Calcolo infinitesimale

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1 Calcolo infinitesimale

2 L operazione di limite L operazione di limite ha lo scopo di descrivere il comportamento di una funzione nei pressi di un punto di accumulazione per il suo dominio.

3 Limite finito per Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia lr. Diremo che lim f ( x) l Se ε>, δ ε > x- x < δ ε f(x)-l < ε. Se I δ (l) I ε (x ) x I ε (x ) f(x) I δ (l)

4 Limite finito per Attenzione! Ricordiamo che il punto di accumulazione x potrebbe non appartenere ad A e quindi f(x ) potrebbe non essere definita. Pur esistendo, non è detto che f(x ) = l.

5 Limite finito per lim f( x) 1 x x -,7 Se I(-,7) I ε (,5) xi ε (,5) f(x)i(-,7)

6 Verificare i seguenti limiti. lim( x 2) 5 x3 lim(2x 6) 4 x1

7 Limite finito e limitatezza Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia lim f ( x) l R. Allora la funzione f è limitata in I(x ). Se ε>, δ ε > x- x < δ ε f(x)-l < ε. Se ε>, δ ε > x- x < δ ε -ε+l<f(x) <l+ ε.

8 Limite infinito per Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Diremo che lim f( x) Se M>, δ M > x- x < δ M f(x) >M.

9 Limite infinito per lim f( x) x3 x 3 Se M>, δ M > x-3 < δ M f(x) >M.

10 Asintoti Un asintoto è una retta a cui il grafico della funzione tende. Una retta y=mx+q è un asintoto per il grafico della funzione f:rr se lim f ( x) ( mx q) oppure x

11 Asintoti Se lim f( x) allora si è in presenza di un asintoto verticale di equazione x=x. lim f( x) x3 x=3 3

12 Verificare i seguenti limiti. lim log x 2 x2

13 Limite finito per x Sia f: A R, con A illimitato, e sia lr. Diremo che lim f ( x) x l Se ε>, M> x >M f(x)-l < ε.

14 Limite finito per x lim f( x) 2 x 2 x Se ε>, M> x >M f(x)-2 < ε.

15 Asintoti Se lim f ( x) x l allora si è in presenza di un asintoto orizzontale di equazione y=l. lim f( x) 2 x 2 y=2

16 Verificare i seguenti limiti. 1 lim x x

17 Limite infinito per x Sia f: A R, con A illimitato. Diremo che lim f( x) x Se N>, M> x >M f(x) >N.

18 Limite infinito per x lim f( x) x x Se N>, M> x >M f(x) >N.

19 Verificare i seguenti limiti. lim x x 2

20 Asintoti Se lim f( x) x la funzione potrebbe avere un asintoto obliquo, cioè una retta y=mx+q lim f ( x) ( mx q) oppure x

21 Limite destro per Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia lr. Diremo che lim f ( x) l se ε>, δ ε > <(x- x )< δ ε f(x)-l < ε.

22 Limite sinistro per Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia lr. Diremo che lim f ( x) l se ε>, δ ε > - δ ε <(x- x )< f(x)-l < ε.

23 Verificare i seguenti limiti. lim x 1 x lim x 1 x

24 Limite finito per Condizione necessaria e sufficiente perché esista lim f ( x) l é che esistano e siano uguali lim f ( x) l e lim f ( x) l.

25 Esempi di non esistenza del limite 1 se x y = 4 se x 1 se x y = segno(x) = 1 se x

26 Teorema di unicità del limite Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Se esiste lim f ( x) l allora è unico. Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia lim f ( x) l. Se lim f ( x) l` allora l=l.

27 Esempi di non esistenza del limite lim cos x lim sin x x x

28 Teorema della permanenza del segno Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Se esiste lim f ( x) l > allora esiste I(x ) in cui f(x)>, x I(x )\{x }.

29 Corollario Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Se esiste I(x ) in cui f(x)>, x I(x )\{x } ed esiste lim f ( x) l, allora l.

30 Operazioni con i limiti Sia f: A R y=k ed x un punto di accumulazione per A, allora lim k k Sia f: A R y=x ed x un punto di accumulazione per A, allora lim x x Sia f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia lim f ( x) l allora lim k f ( x) k l

31 Operazioni con i limiti Somma Siano f e g: A R ed x un punto di accumulazione per A. Siano lim f ( x) l e lim g( x) m allora lim ( ) ( ) f x g x l m

32 Operazioni con i limiti ATTENZIONE: NON IMPLICA Somma lim f ( x) lim f ( x) g( x) l m l E lim g( x) m 2 2 lim sin x cos x lim 1 1

33 Operazioni con i limiti Differenza Siano f e g: A R ed x un punto di accumulazione per A. Siano lim f ( x) l e lim g( x) m allora lim ( ) ( ) f x g x l m

34 Operazioni con i limiti Prodotto Siano f e g: A R ed x un punto di accumulazione per A. Siano lim f ( x) l e lim g( x) m allora lim ( ) ( ) f x g x l m

35 Operazioni con i limiti Potenza Siano f: A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia lim f ( x) l allora f x lim ( ) n n l

36 Operazioni con i limiti Divisione Siano f e g: A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia g(x) in I(x )\{x }. Siano lim f ( x) l e lim g( x) m allora f ( x) lim g ( x ) l m

37 Operazioni con i limiti Inverso Siano f : A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia f(x) in I(x )\{x }. Sia lim f ( x) l, allora 1 1 lim f ( x ) l

38 Operazioni con i limiti Inverso Siano f : A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia f(x) in I(x )\{x }. Sia lim f( x), allora. Se f(x)> in I(x ) allora 1 lim f ( x ) 1 lim f ( x )

39 Operazioni con i limiti Inverso Siano f : A R ed x un punto di accumulazione per A. Sia f(x) in I(x )\{x }. Sia lim f( x), allora. 1 lim ( ) f x

40 Asintoti obliqui lim f ( x) ( mx q) x q lim f ( x) mx x m lim x f( x) x Se q e m esistono e sono finiti allora posso dire che esiste l asintoto obliquo di equazione y=mx+q.

41 Operazioni con i limiti Le operazioni con i limiti possono essere eseguite anche quando x. Se l= posso operare come con i reali con le seguenti eccezioni: + - / FORME INDETERMINATE /

42 Esercizio Studiare le seguenti funzioni: y 2 y 3 x 1 1 x1 x3 y x ( x 5) 2 2

43 Funzioni continue Siano f : A R ed x un punto di accumulazione per A. La funzione f si dice continua in x A se lim f ( x) f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x ) x x

44 Funzioni continue Se f : A R è continua per tutti i punti di un intervallo del dominio allora si dice che è continua in quell intervallo. Se f : A R è continua per tutti i punti di A allora si dice che è continua nel dominio.

45 Funzioni discontinue Se f : A R non è continua in xa allora si dice che la funzione è discontinua nel punto x. Discontinuità di prima specie lim f ( x) lim f ( x) x x y 2 x 3 per x> per x<

46 Funzioni discontinue Se f : A R non è continua in xa allora si dice che la funzione è discontinua nel punto x. Discontinuità di seconda specie 1 y x 3 per x> per x< lim f( x) oppure

47 Funzioni discontinue Se f : A R non è continua in xa allora si dice che la funzione è discontinua nel punto x. Discontinuità di terza specie lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x ) x x y 2 x 3 per x per x=

48 Teorema di Weierstrass Sia f: D=[a,b] R, continua. Essa ammette massimo e minimo assoluto in D. Corollario 1 Sia f: D=[a,b] R, continua. Essa assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo. Corollario 2 Sia f: D=[a,b] R, continua. Se f(a)> f(b)< cd f(c)=.

49 Funzioni continue Sia f: R R, x y=k Essa è continua in R. Sia f: R R x y=x Essa è continua in R.

50 Funzioni continue Sia f: R R x y=mx Essa è continua in R. Sia f: R R x y=x n Essa è continua in R.

51 Operazioni tra funzioni continue Somma Siano f e g: A R continue in A, allora anche f+g è continua. Differenza Siano f e g: A R continue in A, allora anche f-g è continua.

52 Operazioni tra funzioni continue Prodotto Siano f e g: A R continue in A, allora anche f g è continua. Potenza Sia f: A R continua in A, allora anche [f(x)] n è continua.

53 Operazioni tra funzioni continue Divisione Siano f e g: A R continue in A. f Sia B={xA g(x) }. Allora è continua in B. g Sia f: A R continua in A. Sia B={xA f(x) }. Allora 1 è continua in B. f

54 Funzioni continue La funzione identità è continua. I polinomi sono funzioni continue su tutto R. Le funzioni razionali fratte sono continue nel loro dominio. Le funzioni sinx e cosx sono continue su tutto R. La funzione tanx è continua nel suo dominio.

55 Funzioni continue La funzione esponenziale è continua su tutto R. lim a x a x Se ε>, δ ε > x- x < δ ε f(x)-l < ε. x a x x x -δ ε <x<x +δ ε a a a a x x x x x a a a a a

56 Continuità della funzione inversa Sia f: A B continua in x A ed invertibile. Allora f -1 :BA è continua in y =f(x ).

57 Funzioni continue La funzioni irrazionali sono continue nel loro dominio. La funzione logaritmo è continua nel suo dominio. Le inverse delle funzioni trigonometriche sono continue nel loro dominio.

58 Limite di funzione composta Siano f: A B e g: B C. Sia x punto di accumulazione per A e lim f ( x) l. Sia l punto di accumulazione per B e lim g ( y ) L. y l Allora esiste lim g( f ( x)) L.

59 Continuità di funzione composta Siano f: A B e g: B C, continue. Allora anche la funzione g f è continua. lim f ( x) f ( x ) lim y y lim g ( y ) g ( y ) y y lim g( f ( x)) lim g( y) g( y ) g( f ( x )) yy

60 Risoluzione di forme indeterminate - n lim a x a x... a x n n 1 n1 Mettere in evidenza il termine di grado maggiore 2 lim 3x 2 x x 3 lim x4x 2 x

61 Risoluzione di forme indeterminate lim x n a x a x... a n1 n n1 m m1 bmx bm 1x... b Mettere in evidenza il termine di grado maggiore sia al numeratore che al denominatore. x 2 2 lim x 3 2 x 1 x 3 1 lim x 9 2 x 3 lim x x 2 x 1

62 Risoluzione di forme indeterminate lim n anx a x... a m b x b x... b m n1 n1 m1 m1 n1 ( x x ) P ( x) lim 1 ( ) m x x Q ( x ) Scomporre numeratore e denominatore e poi semplificare. lim x1 3 x 2 x x 3 x 2 x x 1 4 6

63 Infiniti e infinitesimi Sia f: A B e sia x punto di accumulazione per A. La funzione si dice infinitesima in x se lim f( x) La funzione si dice infinita in x se lim f( x)

64 Confronto tra infinitesimi Siano f e g: A R e sia x punto di accumulazione per A. Siano f e g infinitesime in x. f( x) lim a R, a gx ( ) f( x) lim gx ( ) f( x) lim gx ( ) f( x) lim gx ( ) f e g sono infinitesimi dello stesso ordine f è infinitesimo di ordine superiore g è infinitesimo di ordine superiore infinitesimi non confrontabili

65 Confronto tra infinitesimi Siano f e g: A R e sia x punto di accumulazione per A. Siano f e g infinitesime in x. f( x) lim gx ( ) f è infinitesimo di ordine superiore rispetto a g. f=o(g)

66 Ordine di un infinitesimo Siano f e g: A R e sia x punto di accumulazione per A. Siano f e g infinitesime in x. Diciamo che f è un infinitesimo di ordine α rispetto a g se f( x) lim l gx ( ) g è detto infinitesimo campione. lim x f( x) x l f( x) lim xb ( x ) b l

67 Confronto tra infinitesimi Siano f : R R e g : R R x y=x x y=sinx lim x x limsin x x f e g sono infinitesime in x=. sin x lim 1 x x f e g sono infinitesimi dello stesso ordine.

68 Confronto tra infinitesimi Siano f : R R e g : R R x y=x x y=x 2 lim x x 2 lim x x f e g sono infinitesime in. 2 x lim x x g è infinitesimo di ordine superiore.

69 Confronto tra infiniti Siano f e g: A R e sia x punto di accumulazione per A. Siano f e g infinite in x. f( x) lim a R, a gx ( ) f( x) lim gx ( ) f( x) lim gx ( ) f( x) lim gx ( ) f e g sono infiniti dello stesso ordine g è infinito di ordine superiore f è infinito di ordine superiore infiniti non confrontabili

70 Confronto tra infiniti Siano f e g: A R e sia x punto di accumulazione per A. Siano f e g infinite in x. f( x) lim gx ( ) f è infinito di ordine superiore rispetto a g. f=o(g)

71 Ordine di un infinito Siano f e g: A R e sia x punto di accumulazione per A. Siano f e g infinite in x. Diciamo che f è un infinito di ordine α rispetto a g se f( x) lim l gx ( ) g è detto infinito campione. lim x f( x) x l

72 Confronto tra infiniti x e 3 x x 2 x x 3 x ln x

73 Esercizio Studiare le seguenti funzioni: y x 2 1 x y x e x