Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A. Pisa, 3 settembre 2018

Transcript

1 Università di Pisa - orso di Laurea in Informatica nalisi Matematica Pisa, settembre 208 ( cos x sin se x 0 Domanda Sia f : R R definita da f(x = x 0 se x = 0. non esiste la derivata di f in x = 0 f (0 = + f è derivabile in tutto R D f +(0 =, f (0 = + Domanda 2 La funzione f : R R definita da f(x = x 4 cos(x 2 non è né iniettiva né surgettiva è bigettiva è iniettiva ma non surgettiva D è surgettiva ma non iniettiva Domanda La funzione f : (0, + R definita da f(x = x2 + 4 x x 2 + log x ha massimo ma non ha minimo ha sia massimo che minimo ha minimo ma non ha massimo D non ha né massimo né minimo Domanda 4 L insieme = {n N : 2n + 2n 2 + n > 2} ha sia massimo che minimo non ha né massimo né minimo ha minimo ma non ha massimo D ha massimo ma non ha minimo llora D Domanda D lim n + e /n2 ( sin n n = Domanda 6 Sia F (x = 5x 4 x 5 + Domanda 7 lim n n x5 log( + t dt. llora F (x = 20x log(x + + 5x4 x + (n+2π nπ (sin x 2 (cos x 2 dx = non esiste 0 + D π 2 20x log(x x8 x 5 + D log(x 5 + log 4 ( Domanda 8 Una primitiva della funzione f(x = sin 4 x cos x 4 sin x cos x + sin 2 x cos x 2 cos x sin 2 x sin x tan 2 x + è cos5 x sin x 5 ( tan x + x D cos x sin x y = y + 5x Domanda 9 Sia y(x la soluzione del problema di auchy llora y( = y(0 = e D 0 4e y 4y + y = 0 Domanda 0 Sia y(x la soluzione del problema di auchy y(π = e 2π llora y(2π = y (π = 5e 2π. e 4π e 2π 5e 2π + 2e 2π D 7e 2π codice

2 Università di Pisa - orso di Laurea in Informatica nalisi Matematica Pisa, settembre 208 (ognome (Nome (Numero di matricola Esercizio Studiare la funzione f(x = (x+2e x + determinandone insiemi di definizione, asintoti (compresi quelli obliqui, estremi superiore e inferiore (o massimo e minimo, punti di massimo e minimo locali. Trovare almeno un punto di flesso della funzione e tracciare un grafico approssimativo. La funzione è definita e derivabile in tutto R. alcoliamo il limiti all infinito. lim f(x = x e = 0 forma indeterminata che si può facilmente risolvere con il teorema di De l Hôpital riscrivendo prima la funzione in questo modo lim f(x = lim x + 2 x x e = lim x x x 2 e = x e + = = 0. lim f(x = + x + e+ = +. Da questi risultati si deduce subito che la funzione non è superiormente limitata e che ha minimo. ontrolliamo l eventuale presenza di un asintoto obliquo per x che tende a +. f(x lim x + x = lim x + x + 2 e x + = e + = + x non ci sono quindi asintoti obliqui. Determiniamo ora i punti di massimo o minimo locali calcolando la derivata il cui segno è determinato solo da quello del polinomio f (x = e x + + (x + 2x 2 e x + = e x + (x + 2x 2 + p(x = x + 2x 2 + che avrà sicuramente almeno una radice reale, essendo di grado dispari. Osserviamo che p( = = 0 quindi il polinomio è divisibile per x +. Eseguendo la divisione tra polinomi otteniamo x + 2x 2 + = (x + (x 2 x + e il trinomio x 2 x + non ha radici reali, avendo discriminante negativo, quindi è sempre positivo. Ne consegue che f (x < 0 se x <, f ( = 0 e f (x > 0 se x >. La funzione f è quindi strettamente decrescente sulla semiretta (, ], strettamente crescente sulla semiretta [, + e il punto x = è di minimo assoluto. vremo anche che min(f = f( = ( + 2e + =. erchiamo ora eventuali punti di flesso calcolando la derivata seconda. ( f (x = x 2 e x + (x + 2x e x + (9x 2 + 4x = e x + (9x 5 + 6x 4 + x 2 + 9x 2 + 4x = e x + x(9x 4 + 6x + 2x + 4. Il segno della derivata seconda è determinato da quello del polinomio q(x = x(9x 4 + 6x + 2x + 4.

3 Ponendo r(x = 9x 4 + 6x + 2x + 4 è immediato verificare che r(0 = 4, quindi il teorema sulla permanenza del segno ci garantisce che r(x > 0 in un intorno di x = 0. Ne segue che q(x > 0 in un intorno sinistro di 0 e q(x > 0 in un intorno destro di 0. llora f (x < 0 in un intorno sinistro di 0 e f (x > 0 in un intorno destro. La funzione quindi passa da concava a convessa attraversando x = 0 che pertanto è punto di flesso. 5 2,5-2,8-2,4-2 -,6 -,2-0,8-0,4 0 0,4 0,8 Esercizio 2 alcolare (x 2 + 2x arctan x dx. Utilizziamo la formula di integrazione per parti derivando arctan x e integrando x 2 + 2x. (x 2 + 2x arctan x dx = (x + x 2 arctan x (x + x 2 x 2 + dx. Per integrare la funzione razionale x + x 2 x 2 + eseguiamo la divisione fra polinomi ottenendo vremo allora x + x 2 (x 2 x 2 + dx = + (x + x x 2 + = x2 2 + x 2 2x x 2 + dx x + x 2 = (x 2 + (x + x. dx = x + x2 x + dx x 2 dx = x 2x x 2 + dx dx x 2 + = x2 2 + x 2 log(x2 + arctan x + c. Unendo questo risultato al precedente otteniamo che ( x (x 2 + 2x arctan x dx = (x + x 2 2 arctan x 2 + x 2 log(x2 + arctan x + c = (x + x 2 + arctan x x2 2 x + 2 log(x2 + + c.

4 Esercizio Risolvere il problema di auchy y 9y = ( 4x e 2x y(0 = 2 y (0 = 4. Iniziamo risolvendo l equazione omogenea associata y 9y = 0 il cui polinomio caratteristico è λ 2 9 che ha le radici λ = e λ 2 =. La soluzione generale dell omogenea è quindi y 0 (x = c e x + c 2 e x. Determiniamo ora una soluzione particolare con il metodo dei coefficienti indeterminati. Il termine noto è un polinomio di primo grado per l esponenziale e αx con α = 2. Dato che 2 non è radice del polinomio caratteristico, non siamo in presenza di risonanza. ercheremo allora una soluzione particolare del tipo Derivando due volte otteniamo ȳ(x = (x + ȳ = e 2x + (x + 2e 2x = e 2x (2x ȳ = 2e 2x (2x e 2x 2 = e 2x (4x = e 2x (4x Sostituendo nell equazione differenziale completa otteniamo Dividendo per e 2x abbiamo e 2x (4x e 2x (x + = ( 4x 4x x 9 = 4x 5x = 4x. pplicando il principio di identità dei polinomi otteniamo il sistema lineare 5 = = che ha come unica soluzione = 4 5, = 22. La soluzione particolare risulta quindi ( 4 ȳ = 5 x + 22 La soluzione generale dell equazione completa si ottiene sommando la soluzione dell omogenea con la soluzione particolare ( 4 y = y 0 + ȳ = c e x + c 2 e x + 5 x + 22 Troviamo ora i coefficienti c e c 2 utilizzando le condizioni iniziali. Deriviamo la soluzione y = c e x + c 2 e x + 4 ( 4 5 e2x x + 22 Sostituendo x = 0 abbiamo y(0 = c + c , y (0 = c + c

5 Otteniamo il sistema lineare c +c c +c che ha come unica soluzione c = 40 50, c 2 = Sostituendo nella soluzione generale otteniamo la soluzione del problema di auchy y(x = e x 49 ( 4 6 ex + 5 x + 22 = 2 = 4