ANALISI MATEMATICA T-B xx Maggio 2019 (tempo 90 minuti)

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1 ESERCIZIO 1 La lunghezza della curva γ(t) = (e t, 2t, e t ), t [0, 1] è γ F d s =, con F (x, y, z) = (xy 4 z 2, 2x 2 y 3 z 2, x 2 y 4 z) ESERCIZIO 2 Sia x = x(t) la soluzione del problema di Cauchy t 2 ẋ(t) = 1 + (x(t)) 2, x(1) = 1 Allora x(4/(4 + π)) = ESERCIZIO 3 I punti critici della funzione f(x, y) = x 2 /2 + xy 2 + y 5 /5 sono ESERCIZIO 4 La serie di Fourier della funzione f uguale a 0 per x [0, π] ed a x π, per x ]π, 2π], è ESERCIZIO 5 Sia S = {(x, y, R 2 x 2 y 2 ) x 2 + y 2 R 2 } 2 1 ds = S ESERCIZIO 6 Usando la definizione verificare che la funzione f(x, y) = x 2 y è differenziabile su R 2

2 Soluzioni: 1 La lunghezza di γ è e e 1, γ F d s = 2 2 x(4/(4 + π)) = 0 3 (0, 0) è un punto critico degenere, ( 4, 2) è un minimo locale π k=1 ( 1+( 1)k+1 cos(kx) 1 sin(kx)) πk 2 k 5 4πR 2 6 La funzione f = f(x, y) è differenziabile nel punto (x, y) se f(x + h, y + k) f(x, y) x f(x, y)h y f(x, y)k lim = 0 (h,k) (0,0) h2 + k 2 Nel caso in esame si deve verificare che 2khx + h 2 y + h 2 k lim = 0 (h,k) (0,0) h2 + k 2 Visto che k h 2 + k 2 ed h h 2 + k 2, si conclude la verifica usando il teorema del confronto: 2khx + h 2 y + h 2 k lim lim {(2 x + y ) h 2 + k 2 + (h 2 + k 2 )} = 0 (h,k) (0,0) h2 + k 2 (h,k) (0,0)

3 ESERCIZIO 1 La lunghezza della curva γ(t) = (t, (1 t 2 3 ) 3 2 ), t [0, 1] è F d s =, con F (x, y) = (x 3 + 2xy 2, y 3 + 2x 2 y) γ ESERCIZIO 2 Sia x = x(t) la soluzione del problema di Cauchy ẍ 9ẋ + 20x = 0, x(0) = 0 e ẋ(0) = 1 Allora x(1) = ESERCIZIO 3 I punti critici della funzione f(x, y) = x 3 /3 xy 2 x + 2y 3 /3 sono ESERCIZIO 4 La serie di Fourier della funzione f uguale ad x per x [0, π] ed a x π, per x ]π, 2π], è ESERCIZIO 5 x 2 +4y 2 1 e x2 4y 2 dx dy = ESERCIZIO 6 Usando la definizione verificare che l insieme [0, 1] con d(x, y) = x 1 3 y 1 3, x, y [0, 1], è uno spazio metrico È uno spazio metrico completo?

4 Soluzioni: 1 La lunghezza di γ è 3/2, γ F d s = 0 2 x(1) = e 4 + e 5 3 ( 1, 0) e (1, 0) sono punti critici di sella π 4 1+( 1) k 2 k=1 sin(kx) k 5 π(e 1)/(2e) 6 Mostriamo che l insieme [0, 1] con la funzione d(x, y) = x 1 3 y 1 3, x, y [0, 1] è uno spazio metrico Verifica del fatto che d(, ) è una metrica: (a) essendo la funzione valore assoluto non-negativa si ha d(x, y) 0, per ogni x, y [0, 1] Inoltre, se d(x, y) = 0 allora x 1 3 = y 1 3, quindi x = y (b) La funzione d è simmetrica, ossia d(x, y) = d(y, x), per ogni x, y [0, 1] (questo segue dal fatto che a = a, per ogni a R) (c) Proprietà triangolare: per ogni x, y, z [0, 1], d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Si ha d(x, y) = x 1 3 y 1 3 = (x 1 3 z 1 3 )+(z 1 3 y 1 3 ) l ultimo termine si maggiora usando la proprietà triangolare per il valore assoluto e questo completa la verifica del fatto che d è una funzione distanza Verifichiamo che (X, d) è uno spazio metrico completo Sia a n [0, 1] una successione di Cauchy rispetto alla distanza d Per definizione si ha quindi 0 a n 1, quindi per ogni n, m N si ha a n a m = (a 1 3 n a 1 3 m )(a 2 3 n + a 1 3 n a 1 3 m + a 2 3 m ) 3d(a n, a m ) Quindi a n è una successione di Cauchy anche rispetto alla distanza euclidea su R Dalla completezza di R (rispetto al valore assoluto) si deduce che esiste a R tale che lim n a n a = 0 e, visto che a n [0, 1] per ogni n, si deduce che a [0, 1] Resta da verificare che lim n d(a n, a) = 0 Consideriamo prima il caso a = 0: visto che lim n a n = 0 si ha anche lim n a 1 3 n = 0 ( lim n d(a n, 0) = 0) Infatti fissato ad arbitrio ɛ > 0 esiste N > 0 tale che, per ogni n > N, a n [0, ɛ 3 [ ( a 1 3 n [0, ɛ[) Per concludere sia a ]0, 1] Allora, visto che la successione a n converge ad a nella metrica euclidea, esiste n 0 N e δ > 0 tali che a n [δ, 1], per ogni n > n 0 Osserviamo che in particolare a δ Per ogni n > n 0, si ha allora d(a n, a) = a 1 3 n a 1 3 = a n a a 2 3 n + a 1 3 n a a 2 3 a n a 3δ 2 3 e la conclusione segue passando al limite per n nella precedente disuguaglianza

5 ESERCIZIO 1 La lunghezza della curva γ(t) = (1 cos t+(2 t) sin t, sin t+(2 t) cos t), t [0, 2] è F d s = γ, con F (x, y) = (2xy, x 2 + 2y) ESERCIZIO 2 Sia x = x(t) la soluzione del problema di Cauchy ẍ 2ẋ + x = 0, x(0) = 1 e ẋ(0) = 1 Allora x(1) = ESERCIZIO 3 I punti critici della funzione f(x, y) = x 2 y/4 + y 3 /3 y + x 2 /4 sono ESERCIZIO 4 La serie di Fourier della funzione f uguale ad x 2 per x [0, π] ed a π 2, per x ]π, 2π], è ESERCIZIO 5 Sia T il triangolo di vertici (0, 0), (1, 2) e (2, 0), x 2 y dx dy = T ESERCIZIO 6 Usando la definizione, verificare la differenziabilità su R 2 della funzione f(x, y) = e x2 y 2

6 ESERCIZIO 1 La lunghezza della curva γ(t) = (t, a cosh(t/a)) congiungente il punto (0, a) con (b, h) è F d s =, con F (x, y) = γ (2(x b)(y a) 2, 2(y a)((x b) 2 + (y h) 2 ) + 2(y a) 2 (y h)) ESERCIZIO 2 Sia x = x(t) la soluzione del problema di Cauchy ẋ = x 2 t, x(0) = 1 x Allora x(1) = ESERCIZIO 3 I punti critici della funzione f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2 sono ESERCIZIO 4 La serie di Fourier della funzione f uguale ad e x, per x [0, 2π], è ESERCIZIO 5 Sia T il triangolo di vertici (0, 0), (1, 1) e (10, 1), xy y2 dx dy = T ESERCIZIO 6 Usando la definizione, verificare la continuità su R 2 della funzione f(x, y) = x 2 + y 2 x + 1

7 ESERCIZIO 1 La lunghezza della curva γ(t) = (t, t 2 /4 (log t)/2), con t [1, e], è F d s =, con F (x, y) = (y + 1 e2, x e) γ 2 4 ESERCIZIO 2 Sia x = x(t) la soluzione del problema di Cauchy ẋ = x 2t, x(0) = 1 Allora lim t x(t) = ESERCIZIO 3 I punti critici della funzione f(x, y) = (x 2 + y 2 )e x2 y 2 sono ESERCIZIO 4 La serie di Fourier della funzione f uguale ad x, per x [0, 2π], è ESERCIZIO 5 Sia T il triangolo di vertici (0, 0), (1, 1) e (1, 1), x2 y 2 dx dy = T ESERCIZIO 6 Calcolare l elemento di volume associato al cambiamento di coordinate x = u + uvw, y = v + u 2 v, z = w + w 3

8 ESERCIZIO 1 La lunghezza della curva γ(t) = (cos 3 t, sin 3 t), t [0, 2π], è F d s =, con F (x, y) = (x/ x γ 2 + y 2, y/ x 2 + y 2 ) ESERCIZIO 2 Sia x = x(t) la soluzione del problema di Cauchy ẋ = x t 1, x(1) = 1 Allora lim t 0 + x(t) = ESERCIZIO 3 I punti critici della funzione f(x, y) = e x y (x 2 2y 2 ) sono ESERCIZIO 4 La serie di Fourier della funzione f uguale a sin x, per x [0, π], ed f(x) = sin x, per x ]π, 2π] è ESERCIZIO 5 Sia D l insieme limitato da una retta passante per i punti (0, 2) e (2, 0) e dall arco di circonferenza di centro (0, 1) e raggio 1 x dx dy = D ESERCIZIO 6 Usando la definizione, verificare la continuità su R 2 della funzione f(x, y) = x 3 + y 2 x + x y

9 ESERCIZIO 1 La lunghezza della curva γ(t) = (t, arcsin(e t )), t [0, 1], è γ F d s = F (x, y) =, con ( ( (2x 1) y π ) ( (y arcsin(e 1 )), (x 2 x) 2y π )) 2 2 arcsin(e 1 ) ESERCIZIO 2 Sia x = x(t) la soluzione del problema di Cauchy ẋ = (t+x) 2, x(0) = 0 Allora x(π/4) = ESERCIZIO 3 I punti critici della funzione f(x, y) = x 3 y 2 (6 x y), per x > 0 ed y > 0, sono ESERCIZIO 4 La serie di Fourier della funzione f(x) = π x, per x [0, 2π], è ESERCIZIO 5 Sia S = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 } (x 2 + y 2 ) ds = S ESERCIZIO 6 L insieme dei numeri razionali Q con d(x, y) = x 1 5 uno spazio metrico? È uno spazio metrico completo? y 1 5, x, y Q, è