Esercizi relativi al capitolo 4

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Vittorio Mariani
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1 Esercizi relativi al capitolo 4 4. Limiti di funzioni 4.. Veriche di limite Vericare utilizzando la denizione di limite che:. lim + ln(2 ) = lim = 2 3. lim e = 0 4. lim 2 + = 5. lim (2 + 3 ) = 6. lim 2 = + 7. lim 2 ( 2) = lim 2 = 0 9. lim +ln( + ) = 0. lim 0 e = 0. M = e M 2. ɛ = + 2 ɛ 3. M = ln M 4. M = M + M M = 3 M M = log 2 M 7. 2 M < < 2 + M 8. 2ɛ +2ɛ < < + 2ɛ 2ɛ 9. < < + e M 0. lnɛ < < 0.

2 4..2 Calcolo di limiti Calcolare i seguenti limiti: 3. lim lim e lim 3 (+) 2 4. lim (3 + sin) 5. lim 0 +( )ln 3 cos(e ) 6. lim 7. lim cos 8. lim lim 3 2 e 0. lim + +. lim lim π ln sin ln 3. lim lim 0 + (e + ln 2 ) 5. lim lim ln(+2 ).. 2. e

3 Forme indeterminate Calcolare i seguenti limiti rimuovendo le relative forme indeterminate lim 2. lim lim 4. lim + 5. lim lim ln e lim lim 9. lim + ( 2 + ) 3 0. lim ln. lim + 3

4 2. lim ln lim ( 2 + ) 4. lim ln( ) ln(2 + 4) = 5. lim ( + ) 6. lim ( 3 ) 7. lim ( ) 8. lim e 4 + (+) 2 9. lim + ( ) 2 ( 2) 20. lim lim + (3 e ) lim lim lim + (ln + 3 ) 25. lim lim lim 0 e 28. lim lim e 0 3 e 30. lim lim ( ) 2 ) ln( lim 0 2 4

5 2+sin(3) 33. lim 0 sin5 3 ) ln(+ 34. lim lim ( + )3 36. lim + (2 + ) sin( 37. lim 3 ) lim + ( + )2 + ln(+ 39. lim ) lim 0 2sin( ) 4. lim + ( + 2 )

6 ln ln e Innitesimi e inniti 4.2. Ordine di innitesimo Calcolare l'ordine di innitesimo delle seguenti funzioni: 6

7 . f() = ln( + 2 ) 2. f() = e 2 3. f() = (e ) 2 4. f() = 2 + ln( + ) 5. f() = e f() = sin 2 (3) 7. f() = Teorema di cancellazione Calcolare i seguenti limiti utilizzando i teoremi di cancellazione: 2+e 2 0 3sin+ = lim ln+3 2. lim = lim +2 +ln( 2 3 ) = 0 +e 4. lim ln(+) 0 sin = 0 2 ln()+ + 3 = + e + 3 ln 2 0 () lim sin+2 6. lim + 6 +ln() = ln(+3) 0 7. lim 8. lim = e +e 2 + e ln() = 0. 7

8 Asintoti Determinare dominio ed eventuali asintoti verticali, orizzonatali o obliqui delle seguenti funzioni:. f() = f() = f() = e f() = f() = e + e 6. f() = ln 3 7. f() = f() = 2 e.. D f = R \ 5}. Asintoto verticale = 5 2. D f = R \ 2}. Asintoto verticale = 2 e asintoto orizzontale = 3 3. D f = R \ } 3 2. Asintoto verticale sinistro = 3 2 e asintoto orizzontale destro y = 0 4. D f = R. Asintoto obliquo y = 3 5. D f = R \ 0}. Asintoto verticale = 0 e asintoto orizzontale y = 8

9 6. D f = ( 2, ) (2, + ). Asintoti verticali = 2 e = 2 e asintoto orizzontale y = 7. D f = (, 3) (3, + ). Asintoti verticali = 3 e = 3 8. D f = R. Asintoto obliquo y = Continuità 4.4. Classicazione dei punti di discontinuità Stabilire se le seguenti funzioni siano continue nel loro dominio e classicarne gli eventuali punti di discontinuità:. f() = 2 +2 ln 2. f() = f() = 2 4. f() = cos 3 < 0 e = 0 discontinuità eliminabile, = ±punti di innito 2. = ± discontinuità eliminabili 3. = π 2 + kπ, punti di innito 4. = 0 discontinuità di salto Continuità Si determini il valore di k per cui le seguenti funzioni risultino continue: e +k. f() = + < 2. f() = 3. f() = 4. f() = 2 sin 0 k = 0 k 2 2 k < e k > 0 0 9

10 5. f() = 6. f() = 7. f() = 8. f() = 9. f() = 0. f() = ln( + k) > k > 2 ln( 2k) > > k 2 k ksin 0 3 = 0 k e k 2 <.. k = 2. k = 0 3. k = k = 5. k = e 6. k = ± 7. k = 8. k = ± 3 9. k = 3 0. k = 0 e k =. Determinare i valori di k per cui le seguenti funzioni risultino continue ed in corrispondenza di tali valori si stabilisca, utilizzando il graco se esse risultano iniettive, suriettive, invertibili: k + 2 >. f() = 2k 3 0

11 2. f() = 3. f() = 4. f() = + > ln( + k) + k 2 > k 3 e k > 0 ln( + ) Per k = 4 la funzione è continua, suriettiva, iniettiva quindi invertibile Per k = e la funzione è continua, non suriettiva, non iniettiva quindi non invertibile Per k = la funzione è continua, è suriettiva, non iniettiva quindi non invertibile.

12 Per k = la funzione è continua, è suriettiva, iniettiva quindi invertibile. 2

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