SOLUZIONI ESERCIZI ASSEGNATI. Contents. Il seguente Teorema generalizza al caso delle funzioni il corrispondente Teorema di confronto per successioni

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1 SOLUZIONI ESERCIZI ASSEGNATI Contents. SOLUZIONI ESERCIZI DEL 8. [B] Dispense a cura del docente.. SOLUZIONI ESERCIZI DEL 8. Il seguente Teorema generalizza al caso delle funzioni il corrispondente Teorema di confronto per successioni divergenti (vedere [B] 7.. TEOREMA Per ogni α > 0, per ogni a >, e per ogni β > 0, si ha (log a β α α 0, (log a β + ; α 0, aβ a β a β α + ; 0, α + ; aβ La dimostrazione di questo Teorema si può ottenere usando il Teorema suddetto valido per le successioni divergenti e la definizione di ite di funzione (vedere [B] 8., Definizione 8.. α 8. ESERCIZI CONSIGLIATI. Calcolare i seguenti iti. ( 4, ( +, (log ( 4 + (cos (log (, (log ( 7 6 +, e + e e e. e + + sin (, + +. Soluzione: ( + +. Si ha, + ( + + (

2 (log ( È chiaro che, per +, si ha, 4 0, 4 0, 6 0, (log ( 7 Quindi, per +, si ha, (log (7 0, (log ( (log ( e e e. Si ha e + e e + e e e e e +, +, dove si è osservato che +e e >, > 0. ( 4. Si ha, 4 ( 4 ( (log ( 4 +(cos (log ( 4. Si ha, log ( 0,. Inoltre, per il teorema del confronto, le disuguaglianze implicano che Si ha allora, 4 cos (log ( 4 4 4, cos (log ( 4 0, (log ( 4 + (cos (log ( (log ( (cos (log (, +. 4 e sin ( Dato che per ogni < 0 si ha, per, si ha, e + + sin ( + + sin ( e + e + sin (e + e + sin (e dove si è usato nuovamente il teorema del confronto per dimostrare che sin ( 0, ,

3 Questo esercizio è più delicato. Non è difficile verificare che si tratta di una forma indeterminata del tipo (+ (+. Mettendo in evidenza i termini dominanti a numeratore e denominatore di entrambe le frazioni otterremmo il termine a moltiplicare due frazioni che tendono entrambe a per. Mettendo nuovamente in comune il termine otterremmo un forma indeterminata del tipo + ( + 0, e saremmo allora costretti a calcolare la somma delle frazioni sperando in qualche semplificazione. Dunque è meglio in questo caso fare subito il minimo comune multiplo, per ottenere + + ( ( ( + ( + ( + ( Quindi, dato che per ogni < 0 si ha, concludiamo che ( 4 ( ( ( ( , ESERCIZI CONSIGLIATI: Calcolare i seguenti iti +, [ ] 4. Soluzione: +. Razionalizzando, si ha, per, + +. (. + + Dato che la radice quadrata y è una funzione continua in [0, +, in particolare è continua in y 0 e quindi y, y. Dato che +,, concludiamo che +,. Quindi, + + +,.

4 4 Una volta ottenuta la (., si sarebbe anche potuto scrivere direttamente + + y y +.. [ ] 4 Ponendo y +, +, si ha y y y y ( 4 y + y 4 y + y 4 ( y ( y + (0. Interpretando questo esercizio con [ ] funzione parte intera, si ottiene lo stesso risultato osservando che se y > 0, si ha y [y] < y + e quindi y 4 [y] 4 < (y + 4. Si ottiene allora y ( ( y [y] 4 y y ( ( y (y + 4 y, definitivamente per y + dove si è usato il fatto che l argomento della parentesi tonda è definitivamente negativo. La tesi segue allora dal Teorema di confronto. ESERCIZI: Per le seguenti funzioni determinare il dominio naturale e calcolare i iti possibili corrispondenti a tutti gli estremi del dominio determinato. Dire poi se e in quali punti le funzioni date si possono estendere per continuità. arctan (log (, log ( cos, e, e, e (, log, arctan. 4, Soluzione: f( arctan (log (. Dato che la funzione arcotangente ha dominio naturale R e la funzione logaritmo ha dominio naturale (0, +, si ha dom(f R : > 0} R \ 0} (, 0 (0, +. Si tratta quindi di calcolare i iti di f( per ± e 0 ±. Dato che f è pari si ha f( f(, e f( f(, e quindi è sufficiente calcolare i iti per + e 0 +. Dato che log +, +, si ha Dato che log, 0 +, si ha arctan (log ( arctan y π y +. arctan (log ( arctan y π 0 + y. Dato che arctan (log ( π 0 ±, concludiamo che f si può estendere per continuità in 0 0, ponendo f(0 π. In particolare, dato che, log ( e arctan ( sono continue nei loro domini di definizione, per il Teorema in

5 [B] 8., arctan (log ( è continua in R \ 0}. Allora, per il Teorema in [B] 8., la funzione estesa arctan (log (, 0 f( π, 0, è continua in R. f( log ( cos. Si ha dom(f R : cos > 0} R \ (n + π, n Z}. Dato che cos ( è periodica di periodo π, è sufficiente studiare i iti corrispondenti ad un qualunque intervallo di ampiezza π. Se scegliamo [0, π], f sarà definita in [0, π] \ π } e si tratterà di calcolare i iti per ( π ±. Se scegliamo [ π, π ], f sarà definita in ( π, π e si tratterà di calcolare i iti per (. ± π Scegliamo per esempio l ultimo caso. Dato che cos ( 0 +, per ± π, si ha log ( cos log y. ±( π y 0 + Come sopra f è continua nel suo insieme di definizione. In questo caso, ogni punto appartenente a (n + π, n Z} è di asintoto verticale per f. Quindi f non si può estendere per continuità. f( e. Si ha dom(f R : 0} R \ 0} (, 0 (0, +. Si tratta quindi di calcolare i iti di f( per ± e 0 ±. e e + e 0 + +, e e 0 + e + +, 0 + e e 0 e 0 +, 0 e e e 0. Come sopra, f è continua nel suo insieme di definizione. 0 0 è di asintoto verticale e quindi f non si può estendere per continuità. D altra parte, ponendo e, 0 f( 0, 0, si ottiene una funzione continua da sinistra in 0 0. f( e. Si ha dom(f R : 0} R \ 0} (, 0 (0, +. Si tratta quindi di calcolare i iti di f( per ± e 0 ±. Dato che f è pari, è sufficiente calcolare e e e + e 0, e e e 0 + e

6 6 Come sopra, f è continua nel suo insieme di definizione. In questo caso 0 ± e quindi f si può estendere per continuità in 0 0 ponendo f( e, 0 0, 0. 0 e f( e 4. Si ha dom(f R : 4 0} R \ 4, 4} (, 4 ( 4, 4 (4, +. Si tratta quindi di calcolare i iti di f( per ± e 4 ± e 4 ±. Dato che f è pari, è sufficiente calcolare i iti per + e 4 ±. e 4 e 4 e + e 0 + +, e 4 e 4 e 0 + e + +, e 4 e 4 e 0 e Come sopra, f è continua nel suo insieme di definizione. 0 ±4 sono di asintoto verticale e quindi f non si può estendere per continuità. D altra parte, ponendo f( e 4, / 4, 4} 0, 4, 4}, si ottiene una funzione continua da sinistra in 0 4 e continua da destra in 0 4. Notare che f è continua da destra (e non da sinistra in 0 4 perché se f è una funzione pari e 0 dom(f, si ha sempre f( + 0 f(. 0 f(. Si ha dom(f R : 0} R \, } (, (, (, +. Si tratta quindi di calcolare i iti di f( per ± e ± e ±. Dato che f è pari, è sufficiente calcolare i iti per + e ±. dove si è osservato che > >. + Dato che f è pari, segue che , 0 + +, 0. +,. Come sopra, f è continua nel suo insieme di definizione. 0 ± sono di asintoto verticale e quindi f non si può estendere per continuità.

7 ( f( log. 7 Si ha } dom(f R : > 0 R : 0} R \, 0, } (, (, 0 (0, (, +. Si tratta quindi di calcolare i iti di f( per ±, 0 ±, ± e ±. Dato che f è pari, è sufficiente calcolare i iti per + e ± e 0 +. Dato che +, +, si ha Dato che Dato che ( log +, ±, si ha ( log ± 0 +, 0 +, si ha ( log 0 + y + log (y log ( log (y +. y + log (y. y 0 + Come sopra, f è continua nel suo insieme di definizione. 0 0, ± sono di asintoto verticale e quindi f non si può estendere per continuità. f( arctan. Si ha dom(f R : 0} R \, } (, (, (, +. Si tratta quindi di calcolare i iti di f( per ±, ± e ±. Dato che f è pari, è sufficiente calcolare i iti per + e ±. arctan arctan ( π + arctan y arctan ( +, y + 4 arctan ( π ± arctan y, y + dove si è osservato che arctan y < π y R. Come sopra, f è continua nel suo insieme di definizione. Ponendo arctan f(, /, },, }, si ottiene una funzione continua in R. π