Esercizi sui limiti. lim. lim. lim. lim. log(x 4) + 5x = + + = + 6) x2 4 = 2 =

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Eloisa Buono
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1 Limiti e continuità Risoluzione di forme indeterminate con polinomi Ordine di infinito e confronto di infiniti Alcuni iti notevoli Funzioni continue

2 Esercizi sui iti ( 3 + 3) = ( ) = 57 ( + 2 ) = 1 = + = log( 2) = 3 ( + 1) = + log( 4) + 5 = + + = + log( 6 + 6) 2 4 = 2 =

3 Esercizi sui iti 2 3 log 2 (4) = 9 3 = = 0 3 = 0 1 = = = 8 = = ( 2)(+2) = 4

4 Esempi di forme indeterminate = ( + 1) = 0 (+ ) 2 = + +1

5 Polinomi e forme indeterminate = = = = 3 = 4 3 ( ) 0 3 = 3 = = (1 + 2 ) 0 (4 3) = (1 + 2 ) 0 (4 3) = 1 4 Esercizi:

6 Alcuni iti notevoli sin 0 = = e e 1 0 = 1 Esercizi: Verificare che sin(4) 0 3 e cos 2 1 cos 1 = sin(4) 0 3 = 0 = 1 2 sin 2 = 1 2 = = e 4 (suggerimento: moltiplicare numeratore e denominatore per (1 + cos ))

7 Confronto di infiniti Si dice che la funzione f() è un infinito per 0 se 0 f = ± Siano f() e g() due funzioni che per 0 tendono a ±. Allora il rapporto dei loro iti può essere f() 1. f() è un infinito di ordine superiore rispetto a g() 0 g() = ± f() 2. f() è un infinito di ordine inferiore rispetto a g() 0 g() = 0 f() 3. f() e g() sono infiniti dello stesso ordine 0 g() = l 0

8 Esempi sul confronto di infiniti + 5 e 2 = 0 ln = ln(2) = + e e 2 2 ln log

9 Esempio Quando si hanno iti di rapporti di polinomi, l ordine di infinto si può utilizzare anche per. Per esempio Il numeratore è un infinito di ordine superiore rispetto al denominatore, cioè il numeratore va a infinito più velocemente del denominatore e quindi il ite dell intera frazione va a infinito = = 3 4 = +

10 Confronto di logaritmi, potenze e esponenziali log a + β = 0, a > 1, β > 0 + a = +, a > 1, β > 0 β Calcolare i seguenti iti ln ln

11 Ricapitolando: ± f =? Si possono verificare tre casi: 1. f = l ± la retta y = l è asintoto orizzontale Es: 2 = 0 2. f = ± ± Es: + 2 = + 3. f = non esiste il ite ±

12 Esempi in cui ± f = ± cos = + f =

13 Ricapitolando: 0 f =? con 0 R Si possono verificare tre casi: 1. 0 f = l 2. 0 f = ± la retta = 0 è un asintoto verticale Es: log = f = non esiste il ite

14 Funzioni continue Definizione: Una funzione f: D R R è continua in 0 D se f = f( 0 ) 0 ovvero, se il ite esiste ed è uguale a f( 0 ). Se una funzione è continua 0 D allora è detta continua.

15 Esempio 1 f = 2 D = R 2 2 = 0 0 f 0 = 0 2 Quindi 2 = 2 0 = f( 0 ) 0 0 R e la funzione è continua su tutto il suo dominio.

16 Esempio 2 Esempio: 2 se < 0 f = ቐ 1 se = 0 2 se > 0 f = 0 perché f() = f() = f 0 = 1 Quindi f = 0 f 0 = 1 0 continua in 0 = 0. e la funzione non è

17 Esempio 3 + 2, < 0 f = ቊ 3 + 1, 0 f = perché i due iti 0 0 f = + +(3 + 1) = 1 e 0 0 f = ( + 2) = 2 0 sono diversi. Poiché il ite non esiste la funzione non è continua in 0 = 0.

18 Funzioni continue Le funzioni polinomiali, le potenze, le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche e le funzioni trigonometriche sono continue nel loro insieme di definizione. Siano f() e g() due funzioni continue definite su un dominio comune, allora f + g(), sono continue. f g(), f g con g 0, La composizione di funzioni continue è continua.

19 Esercizi Calcolare i iti delle seguenti funzioni agli estremi del dominio e stabilire se sono continue nel loro dominio f = 1 3 se 3 2 se = 3 f = se 1 2 se = 1 ln se > 0 f = ቊ 2 se 0 f = ቊ e se 0 1 se < 0 f = ቊ cos se 0 2 se = 0 3 se > 1 f = ቐ + 2 se 6 < 1 5 se 6

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