PROVA SCRITTA ANALISI II

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1 PROA SCRITTA ANALISI II Esercizio. Discutere la convergenza puntuale e la convergenza uniforme in (, + ) e in (, + ) della successione di funzioni (2 punti). f n (x) = e x arctan x n Soluzione. Per avere un idea delle funzioni f n si veda questo grafico,5π,25π 2 Per le note proprietà dei iti delle funzioni elementari (x n + al tendere di n a + se x >, x n al tendere di n a + se < x <, y + arctan y = π/2) si ha che la successione converge per ogni x (, + ), e precisamente f n(x) = f(x) = n + x (, ) π 4 x = π 2 e x x > Poiché le funzioni f n sono continue in (, + ) e la funzione ite f(x) presenta una discontinuità in x =, la convergenza non può essere uniforme in qualunque intervallo contenente x =. In particolare non vi è convergenza uniforme in (, + ). Anche in (, + ) non vi è convergenza uniforme. Per dimostrarlo è possibile utilizzare il teorema sull inversione dei iti, che dice che se f n converge uniformemente a f nell insieme I e se esiste, per ogni n, il ite x x f n (x) allora esistono e sono uguali i iti f n (x) = n + x x x x f n(x). n + Usando questo teorema troviamo una contraddizione. convergenza uniforme in (, + ), avremmo che π 4 = n + x + e x arctan x n = x + π 2 e x = π 2 Infatti se ci fosse Data: 25 febbraio 29.

2 2 PROA SCRITTA ANALISI II Il fatto che non vi sia convergenza uniforme in (, + ) si può anche dimostrare direttamente, osservando che sup f(x) f n (x) = sup e x π x (,+ ) x (,+ ) 2 e x arctan x n = sup e x π x (,+ ) 2 arctan xn Per ogni fissato n scegliamo a n (, + ) tale che a n n = 3, cioè a n = 3 /2n (si noti che a n e che < a n 3) abbiamo che arctan a n = arctan 3 = π/3. Allora π sup f(x) f n (x) e an x (,+ ) 2 π e 3 π 3 6 > e subito segue che non vi può essere convergenza uniforme. È anche chiaro che questa stessa dimostrazione mostra che non vi può essere convergenza uniforme in (, + ), poiché sup f(x) f n (x) sup f(x) f n (x). x (,+ ) x (,+ ) Esercizio 2. Discutere continuità, derivabilità e differenziabilità nell origine, al variare di α >, della funzione { x(sin(x α +y 2α )) (x, y) (, ) f(x, y) = x 3/2 + y 3/2 (x, y) = (, ) (2 punti) Soluzione. Innanzi tutto la funzione non è ben definita: x α ha senso per un α generico solo se x >. Supporremo quindi che la funzione sia definita, per (x, y) da x(sin( x α + y 2α )) x 3/2 + y 3/2. Per quanto riguarda il termine y 2α lo riterremo uguale a y 2α (e quindi se α = 3/2 y 2α = y 3 e non y 2α = y 3 ). Ricordiamo che poiché stiamo studiando il ite per x 2 + y 2, possiamo sempre supporre che x e y sono sufficientemente piccoli; sin z da z z = segue che per sin z ( + δ) z per z abbastanza piccolo (useremo questa diseguaglianza con δ = /2); y 2α y α (come abbiamo osservato possiamo supporre y < ); per ogni β > esistono due costanti m ed M positive tali che m( x β + y β ) (x 2 + y 2 ) β/2 M( x β + y β ); x β ( x 2 ) β/2 ( x 2 + y 2 ) β/2 Iniziamo a vedere per quali α > sono continue le restrizioni di f(x, y) lungo gli assi coordinati. Se la funzione è continua, saranno continue anche le sue restrizioni. Quindi la funzione non sarà continua per gli α per cui non sono continue le restrizioni. Poichè f(x, ) = x + x + x sin(x α ) x 3/2 = x + x+α 3/2 sin(xα ) x α

3 PROA SCRITTA ANALISI II 3 si ha che il ite è solo se + α 3/2 >, cioè se α > /2. Quindi la funzione sarà sicuramente discontinua per α /2. Si noti anche che f(, y) = per ogni y. Mostriamo ora che la funzione è effettivamente continua per α > /2. x(sin( x α + y 2α )) x 3/2 + y 3/2 3M x ( x α + y 2α ) 2 (x 2 + y 2 ) 3/4 3M 2 3M 2 (x 2 + y 2 ) /2 ( x α + y α ) (x 2 + y 2 ) 3/4 (x 2 + y 2 ) /2 (x 2 + y 2 ) α/2 (x 2 + y 2 ) 3/4 = 3M 2 (x2 + y 2 ) (α )/2 che tende a zero se α >. Ne segue la continuità di f nell origine per tutti gli α > /2. Per quanto riguarda la derivabilità, la derivata parziale rispetto a x in (, ) è data dal ite f(x, ) f(, ) x sin( x α ) = x x x x x 3/2 = x α 3/2 sin( x α ) x x α che esiste finito se α 3/2. Tale derivata parziale è nulla per α > 3/2 ed è uguale a per α = 3/2. La derivata parziale rispetto a y in (, ) è data dal ite f(, y) f(, ) = y + y per tutti gli α >. Infine la differenziabilità per f. Osserviamo innanzi tutto che f può essere differenziabile solo per α > 3/2 (per essere differenziabile deve essere derivabile). Per verificare la differenziabilità utilizziamo la definizione e verifichiamo per quali α > 3/2 (discuteremo poi il caso α = 3/2) abbiamo che f(x, y) f(, ) f x (, )x f y (, )y = (x,y) x 2 + y 2 Poichè f(, ) = f x (, ) = f y (, ) = per tutti gli α > 3/2, tale ite si può calcolare utilizzando le stime sopra trovate: f(x, y) 3M (x 2 + y 2 ) (α )/2 = (x,y) x 2 + y 2 (x,y) 2 x 2 + y 2 se α > 3/2. ediamo ora che succede se α = 3/2. f(x, y) f(, ) f x (, )x f y (, )y (x,y) x 2 + y 2 = (x,y) ( ) x (sin( x 3/2 + y 3 )) x 2 + y 2 x 3/2 + y 3/2

4 4 PROA SCRITTA ANALISI II Questo ite non è nullo. Se lo fosse, dovrebbe essere nullo anche il ite t + ( ) t (sin( t 3/2 + t 3 )) t 2 + t 2 t 3/2 + t 3/2 ( ) t (sin(t 3/2 + t 3 )) = t + 2t 2t 3/2 = 2 2 Esercizio 3. Calcolare il volume della regione che si ottiene intersecando i due cilindri x 2 + z 2 e y 2 + z 2. (2 punti) Soluzione. Il metodo più semplice è quello di osservare che, per ogni z fissato in [,, x e y devono soddisfare x z 2, y z 2 e cioè stare nel quadrato di lato 2 z 2 (e quindi le sezione del nostro solido a z fissato sono tutte dei quadrati). Allora = { (x, y, z) z, z 2 x z 2, z 2 y z 2 }, per cui z 2 z 2 dz z 2 dy = 4 z 2 ( z 2 ) dz = 6 3 Se invece di fissare prima la z fissiamo prima la x [, abbiamo due possibilità: vedere prima a che insieme deve appartenere la y (fissato x) e poi a che insieme deve appartenere la z (fissate x e y) oppure vedere prima a che insieme deve appartenere la z (fissato x) e poi a che insieme deve appartenere la y (fissate x e z). Se seguiamo la prima strada abbiamo che per ogni x [, y può variare in [,. Fissati x e y in [, [,, z deve soddisfare sia z 2 x 2 che z 2 y 2, e quindi deve essere z min{ x 2, y 2 } = β(x, y). Quindi = { (x, y, z) x, y, β(x, y) z β(x, y) }, e β(x,y) 2 β(x, y) dy β(x,y) Poiché β è pari in x e y, abbiamo che 2 = 8 x β(x, y) dy = 8 β(x, y) dy + 8 x β(x, y) dy β(x, y) dy

5 PROA SCRITTA ANALISI II 5 Nel primo degli integrali nell ultimo membro a destra y < x, mentre nel secondo y > x. Ne deduciamo che x 8 x 2 dy + 8 y 2 dy = 8 x x = 8 3 ( x2 ) 3/ x x y 2 dy [ arcsin y + y y 2 x = ( π 2 arcsin x x x 2 ) = π + 4 [ x arcsin x x 2 3 ( x2 ) 3/2 = π + 4( π ) 6 = 3 3 L ultimo metodo con cui calcoliamo l integrale è fissando prima la x [,, poi la z e infine la y. In tal caso, per ogni fissato x [,, z può variare in [ x 2, x 2. Fissato x e z abbiamo che y può variare in [ z 2, z 2. Quindi e = { (x, y, z) x, x 2 z x 2, z 2 y z 2 }, = 4 x 2 x 2 dz x 2 dy z 2 x 2 z 2 dz x 2 [arcsin z + z z 2 2 x 2 x 2 [ arcsin x 2 + x x 2 [ arccos x + x x 2 = 4 [x arccos x x 2 3 ( x2 ) 3/2 = 4( + 3 ) = 6 3 In quest ultimo caso si sarebbe anche potuto passare a coordinate cilindriche x = ρ cos θ, z = ρ sin θ, y = y e ottenere = { (ρ, θ, y) ρ, θ 2π, ρ 2 y ρ 2 },

6 6 PROA SCRITTA ANALISI II da cui = 2 3 = 2 3 = 2 3 = 4 3 π/2 π/2 ρ 2 ρ dρ ρ 2 dy ρ ρ 2 dρ [ ( ρ 2 ) 3/2 [ ( ) 3/2 [ cos θ 3 [ cos 3 θ = 8 3 ρ= ρ= π/2 [ cos 3 θ = 8 [ cos θ 3 sin θ + π/2 sin θ + sin θ = 6 3 Una rappresentazione del solido è riportata nelle figure seguenti Esercizio 4. (solo per il vecchio ordinamento) Trovare la soluzione del problema di Cauchy { x( + y 2 )y = 3 y() =