Esercizio III Calcolare la trasformata di Fourier della funzione. Esercizio IV Sviluppare la funzione. Tema d esame. Giugno 2004

Transcript

1 Tema d esame. Giugno 24 Esercizio I Calcolare il seguente integrale col metodo dei residui 2π dφ < a < () + a 2 2a cos φ Esercizio II Trovare la soluzione dell equazione di Laplace nella regione del piano x 2 + y 2 che soddisfa la seguente condizione al contorno sul cerchio unitario: u(x, y) =, x 2 + y 2 =, y > u(x, y) =, x 2 + y 2 =, y < (2) Esercizio III Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = cos x x 2 + Esercizio IV Sviluppare la funzione z 2 4z + 3 (4) in serie di Taylor o Laurent nelle seguenti regioni: a) z <, b) < z < 3, c) z > 3 (5)

2 Tema d esame. Luglio 24 Esercizio I Calcolare i seguenti integrali col metodo dei residui + dx n N (x 2 +) 2n+ + e iωx x iα α > () Esercizio II Risolvere col metodo della trasformata di Laplace l equazione differenziale y y = 6 3t 2, y() = y () = y () = (2) Esercizio III Dare un esempio di: a) funzione non L (R) per cui esista la trasformata di Fourier. b) funzione che sia L (R) ma non L 2 (R). c) funzione che sia L 2 (R) ma non L 4 (R) né L (R). Esercizio IV Sviluppare la funzione z 2 4 a) z 2 < 4, b) z > 2 (4)

3 Tema d esame. Settembre 24 Esercizio I Dopo aver scelto un contorno appropriato, calcolare col metodo dei residui i seguenti integrali x sin(x) (x 2 + ) 2 x α dx (x 2 + 3x + 2) < α < () Esercizio II Dire se le seguenti funzioni appartengono a L (R), L 2 (R) e S(R). f(x) = x e x, g(x) = x /3 ( + x 2/3 ) Dire poi se la seguente successione di funzioni, identicamente nulle all esterno del compatto [ n, n] e con valore h n (x) = n x n 2, x [ n, n] converge puntualmente, in norma L (R) e in norma L 2 (R) alla funzione h(x) =. (2) Esercizio III Discutere le singolaritá della funzione olomorfa e calcolare il residuo attorno a ciascuna di esse. sin z z (4)

4 Tema d esame. Gennaio 25 Esercizio I Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = (x 2 + )(x + ia) () dove a é un parametro reale. Considerare in dettaglio i casi a = e a =. Esercizio II Date f(x) = n= e inx n2 +, g(x) = n= sin nx, (2) n a) dire se f e g definiscono vettori di L 2 (R) b) calcolare il prodotto scalare (f, g). Esercizio III Sviluppare la funzione z 4 5z a) < z < 2, b) z > 2 (4) Calcolare successivamente l integrale f(z) cos(2πz)dz (5) sul cerchio di raggio 3 percorso in senso antiorario.

5 Tema d esame. Febbraio 25 Risolvere almeno tre dei seguenti esercizi: Esercizio I Calcolare i seguenti integrali x sin(2πx) dx; () (x 2 2x+2) ( 2 ) sin 4 (2) z z = Esercizio II Risolvere, usando la trasformata di Laplace, la seguente equazione per la funzione u(t) e t + t u (x)e (t x) dx =, u() = 4 Esercizio III Sviluppare la funzione e /z + ( z) (4) a) < z <, b) z > (5) Esercizio IV Data la funzione f(x) = e x in L 2 (, a): a) calcolarne la serie di Fourier in L 2 (, a) b) scegliere a in modo da poter calcolare il valore della serie n= + n 2 (6)

6 Tema d esame. Giugno 25 Esercizio I Calcolare i seguenti integrali: 2π (2 sin θ) 2 dθ log x dx () ( + x 2 )(4 + x 2 ) Esercizio II Date f(x) = x + ia, g(x) = x 2 + a 2, (2) dove a è un parametro reale a) dire se e in che senso esiste la trasformata di Fourier di f e g. b) detta ˆf la trasformata di Fourier di f calcolare R ˆf 2. Esercizio III Sviluppare la funzione z(z 2 + ) a) < z <, b) < z i < z > (4) Calcolare successivamente l integrale f(z)e πz dz (5) sul cerchio di raggio 2 percorso in senso antiorario.

7 Tema d esame. Luglio 25 Esercizio I Determinare il dominio di olomorfia della funzione cot πz e calcolare il residuo nei suoi (infiniti) poli. Calcolare poi l integrale C sul cerchio di raggio k + /2 dove k è un intero arbitrario. cot πz dz, < a <. () z 2 + a2 Esercizio II Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali col metodo della trasformata di Laplace: y x + y + 2x = e t y + x x = e 2t x() = y() = (2) Esercizio III Sia dato l operatore A = d2 dx definito nel dominio D(A) = {f L 2 [, ] f() = e iφ f(), f () = f ()} a) per quali valori del parametro reale φ l operatore A é autoaggiunto? Per i valori trovati risolvendo il punto a): b) determinare autovalori e autofunzioni di A c) risolvere l equazione Au = f dove f = k 2 eiπ(2k )x (4)

8 Tema d esame. Settembre 25 Esercizio I Date f(x) = n= e inx e n, g(x) = a) dire se f e g definiscono vettori di L 2 (, 2π) b) calcolare il prodotto scalare (f, g). Esercizio II Data la funzione f(x) = e ax in L 2 (, ), con a > : a) calcolarne la serie di Fourier in L 2 (, ) b) scegliere a in modo da poter calcolare il valore della serie n= n= sin nx, () n + n 2 (2) Esercizio III Sviluppare la funzione cosh(/z) + ( z 2 ) a) < z <, b) z > (4) Esercizio IV Calcolare l integrale C dz; (5) (z 2 + ) n dove C è il cerchio di raggio 2 e n è un intero positivo arbitrario.

9 Tema d esame. Gennaio 26 Esercizio I Risolvere con la Trasformata di Laplace l equazione: ÿ 3ẏ + 2y = cosh t y() =, ẏ() = () Esercizio II Dare un esempio di funzione L 2 (R) ma non L (R) nè L 3 (R) Esercizio III Sviluppare la funzione z + (z + 2)(z ) (2) a) < z <, b) < z < 2, c) z > 2 Esercizio IV Calcolare l integrale 2π cos(2θ) dθ (4) 2 cos θ

10 Tema d esame. Febbraio 26 Esercizio I Sviluppare la funzione x 2 in serie di Fourier in [, 2π] e usare lo sviluppo per calcolare la serie n= A cosa converge la serie di Fourier in x = e x = 2π? n 2 () Esercizio II Stabilire per quali valori del numero complesso z il vettore f z = z n 2 n n! H n(x)e x2 /2 (2) appartiene a L 2 (R) e calcolare il prodotto scalare (f z, f z ). Ricordo che le funzioni u n (x) = 2 n n! π H n(x)e x2 /2 sono un s.o.n.c. in L 2 (R). Esercizio III Sviluppare la funzione z z 2 5z + 4 a) z <, b) < z < 4, c) z > 4 (4) Esercizio IV Calcolare l integrale x dx (5) x 2 + 4

11 Tema d esame. Giugno 26 Esercizio I Risolvere con la Trasformata di Fourier l equazione integrale: f(t x)f(x)dx = e t2 () Esercizio II Dare un esempio di funzione L 3 (R) ma non L 2 (R) nè L 5 (R) Esercizio III Sviluppare la funzione z(z 2 + ) (2) a) < z <, b) < z i <, c) z > Esercizio IV Calcolare l integrale sin x dx (4) x(x 2 + a 2 )

12 Tema d esame. Luglio 26 Esercizio I Calcolare la Trasformata di Fourier della funzione: f(x) = eix (x + i) 2 () Esercizio II Sia data la famiglia di funzioni f q (x) = in L 2 [, 2π]. Calcolare il prodotto scalare (f q, f q )., q < (2) qeix Esercizio III Studiare le singolarità isolate di ciascuna delle seguenti funzioni. Determinare il tipo di singolaritá e il residuo. a) z ze z b) (z 2 ) 2 z 2 ( c) log ) z d) z 2 sin z Esercizio IV Calcolare l integrale 2π cos(3t) dt (4) 5 4 cos t

13 Tema d esame. Settembre 26 Esercizio I Calcolare col metodo dei residui i seguenti integrali z = 2π z a 2 <, b 2 > (z 2 a 2 )(z 2 b 2 ) + sin 2 dt () t Esercizio II Stabilire per quali valori del numero complesso z il vettore f z = n= z n 2 n n! H n(x)e x2 /2 (2) appartiene a L 2 (R) e calcolare il prodotto scalare (f z, g) con la funzione g = x 2 e x2 /2. Ricordo che le funzioni u n (x) = 2 n n! π H n(x)e x2 /2 sono un s.o.n.c. in L 2 (R) e che H (x) =, H (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2. Esercizio III Sviluppare la funzione z 2 z 4 4z a) z <, b) < z < 3, c) z > 3 (4)