di ordine superiore) f (x) = 0 = f (x) diverge piú lentamente di g(x) x x0 g(x) (f é un infinito di ordine inferiore) f (x) = l 0 = f (x) e g(x) divergono con la x x0 g(x) stessa velocitá (f e g sono infiniti dello stesso ordine) f (x) = 1 = f (x) e g(x) divergono x x0 g(x) asintoticamente a / 41
25 Confronti: ordine di infiniti 25 / 41 Nel caso dei polinomi esiste una semplice regola per calcolare l ordine degli infiniti. Siano e P(x) = p r x r + p r 1 x r p 1 x + p 0 Q(x) = q s x s + q s 1 x s q 1 x + q 0 due polinomi di grado r ed s rispettivamente. Si ha ± se r > s P(x) x + Q(x) = 0 se r < s se r = s p r q s dove il segno di ± dipende dal rapporto tra i polinomi. Quindi l ordine di infinito corrisponde al grado dei polinomi.
26 Confronti: ordine di infiniti 26 / 41 Per gli altri infiniti esiste la seguente scala di velocitá logaritmi << polinomi << esponenziali y e x x 2 x x log(x) x
27 Esempi 27 / 41 Calcolare i seguenti iti applicando il confronto fra ordini di infinito. x 2 x 5x x x 2 5x 3 x x 2 5x 2 5x x + e 2x log(x) x + 2x x 5 x log(2x) x + e3x + 3e x2
28 Confronti: ordine di infinitesimo 28 / 41 Una funzione che converge a 0 si dice infinitesimo. Siano f (x) e g(x) due infinitesimi. Allora il rapporto dei loro iti puó essere: f (x) = ± = f (x) tende a zero piú lentamente x x0 g(x) di g(x) (f é un infinito di ordine inferiore) f (x) = 0 = f (x) tende a zero piú velocemente x x0 g(x) di g(x) (f é un infinito di ordine superiore) f (x) = l 0 = f (x) e g(x) tendono a zero con la x x0 g(x) stessa velocitá (f e g sono infiniti dello stesso ordine)
29 Confronti: ordine di infinitesimo 29 / 41 Per gli infinitesimi esistono le seguenti scale di velocitá [ 1 esponenziali ] [ 1 polinomi ] [ 1 logaritmi ] << x + << x + x + [x n ] x 0 << [x n 1 ] x 0 <<... << [x 2 ] x 0 << [x] x 0
30 Confronti: ordine di infinitesimo 30 / 41 Risolvere i seguenti esercizi: x 5 x 0 x 3 = x 0 x2 = 0 x 0 x 3 x 1 0 = x 0 1 x 7 = 0 x 0 x 2 + 3x x 3 2x 2 + 4x = x 0 x 2 x + 3x x x 3 x 2x2 x + 4x x = x 0 x + 3 x 2 2x + 4 = 3 4
31 Asintoti 31 / 41 Se x x0 f (x) = ± = x = x 0 é un asintoto verticale; Se f (x) = l = y = l é un asintoto x ± orizzontale; f (x) Se = m R e (f (x) mx) = q R = x ± x x ± y = mx + q é un asintoto obliquo.
32 Studio del comportamento agli estremi del dominio 32 / 41 Sia data la funzione f (x) = x2 + 1 x il suo dominio sará dato da D = (,0) (0,+ ). Cosa succede agli estremi dell intervallo? x = = x = 0 asintoto verticale x 0 x x = + = x = 0 asintoto verticale x 0 + x x x = =? = + =? x x x + x
33 Ricerca dell asintoto obliquo 33 / 41 Se x f (x) = ± potrebbe esistere un asintoto obliquo per la funzione di equazione y = mx + q. L asintoto obliquo esiste solo se esistono e sono finiti i iti: f (x) = m e (f (x) mx) = q x x x che determinano i coefficienti della retta. Un discorso analogo va fatto per il caso x + f (x) = ±. In tal caso i coefficienti della retta vanno calcolati come: f (x) = m e (f (x) mx) = q x + x x +
34 Riprendendo l esempio della funzione Ricerca dell asintoto obliquo abbiamo f (x) = x2 + 1 x x = = possibile asintoto obliquo x x verifichiamolo: x m = x x 2 = 1 R = m = 1 x x x 2 2 q = 1x = = x x x x x x = 0 = q = 0 per cui y = x é asintoto obliquo per la funzione. Esiste l asintoto obliquo per x +? 34 / 41
35 Ricerca dell asintoto: esercizi 35 / 41 Determinare gli asintoti delle seguenti funzioni e rappresentarli nel piano cartesiano: f (x) = x2 4 x + 1 x 2 + 1
36 Funzione continua 36 / 41 Una funzione f : D R R si dice continua in un punto x 0 D se x x 0 f (x) = f (x 0 ) Si dice che f é continua in un intervallo I R se essa é continua in tutti i punti dell intervallo. In termini non rigorosi si ha che una funzione é continua quando é possibile tracciarne il grafico con un tratto continuo, senza dover mai staccare la penna dal foglio.
37 Funzione continua: esempi Le funzioni seguenti sono continue in x 0 = 0? x 2 se x < 0 f (x) = x 2 e g(x) = 1 se x = 0 x 2 se x > 0 f(x) y g(x) y x x x 0 x2 = 0 = f (0) g(x) = 0 g(0) = 1 x 0 f (x) é continua, g(x) no. Questa discontinuitá si puó einare definendo g(0) = 0 = x 0 g(x). 37 / 41
38 La funzioni seguente é continua? f (x) = x x = sign(x) = Funzione continua: esempi { 1 se x < 0 1 se x > 0 y 1 0 x 1 f (x) = 1 x 0 f (x) = 1 x 0 + I iti destro e sinistro sono diversi, per cui non esiste il ite x 0 f (x). Nel punto x = 0 si ha un salto uguale a 2. Si parla di discontinuitá di prima specie. 38 / 41
39 La funzioni seguente é continua? Funzione continua: esempi f (x) = 1 x y 0 x f (x) = x 0 f (x) = + x 0 + Entrambi i iti divergono e si dice che la funzione ha una discontinuitá di seconda specie. 39 / 41
40 Funzione continua: punti di discontinuitá 40 / 41 Data una funzione di variabile reale in R, e x 0 un punto del dominio (o un estremo del dominio) diciamo che la funzione f (x) ha in x 0 un punto di discontinuitá se si ha: 1. x x0 f (x) = l R e l f (x 0 ) = discontinuitá einabile. 2. f (x) = l 1 e f (x) = l 2,l 1 l 2 = discontinuitá x x0 x x 0 + di prima specie (salto). 3. x x0 f (x) = ± oppure x x0 f (x) = = discontinuitá di seconda specie.
41 Funzione continua: esercizi 41 / 41 Dire se le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio, studiare il loro andamento agli estremi del dominio e rappresentare queste informazioni nel grafico: { x + 2 se x > 0 f (x) = 3x + 1 se x 0 f (x) = f (x) = 1 x 1 f (x) = e 1 x 2 { 1 + log(x) se x > 1 x 2 se x 1 f (x) = x 2 1
Limiti di funzioni 1 / 39
Limiti di funzioni 1 / 39 Comportamento agli estremi: operazione di ite 2 / 39 Sia f (x) una funzione definita su R e supponiamo di voler studiare l andamento della funzione agli estremi del dominio: x
DettagliLezione 18 (8 gennaio) Limiti
Lezione 18 (8 gennaio) Limiti Ripasso f x = ln 3 x 1 D = (1, + ) ln 3 x 1 + x 1 = ln 3 1 + 1 = ln 3 = ln(+ ) = + 0 + ln 3 x + x 1 = ln 3 + 1 = ln 3 + = ln(0+ ) = 1 Esempi di forme indeterminate x + x3
DettagliStudio qualitativo del grafico di una funzione
Studio qualitativo del grafico di una funzione Obiettivo: ottenere informazioni per descrivere qualitativamente l andamento del grafico di una funzione f campo di esistenza (cioè, l insieme di definizione)
DettagliIstituzioni di Matematiche terza parte
Istituzioni di Matematiche terza parte anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano D.Bambusi, C.Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 45 index Il concetto di ite 1 Il
DettagliIstituzioni di Matematiche seconda parte
Istituzioni di Matematiche seconda parte anno acc. 2010/2011 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 26 index 1 2 Continuità Cristina Turrini
DettagliCalcolo infinitesimale
Calcolo infinitesimale L operazione di limite L operazione di limite ha lo scopo di descrivere il comportamento di una funzione nei pressi di un punto di accumulazione per il suo dominio. Limite finito
DettagliChi non risolve esercizi non impara la matematica.
6 iti Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i iti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi, dobbiamo calcolare
DettagliIIID Matematica Aprile ) Cosa significa dire che una funzione reale di variabile reale è continua?
1) Cosa significa dire che una funzione reale di variabile reale è continua? 2) Dire se la funzione f(x) = x x 2 5 è a continua per x = 5 ; b continua per x = 3 ; c continua per x = π 2 ; 3) Cosa si intente
DettagliCorso di Analisi Matematica Limiti di funzioni
Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei
DettagliIstituzioni di Matematiche terza parte
Istituzioni di Matematiche terza parte anno acc. 2011/2012 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 35 index Il concetto di limite 1 Il
DettagliStudio Qualitativo di Funzione
Studio Qualitativo di Funzione Reperire un certo numero di informazioni, per descrivere a livello qualitativo l andamento di una funzione y = f() : 1. campo di esistenza ( insieme di definizione ) 2. segno:
DettagliStudio Qualitativo di Funzione
Studio Qualitativo di Funzione Reperire un certo numero di informazioni per descrivere a livello qualitativo l andamento del grafico di una funzione f 1. campo di esistenza (cioè, l insieme di definizione)
DettagliD Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica)
COGNOME NOME Matr. D Firma dello studente Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione
DettagliESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012
ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 1. Esercizi: lezione 2 novembre 2011 Studio di funzioni Studiare le seguenti funzioni FINO alla derivata prima,
DettagliMetodi Matematici per l Economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 2012/2013 docente: Elena Polastri,
Metodi Matematici per l Economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 202/203 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Studio di funzione con indicazione degli asintoti e grafico probabile Studiare
DettagliOsservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico.
1. Dominio 2. Limiti => eventuali asintoti 3. Studio del segno (opzionale) Osservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico. Se x x0 f(x) = ± x = x 0 asintoto verticale Se
DettagliESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012
ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 20/202. Esercizi: lezione 8 novembre 20 Studio di funzione con indicazione degli asintoti e grafico probabile Studiare completamente
DettagliMATEMATICA MATEMATICA FINANZIARIA
MATEMATICA e MATEMATICA FINANZIARIA a.a. 7-8 Corso di laurea in Economia Aziendale Fascicolo n. Limite di funzioni e applicazioni. Limite di una funzione Funzioni continue Calcolo dei iti Asintoti Prof.ssa
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA: I limiti e la continuità Le derivate. Prof. ssa Prenol R.
APPUNTI DI MATEMATICA: I iti e la continuità Le derivate Prof. ssa Prenol R. INTERVALLI e INTORNI Definizione di intervallo: è un sottoinsieme di numeri reali e può essere - ilitato: graficamente viene
DettagliMatematica: Continuità e calcolo dei limiti (Cap.7)
Matematica: Continuità e calcolo dei limiti (Cap.7) Marco Dall Aglio LUISS University mdallaglio@luiss.it A.A. 2016-17 Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A. 2016-17 1 / 24 Continuità in un punto Definizione
DettagliFunzioni Continue. se (e solo se) 0
f : A R R A ' Funzioni Continue La funzione f si dice continua in f ( f ( se (e solo se A Ne seguono tre proprietà affinché f( sia continua in :. Devono esistere finiti il ite destro e sinistro di f( in.
DettagliEsercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2
Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 8: Studio di funzioni Studio
DettagliFunzioni continue. quando. se è continua x I.
Funzioni continue Definizione: f() si dice continua in 0 D f quando (*) 0 f () f ( 0 ) Definizione: f() si dice continua in I D f se è continua I. Avevamo già dato questa definizione parlando del f ().
DettagliConfronto locale di funzioni Test di autovalutazione
Test di autovalutazione 1. Per x 0: (a) x 3 = o(x 4 ) (b) x 4 = o(sin x 2 ) (c) x 3 x 3 + 1 (d) x 7 + x x 2 x 2. Il limite lim x 0 + (a) vale 0 (b) non esiste (c) vale 2 (d) è infinito 4x 3 x ln x tan
Dettagli3 LIMITI. 3.1 Operazioni in R {± } x R x + (+ ) = + x + ( ) = x + = 0 x. x R = 0. x > 0 x (+ ) = + x ( ) = x < 0 x (+ ) = x ( ) = = x.
3 LIMITI 3. Operazioni in R {± } R + (+ ) = + + ( ) = R + = 0 = 0 > 0 (+ ) = + ( ) = < 0 (+ ) = ( ) = + > 0 0 + = + 0 = < 0 0 + = 0 = + (+ ) + (+ ) = + ( ) + ( ) = (+ ) (+ ) = + (+ ) ( ) = Non è possibile
DettagliMatematica A Corso di Laurea in Chimica. Prova scritta del Tema A
Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del 7..6 Tema A P) Data la funzione f(x) = ex+ x determinarne (a) campo di esistenza; (b) zeri e segno; (c) iti agli estremi del campo di esistenza
Dettagli2x 2. Soluzione: Il valore del limite l non puó che essere 1: infatti. Per determinare δ basta studiare la disuguaglianza. x 1. x 1 x 1.
4.. Esercizio. Calcolare il ite { l = x x }, x e determinare δ tale che < δ implichi { x x } l < 0.5 ANALISI Soluzioni del Foglio 4 30 ottobre 009 Il valore del ite l non puó che essere : infatti { x x
DettagliLimite Destro Finito
Limite Destro Finito Quando la variabile assume valori via via più vicini ad a (ma sempre maggiori di a), i corrispondenti valori di f() si avvicinano sempre più al valore L. y scelta di ε y = f () y scelta
DettagliCorso di Analisi Matematica. Comportamenti asintotici
a.a. 2013/2014 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Comportamenti asintotici Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli
DettagliTeorema degli zeri. Essendo f continua in a e in b, per il teorema della
Teorema degli zeri Una funzione reale f continua nell intervallo chiuso e itato [a; b] che assuma valori di segno opposto negli estremi di tale intervallo, si annulla in almeno un punto ad esso interno
DettagliLezione 3 (2/10/2014)
Lezione 3 (2/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. Tracciando un grafico approssimativo, discutere qualitativamente l esistenza di radici reali dei seguenti polinomi, al variare del parametro
Dettaglimassimo pasquetto 7 Marzo 2018
F U N Z I O N I C O N T I N U E E D I S C O N T I N U I TÀ massimo pasquetto I.T.S. Cangrande della Scala Verona 7 Marzo 08 introduzione Dopo aver introdotto il concetto di ite per le funzioni parliamo
Dettaglilim f(x) lim In questo caso, lim Una funzione è continua in un punto x 0 se valgono le seguenti condizioni:
Definizioni fondamentali Un intorno di un punto = 0 è un intervallo I che contiene 0. Un intorno destro per semplicità lo chiamiamo + 0 ) di 0 è un intervallo in cui l estremo sinistro è 0 : tutti i punti
DettagliESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012
ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 1. Esercizi 3 1. Studiare la seguente funzione FINO alla derivata prima, con tracciamento di grafico ed indicazione
DettagliTraccia n.1 Studiare il comportamento della funzione: 3x + ex 3x e x. Svolgimento
Traccia n. Studiare il comportamento della funzione: Svolgimento f(x) = 3x + ex 3x e x Determinazione del campo di esistenza, E[f]. La funzione si presenta come rapporto di due funzioni; il campo di esistenza
DettagliGli asintoti. Richiami ed esempi
Gli asintoti Richiami ed esempi Scheda asintoti Definizioni generali di asintoto orizzontale, verticale e obliquo Scrivere l equazione di una funzione di una variabile dotata di due asintoti, uno orizzontale
DettagliStudio Qualitativo di Funzione
Studio Qualitativo di Funzione Reperire un certo numero di informazioni per descrivere a livello qualitativo l andamento del grafico di una funzione f 1. campo di esistenza (cioè, l insieme di definizione)
Dettagli06 - Continuitá e discontinuitá
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 06 - Continuitá e discontinuitá Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano
DettagliLimiti di funzioni e continuità
Limiti di funzioni e continuità Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 1 Funzioni limitate La funzione f(x) è limitata superiormente se esiste un numero reale M tale che
DettagliAnalisi Matematica. Limiti di successioni numeriche e di funzioni
a.a. 2014/2015 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Limiti di successioni numeriche e di funzioni Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per
DettagliLezione Derivata seconda Flessi e concavità Studi di funzione
Lezione 23 11-1-2016 Derivata seconda Flessi e concavità Studi di funzione Derivata seconda Sia data una funzione f(x). Se la sua funzione derivata prima f (x) è derivabile in un intervallo, la sua derivata
DettagliFunzioni continue. Hynek Kovarik. Università di Brescia. Analisi Matematica 1
Funzioni continue Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Funzioni continue Analisi Matematica 1 1 / 44 Funzioni continue Definizione Siano f : A
DettagliAutore: Enrico Manfucci - 22/03/2012 LA CONTINUITA
LA CONTINUITA CENNI STORICI Il concetto di continuità di una funzione viene elaborato tra il 7 e l 8 ed è contestuale allo sviluppo del concetto di funzione stesso. In particolare nello studio dei fenomeni
Dettagli19 LIMITI FONDAMENTALI - II
19 LIMITI FONDAMENTALI - II 3. Il ite che permette il calcolo di forme indeterminate in cui sono presenti funzioni logaritmiche è: log1 + = 1. La dimostrazione di questo ite si ha subito dal ite Esempio.
DettagliLimiti. Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna. (Università di Bologna) Limiti 1 / 24
Limiti Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Limiti 1 / 24 Esempi Sia f (x) = 2x + 2 ; calcoliamo f (x) per x che assume valori vicini a 1. Per prima cosa, prendiamo
DettagliLEZIONE 5. Esercizio 5.1. Calcolare il limite per x ± delle seguenti funzioni. lim. lim. lim. lim. lim. e x ) x. per x. lim
5 LEZIONE 5 Esercizio 5.1. Calcolare il ite per x ± delle seguenti funzioni. 2x3 3x 2 = x3 (2 3/x) =±. x2 sin x 2 x 4 = x4 (sin x 2 /x 2 1) =. ex x = ex (1 x/e x )=. sin 1 x cos x2 =0, infatti all infinito
DettagliMATEMATICA MATURITA LINGUISTICA. Istituto Paritario A.Ruiz Istituto Paritario A.Ruiz
MATEMATICA MATURITA LINGUISTICA Istituto Paritario A.Ruiz Istituto Paritario A.Ruiz 1 MATEMATICA MATURITA LINGUISTICA 1. CLASSIFICAZIONE FUNZIONI FUNZIONI ALGEBRICHE (in cui compaiono le quattro operazioni):
DettagliLIMITI DI FUNZIONI ED ASINTOTI (C. Dimauro) 2 è un intorno di x 0. I, con l intervallo aperto ] x δ + δ [ 0 ; x. x 0 A con A R, si dice che x 0 è un
LIMITI DI FUNZIONI ED ASINTOTI (C. Dimauro) Premessa Intorno di un punto: si chiama intorno completo di intervallo aperto che contiene x 0. Es.: sia = [ 0;10] Graficamente: A ed 3 x. L intervallo ] ;5[
DettagliDerivate di funzioni 1 / 40
Derivate di funzioni 1 / 40 Variazione assoluta Sia data una funzione f (x) e due suoi valori in corrispondenza dei punti x 0 e x 0 + h, con h > 0. Supponiamo di voler determinare di quanto varia il valore
DettagliStudi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x
Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare
DettagliCORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI
CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI Notiamo che lo studio delle funzioni assegnate f,..., f 4 si riduce a considerare
DettagliLICEO LINGUISTICO NINNI CASSARÁ. Classe VA. Studio di Funzioni. prof. Alessio Cangemi
LICEO LINGUISTICO NINNI CASSARÁ Classe VA Studio di Funzioni prof. Alessio Cangemi Di seguito saranno schematizzati gli step fondamentali per tracciare il grafico probabile di una funzione f(x). 1 Ricerca
Dettagli1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile
1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è R\ {0}. Problema: non è possibile calcolare il valore di f per
DettagliConcavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste
CONCAVITA E CONVESSITA DI UNA FUNZIONE. FLESSI. SCHEMA GENERALE PER LO STUDIO DI FUNZIONE. FUNZIONI RAZIONALI E IRRAZIONALI INTERE E FRATTE. TEOREMA DI DE L HOSPITAL CON APPLICAZIONI AI LIMITI. 1 Concavit{
DettagliESERCIZI SUI PUNTI DI DISCONTINUITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME
ESERCIZI SUI PUNTI DI DISCONTINUITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI CONTINUE Sia f : domf R una funzione e sia x 0 domf (esista cioè f(x 0 ) R) Possono verificarsi due casi: il
DettagliSOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7
SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 Esercizio. Funzione da studiare: log( 3).. Dominio: dobbiamo richiedere che il denominatore non si annulli e che il logaritmo sia ben definito. Quindi le condizioni
DettagliElenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture / Metodi. partecipazione degli alunni. 2 Completamento equazioni e disequazioni.
Pagina 1 di 5 DISCIPLINA: MATEMATICA E LABORATORIO INDIRIZZO: IGEA CLASSE: IV FM DOCENTE : Cornelio Terreni Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture / Metodi 1 Matematica RIPASSO e COMPLETAMENTO:
DettagliStudio del segno delle derivate. Lezione 11 del 6/12/2018
Studio del segno delle derivate Lezione 11 del 6/12/2018 Segno della derivata prima Data una funzione f(x) derivabile in un intervallo I, allora se f x > 0 x I allora la funzione f(x) è strettamente crescente
DettagliLimiti di funzioni all infinito (1) lim f(x) = λ R x K>0 : x > K f(x) λ < ε (2) lim f(x) = x M>0 >0 K>0 : x > K f(x) > M (3) lim f(x) = x M>0 >0 K>0 : x > K f(x) < < M Se f(x) è definita in un intorno
DettagliEsercizi sui limiti. lim. lim. lim. lim. log(x 4) + 5x = + + = + 6) x2 4 = 2 =
Limiti e continuità Risoluzione di forme indeterminate con polinomi Ordine di infinito e confronto di infiniti Alcuni iti notevoli Funzioni continue Esercizi sui iti ( 3 + 3) = (10 + 3 32 ) = 57 ( + 2
DettagliEsercizi sullo studio di funzione
Esercizi sullo studio di funzione Seconda parte Come visto nella prima parte, per poter descrivere una curva, data la sua equazione cartesiana esplicita y f () occorre procedere secondo l ordine seguente:
DettagliI appello - 11 Gennaio 2016
Analisi Matematica - A.A. 5-6 Prove scritte di Analisi Matematica - A.A. 5/6 Corso di Laurea in Ingegneria Civile Corso di Laura in Ingegneria Informatica ed Elettronica I appello - Gennaio 6 Svolgere
DettagliLimiti di funzioni. Mauro Saita Versione provvisoria. Ottobre 2015
Limiti di funzioni Mauro Saita e-mail maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Ottobre 2015 Indice 1 Limiti 2 1.1 Definizione di ite................................ 2 1.2 Alcuni teoremi sui iti..............................
DettagliLIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione
LIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione 1. Per 0 le funzioni 1 cos e sin (a) sono infinitesime dello stesso ordine (b) 1 cos è infinitesima di ordine inferiore (c) 1 cos è infinitesima di ordine
DettagliLIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0.
55. Limiti al finito (ossia per ) LIMITI DI FUNZIONI Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino
DettagliArgomento 4. Calcolo dei limiti II: forme indeterminate
Argomento 4 Calcolo dei iti II: forme indeterminate Confronto tra infiniti (forme indeterminate e ) Definizione 4 Una funzione f si dice un infinito per x P se =+ o Date le funzioni f e g, infiniti per
DettagliUna funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] se e solo se è continua in ogni punto dell intervallo.
FUNZIONI CONTINUE. PUNTI DI DISCONTINUITA. OPERAZIONI SUI LIMITI. CALCOLO DI LIMITI CHE SI PRESENTANO IN FORMA INDETERMINATA LIMITI NOTEVOLI E APPLICAZIONI Angela Donatiello DEF. di Funzione Continua in
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 05 - Limiti Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano M. Tumminello,
DettagliANALISI MATEMATICA I per Ingegneria Aerospaziale - A.A Diario delle lezioni. Mercoledì 2 ottobre 2013 (2 ore)
c Andrea Dall Aglio - Analisi Matematica: Diario delle lezioni - 8 novembre 0 ANALISI MATEMATICA I per Ingegneria Aerospaziale - A.A. 0-04 Diario delle lezioni Questo è un indice degli argomenti trattati
DettagliR. Capone Analisi Matematica Limiti di una funzione reale di variabile reale ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE ( )
Esercizio proposto N 1 Verificare che ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE Si ricordi la definizione di ite finito in un punto: Pertanto, applicando la definizione al caso concreto, si ha: o, ciò che è lo stesso:
DettagliLezione 6. 1 Ottobre ore (continua dalla lezione precedente limiti di funzione... )
Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari, anno accademico 2014/15 Corso di Matematica e Statistica I Lezione 6. 1 Ottobre 2014 2 ore continua dalla lezione precedente iti di funzione... Il calcolo
DettagliConcetto intuitivo di limite di una funzione
Concetto intuitivo di limite di una funzione I limiti di funzioni sono valori a cui le funzioni si avvicinano in certi punti particolari, ossia in punti in cui non è possibile definire le funzioni stesse
DettagliEsercitazioni di Analisi Matematica FUNZIONI CUBICHE. Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere:
FUNZIONI CUBICHE Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere: 1) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 2) y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 3) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 4 4) y = fx) = x 3 +
DettagliCorso di laurea in Geologia Istituzioni di matematiche Esercizi n. 1617/2/5
Corso di laurea in Geologia Istituzioni di matematiche Esercizi n. 1617//5 Determinare il grafico delle funzioni sotto indicate, rispondendo, per quando possibile, ai seguenti punti: Dove è definita la
DettagliMatematica Lezione 14
Università di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia Matematica Lezione 14 Sonia Cannas 22/11/2018 Calcolo dei iti: forme di indeterminazione Per il teorema sulle operazioni con i iti abbiamo visto che se
Dettaglix x ' La funzione f si dice continua in x 0 se (e solo se) 0
: A R R A ' Funzioni Continue La unzione si dice continua in ( ( se (e solo se A Ne seguono tre proprietà ainché ( sia continua in :. Devono esistere initi il ite destro e sinistro di ( in. Tali iti devono
Dettagli6. LIMITI. Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 6. LIMITI Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 IDEA INTUITIVA DI LIMITE I Caso: comportamento di una
DettagliConsorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni
Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni A cura di Sebastiano Cappuccio SCHEDA N 20 ARGOMENTO: Grafici di funzioni numeriche reali Asintoti orizzontali, verticali,
DettagliMauro Saita Grafici qualitativi di funzioni reali di variabile reale
Mauro Saita Grafici qualitativi di funzioni reali di variabile reale Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Ottobre 2017 1 Indice 1 Qual è il grafico della
Dettagliy = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per
INFINITI ED INFINITESIMI. ASINTOTI DI UNA FUNZIONE. GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ESERCIZI SULLA CONTINUITA E SULLA CLASSIFICAZIONE DELLE DISCONTINUITA DI UNA FUNZIONE
Dettagli3. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE.
3. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE. Molto spesso y = f(x) rappresenta l evoluzione di un fenomeno al passare del tempo x.se siamo interessati a sapere con che rapidità il fenomeno
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliSoluzioni degli Esercizi per il Corso di Istituzioni di Matematica. x2 1 x x + 7 ; d) f (x) =
Soluzioni degli Esercizi per il Corso di Istituzioni di Matematica 1 La retta tangente al grafico di f nel punto ( 0, f( 0 ha equazione y = f( 0 + f ( 0 ( 0. a y = 2; b y = log 2 (e( 1; c y = 1 2 + 1 4
DettagliUna funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all'asse x. Calcola il dominio e l'immagine della funzione rappresentata nella seguente figura:
Vero o falso: [0,1] ha minimo 1 e massimo 0 (0,100 ] non ha minimo ma ha massimo 100 (0,5) è un intorno di 2 y=x 2 è invertibile y=x 2 è pari y=x 3 è pari Posto g( x)= x 2 e f (x )=x+1 allora g( f ( x))=(
DettagliLimiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti
Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)
DettagliEsame di Analisi Matematica Prova scritta del 9 giugno 2009
Prova scritta del 9 giugno 2009 A1 Data la funzione f(x) = x2 3 e x, (f) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ al variare di Calcolare un valore approssimato
Dettagli6. Asintoti e continuità
6. Asintoti e continuità Davide Catania davide.catania@unibs.it Esercitazioni di Analisi Matematica 1 Asintoti Continuità Asintoto orizzontale: la retta y = l è l asintoto orizzontale a + (o destro) di
DettagliDerivate e studio di funzioni di una variabile
Derivate e studio di funzioni di una variabile Paolo Montanari Appunti di Matematica Derivate e studio di funzioni 1 Rapporto incrementale e derivata Sia f(x) una funzione definita in un intervallo X R
DettagliSTUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) =
STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE Studiamo la funzione f di una variabile reale, a valori in R, definitada. Il dominio di f. f() = Z Denotiamo con g la funzione integranda. Allora g(t) = numeri reali tali
Dettaglif(x) lim x c g(x) = lim x c f(x) lim x c g(x)
Matematica I, 10.10.2012 Limiti di funzioni (II) 1. Limiti e Operazioni Algebriche L operazione di ite di successioni si comporta bene rispetto alle operazioni algebriche di somma (e sottrazione), prodotto
DettagliInfiniti e infinitesimi col simbolo di Laudau
E Infiniti e infinitesimi col simbolo di Laudau Nel capitolo dedicato ai iti abbiamo osservato che, quando esiste, il ite del rapporto di due successioni entrambe divergenti o entrambe infinitesime può
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Limiti di derivate. Punti angolosi e di cuspide. Ottobre 2012 Indice 1 Limiti della derivata e punti di non
DettagliDEFINIZIONE DI LIMITE
DEFINIZIONE DI LIMITE LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A UN VALORE FINITO Sia y = f(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto x 0, escluso al più il punto x 0 (x 0 è un punto di accumulazione)
DettagliEsercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
Dettaglitele limite è unico. Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia limiti diversi per x. Se per assurdo si avesse che lim f ( x)
Calcolo dei iti (C. DIMAURO) Per il calcolo dei iti ci serviamo di alcuni teoremi. Tali teoremi visti nel caso in cui, valgono anche quando Teorema dell unicità del ite: se una funzione ammette ite per
DettagliLIMITI SIMULAZIONI GEOGEBRA PER I LIMITI (LINK) LIMITI pagina 1
LIMITI SIMULAZIONI GEOGEBRA PER I LIMITI (LINK) LIMITI pagina 1 DEFINIZIONE 1 LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A UN VALORE FINITO Sia y = f(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto x 0,
DettagliAPPELLO X AM1C 17 SETTEMBRE 2009
Cognome e nome APPELLO X AMC 7 SETTEMBRE 29 Esercizio. Sia f(x) = x arctan x + log( + x 2 ) (a) Determinarne: insieme di esistenza e di derivabilità, iti ed eventuali asintoti, eventuali massimi, minimi
DettagliISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA
ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a
Dettagli