Analisi I - IngBM COMPITO B 20 settembre 2014 MATRICOLA... VALUTAZIONE =...

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1 Analisi I - IngBM COMPITO B 0 settembre 0 COGNOME... NOME... MATRICOLA... VALUTAZIONE =.... Istruzioni Gli esercizi devono essere svolti negli appositi spazi del presente fascicolo; solo questo sarà ritirato e valutato. I fogli a quadretti messi a disposizione possono essere usati liberamente ma in nessun caso saranno ritirati. Il compito è composto di due parti. La prima parte deve essere svolta preinarmente. Essa verrà corretta per prima e valutata con un punteggio di 0 x 0 punti. Condizione necessaria affincé venga preso in considerazione l eventuale svolgimento della seconda parte è ce x 6. In tal caso la seconda parte viene valutata con un punteggio di 0 y punti. Il compito sarà sufficiente per l ammissione alla prova orale se x + y 8. In tal caso il voto di ammissione all orale sarà v = min(8,x + y).. Prima parte Esercizio 0 (punti 0). Leggere e capire le istruzioni. Esercizio.(3 punti) Dire se esiste il seguente ite e nel caso esista calcolarlo. Il ite L non esiste percé L = x log(x 3 ) x x Il ite L esiste e vale 3. Siamo nelle condizioni di poter applicare il teorema dell Hopital, pertanto log(x 3 ) x x = x x 3 3x = 3

2 Esercizio.(3 punti) Calcolare, giustificando il risultato ottenuto, il seguente integrale definito I := 0 x e x dx I = (7e ), percé. integrando ripetutamente per parti si ottiene x e x dx = x e x xe x dx = = x e x ( xex e x dx) = = x e x ( xex ( ex )) = = ex (x x + ) Da cui, I = e x (x x + ) = (7e ) 0 Esercizio 3.( punti) Costruire una funzione elementare continua f : D R, specificandone l insieme di definizione D R, tale ce la retta x = e la retta y = sono rispettivamente il solo asintoto verticale e il solo asintoto orizzontale di f. SOLUZIONE Una funzione ce soddisfa le ricieste è la funzione dal dominio D = R \ { } a R definita da f(x) = x x +. f è una funzione tale ce le rette x = e y = sono rispettivamente il solo asintoto verticale e il solo asintoto orizzontale del grafico ed inoltre f è elementare percé costruita applicando ripetutamente le procedure di somma, reciproco, opposto e prodotto a partire dalla funzione identità a = x x, e dalle due funzioni costanti a = x e a = x. Infatti per costruire f si puó procedere prima sommando la funzione identità rispettivamente alle due funzioni costanti a e a, ottenendo le due funzioni α = x a(x)+a (x) = x e β = x a(x) + a (x) = x +, poi costruendo, tramite una operazione di opposto, la funzione α = x α(x) = x e tramite una operazione di reciproco la funzione γ = x β(x) = e infine la f con una operazione di prodotto ( x + ) f = x α (x) γ(x) = ( x) = x x + x +. Essendo le funzioni a,a,a definite su tutto R ance le funzioni α, α e β risultano definite su tutto R. La funzione γ risulta definita su R \ {β = 0} cioè R \ { } e così la funzione f risulta definita in D = R \ { }.

3 3 3. Seconda parte Esercizio.(, punti) Una funzione f : R R si dice buona se α R, f(α) 0. Negando questa definizione, dare la definizione di funzione non buona. Una funzione f : R R è non buona se α R tale ce f(α) < 0. Esercizio.(, punti) Siano A, B, C insiemi finiti, A =, B =, C =, C B. Determinare il numero n delle applicazioni iniettive f : A B tali ce l mmagine Im(f) di f è tutta contenuta in B \ C. n = 0. Infatti poicé A = e B \C = una qualsiasi applicazione tra un insieme con elementi ed un insieme con un solo elemento non può essere iniettiva. Esercizio 3.( punti) ) Dato z = + i C, determinare w = a + ib C tale ce zw = + i. ) Determinare tutte le soluzioni z C dell equazione e z = i. ) w = 3 + i. w = + i + i = + i + i i i = ( + i)( i) = 3 + i ) Le soluzioni dell equazione sono z = log i π + kπi con k Z. Infatti se z = x + iy è soluzione dell equazione si deve avere e x (cosy + i sin y) = i = ( i ) = (cos( π ) + i sin( π )) Da cui si ottiene x = log e y = π + kπ cioè z = log i π + kπi con k Z

4 Esercizio.(9 punti) Si consideri la funzione f : R R definita da: e x+ x se x >, f(x) = 0 se x =, min(0,e x+ x ) se x <. () Determinare, giustificando la risposta, il più grande sottoinsieme D R tale ce la restrizione di f su D è continua. () Determinare, giustificando la risposta, il più grande sottoinsieme D R tale ce la restrizione di f su D è derivabile. (3) Determinare gli asintoti della funzione f. () Determinare tutti i punti di minimo locale della funzione f. () Determinare tutti i punti di massimo locale della funzione f. ) L espressione e x+ x definisce una funzione in tutti i punti di R tranne il punto ; in questo insieme tale funzione è continua e positiva. Quindi per x < la funzione f vale identicamente 0, è continua e f(x) = 0. x x + Osservando ce f(x) = 0, percé =, si può concludere ce la f è x + x + x una funzione continua su tutto R. ) La derivata di f nei punti x < è identicamente nulla. Nei punti x > essa vale ( x) e x+ x. Per vedere se f è derivabile nel punto calcoliamo il ite del rapporto incrementale. A sinistra di tale ite vale 0. A destra si a f( + ) f() 0 + e 0 + = 0 + f( + ) e T = = 0. T + e T Ponendo T = si a Pertanto la funzione è derivabile in tutto R. e (+ ) 0 + = 3) Essendo la funzione per x < identicamente nulla, l asse delle x è un asintoto orizzontale per la funzione. Essendo f(x) = x + e abbiamo ce ance la retta y = è un asintoto orizzontale e per x + a cui il grafico della funzione si avvicina da sotto: l esponente x + x per x + è infatti definitivamente minore di -. Si può ance mostrare ce la derivata è continua in. Essendo la funzione a sinistra di identicamente nulla basta calcolare il ite di ( x) e x+ x per x +. Poniamo T = x : si a x + ( x) e x+ x = T e +T = T T e T e T = 0

5 ) e ) La funzione è identicamente 0 per x e è crescente per x > (la derivata per x > è positiva) per cui l insieme dei punti di minimo locale è {x R x } mentre l insieme dei punti di massimo locale è {x R x < } Esercizio.(8 punti) Determinare l integrale generale dell equazione differenziale: y 3y + y = e x SOLUZIONE Essendo le radici del polinomio caratteristico e si a ce la soluzione generale dell equazione omogenea è C e x + C e x. Con uno dei vari metodi si calcola ce xe x è una soluzione particolare: ad esempio cercando un integrale del tipo (Ax + B)e x e facendo esplicitamente i calcoli si ottiene A = e B = qualsiasi, cioè ce un integrale particolare è del tipo (x + c)e x ma poicé ce x è ance soluzione dell omogenea basta considerare solo xe x Per cui l integrale generale dell equazione è C e x + C e x + xe x.