CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA Prof. A. Avantaggiati (prova scritta del I MODULO di ANALISI MATEMATICA II - 14 gennaio 2000) Compito A

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1 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA Prof. A. Avantaggiati (prova scritta del I MODULO di ANALISI MATEMATICA II - 14 gennaio 000) Compito A COGNOME... NOME... Data l equazione differenziale y 3 cos x 1 + sin x y =0 determinare la curva integrale che passi per il punto P 0 =(π/, 1) ed abbia in tale punto come retta tangente τ quella di equazione cartesiana 4x y π +1=0. essendo Calcolare I = T y 4+x dx dy, + y T = {(x, y) IR x + y 8 e x + y 4y}. Calcolare I = + 0 xe x dx. (F) Spiegare perché, fissati arbitrariamente α e β reali positivi, la funzione f(x) =x β e xα è sommabile su [0, + [. Determinare l insieme di convergenza Φelafunzione somma S(z) della serie complessa k=1 3 k 1 (z i) k, e riconoscere che S(z) è olomorfa in Φ (e addirittura in...). (F) Estendere questo risultato ad ogni serie complessa del tipo k=1 sotto l ipotesi che esistano M ed r reali positivi tali che a k (z z 0 ) k, a k Mr k k IN, stabilendo che la somma di tale serie è olomorfa in (B(z 0,r)) c. 1

2 SOLUZIONI y(x) = 1 [ 5 x 4 cos x 3 ] cos x sin x + cos3 x +1 5π 3 8 I = 3π 5 arctan 1 5 I =1 S(z) = 1 (z i 3) Φ(z) =(B(i, 3)) c olomorfa in C \{z = i +3}

3 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA Prof. A. Avantaggiati (prova scritta del I MODULO di ANALISI MATEMATICA II - 14 gennaio 000) Compito B COGNOME... NOME... Data l equazione differenziale y + 3 sin x 1 + cos x y =0 determinare la curva integrale che passi per il punto P 0 =(π/, 1) ed abbia in tale punto come retta tangente τ quella di equazione cartesiana 4x y π +1=0. essendo Calcolare I = T x 4+x dx dy, + y T = {(x, y) IR x + y 8 e x + y 4x}. Calcolare I = + 0 xe 3 x dx. (F) Spiegare perché, fissati arbitrariamente α e β reali positivi, la funzione f(x) =x β e xα è sommabile su [0, + [. Determinare l insieme di convergenza Φelafunzione somma S(z) della serie complessa k=1 5 k 1 (z + i) k, e riconoscere che S(z) è olomorfa in Φ (e addirittura in...). (F) Estendere questo risultato ad ogni serie complessa del tipo k=1 sotto l ipotesi che esistano M ed r reali positivi tali che a k (z z 0 ) k, a k Mr k k IN, stabilendo che la somma di tale serie è olomorfa in (B(z 0,r)) c. 3

4 SOLUZIONI [ 5 y(x) =4 x + 4 sin x + 3 ] ( ) cos x sin x sin3 x π I = 3 ( ) 1 π 5 arctan 5 I = 360 S(z) = 1 z + i 5 Φ(z) =(B( i, 5)) c olomorfa in C \{z =5 i} 4

5 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA - A.A. 1999/000 Prof. A. Avantaggiati (prova scritta di ANALISI MATEMATICA II - 6 gennaio 000) primo modulo COGNOME... NOME... Determinare l insieme di convergenza Φ e la funzione somma f(x, y) della serie ( 1) k (3x y ) k k +1 k=1. Discutere la convergenza uniforme della suddetta serie. Calcolare, con il metodo dei residui, + 0 x x 4 +5x +4 dx. Risolvere il seguente problema di Cauchy y (1 + x ) arctan x y +(xarctan x) y =0; y(1)= dove Calcolare I = 4 x y dx dy, T T = {(x, y) IR 0 y x + y 4}. 5

6 SOLUZIONI Φ(x, y) =Φ unif = {(x, y) IR 1 3x y 1 } f(x, y) = { arctan(3x y ) 3x y 1 se y ± 3x; 0 se y = ± 3x. π 6 [ ( ) ] x π arctan x y(x) = 4π 3 9 6

7 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA Prof. A. Avantaggiati (prova scritta del I MODULO di ANALISI MATEMATICA II - 3 febbraio 000) Compito A COGNOME... NOME... Determinare la funzione h(y) di classe C 1 in modo che il campo vettoriale ( ) h(y) ( V(x, y, z) = x + log z ) i + 4 y log x j + x z k, sia conservativo all interno del suo insieme di definizione e costruirne un Potenziale. Costruire la serie di Fourier della funzione π - periodica π se x [0,π[; f(x) = x 4π se x [π, π[. e f(x +π) =f(x), x IR, calcolando la funzione somma di tale serie in ogni punto x IR. Indicare in quali intervalli di IR tale serie NON converge uniformemente. Calcolare essendo I = T y (x + y dx dy, ) T = {(x, y) IR 1 x + y 4x, e y 3x}. Calcolare l integrale + 3x x x 4 +11x +18 dx, mediante il Teorema dei Residui, giustificandone la utilizzazione. 7

8 SOLUZIONI I def = { x>0; y ; z>0 } ( h(y) =y 1 y y ) 4 + arcsin [ y ( y )] F (x, y, z) = 4 y + arcsin log x + x log z + C ; C IR k=1 [ (1 πk ( 1) k) cos(kx)+ 1 ( 1 3( 1) k) ] sin(kx) k = [ ] 4 π(m 1) cos [(m 1)x]+ 4 m 1 sin [(m 1)x] 1 m sin(mx) m=1 = f(x) π se x =(h +1)π ; h Z; π se x =hπ ; h Z; altrove. La serie non converge uniformemente in tutti gli intervalli che abbiano almeno un punto x k = kπ tra i punti di accumulazione.. I =1 1 log 3 ( 7 π 3 ) 8

9 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA Prof. A. Avantaggiati (prova scritta del I MODULO di ANALISI MATEMATICA II - 3 febbraio 000) Compito B COGNOME... NOME... Determinare la funzione g(x) di classe C 1 in modo che il campo vettoriale ( ) V(x, y, z) = 9 x log z i + z ( ) g(x) y j + + log y k, z sia conservativo all interno del suo insieme di definizione e costruirne un Potenziale. Costruire la serie di Fourier della funzione π - periodica x se x [0,π[; f(x) = π se x [π, π[. e f(x +π) =f(x), x IR, calcolando la funzione somma di tale serie in ogni punto x IR. Indicare in quali intervalli di IR tale serie NON converge uniformemente. Calcolare essendo I = T x (x + y dx dy, ) T = {(x, y) IR 1 x + y y, e x 3y}. Calcolare l integrale + x 3x x 4 +9x +0 dx, mediante il Teorema dei Residui, giustificandone la utilizzazione. 9

10 SOLUZIONI I def = { 3 x 3;y>0;z>0} [ g(x) = 9 x ( 1 x x ) ] arcsin 3 [ F (x, y, z) = 9 x ( 1 x x ) ] arcsin log z + z log y + C ; C IR 3 π + k=1 [ ( ) πk ( 1) k 1 cos(kx) 1 ( 1+( 1) k) ] sin(kx) k = π [ ] 4 π(m 1) cos [(m 1)x]+ 1 m sin(mx) m=1 = f(x) 3π se x =(h +1)π ; h Z; π se x =hπ ; h Z; altrove. La serie non converge uniformemente in tutti gli intervalli che abbiano almeno un punto x k = kπ tra i punti di accumulazione.. I =1 log ( ) π 5 10

11 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA - A.A. 1999/000 Prof. A. Avantaggiati (prova scritta di ANALISI MATEMATICA II - giugno 000) primo modulo COGNOME... NOME... Determinare per quali valori del parametro reale λ l EquaDiff y +(λ 4)y = sin 3x ha tutti gli integrali limitati in IR. Ponendo poi λ = 13, risolvere il Problema di Cauchy y(0)=1 ; y (0) = 1 ; y (0)=0. Determinare l insieme di convergenza Φelafunzione somma f(z) della serie complessa n=1 3 n+1 e n(z i). Costruire qualche insieme di convergenza totale della suddetta serie. Verificare che la funzione u(x, y) =e y [ x cos x +(y ) sin x] è armonica in tutto IR e costruire la funzione olomorfa (intera) che ha u(x, y) come parte reale. Calcolare, con il teorema dei residui, motivando le operazioni eseguite. + 0 x +1 x 4 +13x +36 dx, 11

12 SOLUZIONI <λ< : y(x) =C 1 + C e 4 λ x + C 3 e 4 λ x 1 + 3(13 λ cos 3x ; ) {λ < ; λ 13} {λ> ; λ 13} : y(x) =C 1 + C cos( λ 4x)+C 3 sin( λ 4x)+ λ = ± : y(x) =C 1 + C x + C 3 x + 1 cos 3x ; 7 λ = ± 13 : y(x) =C 1 + C cos 3x + C 3 sin 3x 1 x sin 3x. 18 Si hanno soluzioni limitate nei seguenti casi: 1 3(13 λ cos 3x ; ) <λ< : 1 y(x) =C 1 + 3(13 λ cos 3x ; ) {λ < ; λ 13} {λ> ; λ 13} : y(x) =C 1 + C cos( λ 4x)+C 3 sin( λ 1 4x)+ 3(13 λ cos 3x ; ) λ = ± : y(x) =C cos 3x ; 7 λ = ± 13 : non esistono soluzioni limitate. Il Problema di Cauchy, per λ = 13, ammette la seguente soluzione: Convergenza totale in y(x) = [cos 3x + sin 3x] x sin 3x. 18 I def = C ; Φ = {(x, y) IR x y > log 3 } ; f(z) = 9 e z i 3. Φ TOT = {(x, y) IR x y log 3 log h ;0<h<1 }. v(x, y) =e y [(y ) cos x x sin x] ; f(z) =e iz (z i). 7π 60 1

13 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA - A.A. 1999/000 Prof. A. Avantaggiati (prova scritta di ANALISI MATEMATICA II - 15 giugno 000) primo modulo COGNOME... NOME... Risolvere il Problema di Cauchy { y cot x(y + y )=0 y(π/)=0 ; y (π/)=1 Determinare l insieme di convergenza Φelafunzione somma S(z) della serie complessa k= (z i) k k 1 (k 1)! ; [z = x + iy]. Spiegare perché S(z) è olomorfa in tutto C e costruire le parti reale e immaginaria di S(z). Trovare le funzioni h(y) inmodoche v(x, y) =e y (x cos x + h(y) sin x) sia la parte immaginaria di una funzione f(z) olomorfa in tutto C. In corrispondenza della più semplice di tali h(y) costruire f(z). Calcolare l integrale essendo e x +y x dx dy, T T = {(x, y) IR 4 x + y 16 e y 0 }. 13

14 SOLUZIONI y(x) =3x + 4 cos x sin x 3π Φ = C S(z) = (z i) [e ( ] z i ) 1 [ ( ) ] ( ) Re(S(z)) = x e x y 1 cos 1 (y 1)e x y 1 sin [ ( ) ] ( ) Im(S(z)) = (y 1) e x y 1 cos 1 + xe x y 1 sin ; h(y) =C 1 + C e y y Per h(y) = y si ha: u(x, y) =e y ( y cos x x sin x) f(z) =ize iz 4e (5e 1) 14

15 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA - A.A. 1999/000 Prof. A. Avantaggiati (prova scritta di ANALISI MATEMATICA II - 4 luglio 000) primo modulo COGNOME... NOME... Sia u(x, y) una funzione armonica positiva definita in IR, cioè u xx + u yy =0 ; (x, y) IR. Dimostrare che u(x, y) è costante. (Suggerimento: considerare la funzione armonica v, coniugata di u, la funzione olomorfa f che si costruisce con essa e applicare il Teorema di Liouville a e f.) Sia a>0,a Sia C a il cerchio di centro l origine e raggio a. Si calcoli Ca z + e z z(z ) dz. Costruire l integrale generale della EquaDiff y +y y y = cos x + sin x. Determinare l insieme di convergenza Φelafunzione somma S(z) della serie complessa k=1 k z + i k ( 1) (z + i) k k!. Verificare se la funzione somma di tale serie è una funzione olomorfa in Φ. 15

16 SOLUZIONI f = u + iv è olomorfa ; = e f è olomorfa ; inoltre essa è limitata, perché e f = e u 1 = (per il Teorema di Liouville) e f è costante = f = cost = u = cost. πi y(x) =C 1 e x + C e x + C 3 e x 1 sin x. La funzione S(z) NON È OLOMORFA. I def = Φ = {z C z i } ; S(z) = e z i 1. 16