ESERCIZI DI ANALISI COMPLESSA

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1 ESERCIZI DI ANALISI COMPLESSA Varie Sia f una funzione intera tale che + z Mostrare che f è costante 2 Siano θ (, π/2) e f una funzione olomorfa nel settore Γ θ := {z C : arg(z) < θ} e supponiamo che esistano due costanti A e B tali che A z + B z Γ θ Sia ora < ϕ < θ Utilizzando, per ogni z in Γ ϕ la formula di Cauchy per f nel disco D z sin(θ ϕ) (z), dimostrare che f è limitata in Γ ϕ 3 Dimostrare che una funzione f di classe C in un aperto Ω del piano complesso è olomorfa se e solo se z f è identicamente nulla in Ω La funzione è intera? = z 2 + z 2 + e z 4 Dimostrare che se f = u + iv è una funzione a valori complessi in un aperto Ω del piano complesso, le funzioni u e v sono a valori reali e di classe C in Ω e ivi soddisfano le equazioni di Cauchy Riemann, allora f è olomorfa in Ω e f (z) = z f Stabilire poi se la funzione = z 2 e z è olomorfa in qualche sottoinsieme aperto del piano complesso 5 Mostrare che la funzione F, inizialmente definita nel semipiano destro dalla formula F (z) := t z sinh t dt, si estende a una funzione meromorfa nel piano complesso, che ha poli esattamente nei punti dell insieme t 2N Suggerimento: può essere utile dimostrare preventivamente che la funzione ammette uno sinh t sviluppo in serie centrato in, con raggio di convergenza π e contenente solo potenze pari di t 6 Sia f una funzione olomorfa in un intorno di Supponiamo che = a m z m + a m+ z m+ +, dove m > e a m Qual è il primo termine dello sviluppo di f (z) f (z) 3 ( f (z) ) 2 centrato in? 2 f (z) Applicazioni Rouché Siano Q il quadrato nel piano complesso avente per centro l origine e lato 2 e Q il suo bordo, positivamente orientato Enunciare e dimostrare il Teorema di Rouché per Q Determinare poi il numero di zeri della funzione = z 2 + 6e z in Q 2 Quante soluzioni ha l equazione z 4 6z + 3 = nell anello circolare {z C : < z < 2}?

2 3 Quanti zeri ha l equazione log(z + 3) + z = nel disco D /4 ()? 4 Quanti zeri possiede il polinomio p(z) := z 3 z 3 nel disco D ()? 5 Mostrare che l equazione z 3 8z + = ha due soluzioni nella regione {z : z, z 2 3}, mostrando dapprima che l equazione non ha zeri in {z : z < } Suggerimento: può essere utile sviluppare il polinomio in potenze di z 2 6 Mostrare che tutte le soluzioni dell equazione z 8 4z 3 + = si trovano nell anello circolare {z : z 2}, mostrando dapprima che l equazione non ha zeri in {z : z < } 7 Sia f una funzione olomorfa in un aperto contenente la chiusura del disco D () del piano complesso e soddisfacente la relazione < per ogni z tale che z = Determinare, per ogni intero n, il numero di soluzioni dell equazione = z n 8 Sia f una funzione olomorfa in un aperto contenente la chiusura del disco D () del piano complesso e soddisfacente la relazione < e z per ogni z tale z = Quante soluzioni ha l equazione z 3 e z =? 9 Mostrare che l equazione π 2 z e iz = ha esattamente una soluzione nella striscia {z C : Imz π} (è utile tenere conto del fatto che π 3 > e π ) Mostrare che le radici del polinomio p(z) := z 7 6z 3 +4 appartengono all anello {z C : < z < 2} (i) Mostrare che l equazione e z 4z 2 = ha esattamente due zeri nel disco {z C : z < } (ii) Utilizzando il fatto che e z < e nel disco {z C : z < }, mostrare che l equazione e z 2z = ha esattamente uno zero nel disco {z C : z < } Successioni e serie Mostrare in dettaglio che la funzione := all infinito Calcolare poi C () (2z) n2 è olomorfa in { z C : z > /2 } e n= z k dz per ogni intero non negativo k 2 Sia = z + n 2 Dimostrare che f è olomorfa in C \ { n2 : n N} Che tipo di singolarità ha n= f nei punti del piano complesso ove non è definita? 3 Sia = sin(z/n) Dimostrare che f è intera Calcolare poi n2 n= C () z 2 dove C () indica la circonferenza di centro e raggio 2 dz,

3 4 Sia = n= n 2 [ cos(z/n) ] Dimostrare che f è intera Calcolare poi C () indica la circonferenza di centro e raggio 5 Indichiamo con la somma della serie n= e nz C () z 2 dz, dove (i) Mostrare che f è una funzione olomorfa e periodica di periodo 2πi nel semipiano Π := {z C : Re(z) > } (ii) Calcolare C /2 () (z ) 2 dz, (iii) Calcolare il lim j C /2 (j) (z j) 2 dz 6 Sia a un numero reale positivo Mostrare che la serie n= e naz converge puntualmente se e solo se z appartiene al semipiano Π := {z C : Re(z) > } (i) Indicata con f a (z) la sua somma, mostrare, utilizzando il Teorema di Morera, che f a è olomorfa in Π (ii) Mostrare che f si estende a una funzione olomorfa in C \ 2πiZ; studiare le singolarità di f (iii) Calcolare, per ogni reale positivo N che non appartiene a 2πN, l integrale C N () f (z) dz, dove C N () indica la circonferenza di centro e raggio N orientata positivamente (iv) Calcolare C N () [f (z)/f (z)] dz, dove C N () è come in (iii) 7 Sia {f n } una successione di funzioni olomorfe nel disco unitario D, ciascuna delle quali non si annulla in D, che converge uniformemente a f sui compatti di D (i) Mostrare che f è olomorfa in D; (ii) mostrare che se f non è identicamente nulla, allora i suoi eventuali zeri sono isolati; (iii) mostrare che se f non è identicamente nulla, allora f non si annulla mai in D procedere per assurdo, e utilizzare il principio dell argomento C 2(i) Suggerimento: sin(nz) 8 Sia = n! n= (i) Per ogni intero n mostrare che sin(nz) cosh ( ni(z) ) Dedurre che f è intera n! n! (ii) Mostrare che z 2 dz = 2πie, dove C 2 (i) indica la circonferenza di centro i e raggio 2 9 Consideriamo la successione di funzioni {γ k } definita, nel semipiano destro Π + := {z : Rez > } da γ k (z) = e t2 z/k dt t t (i) Mostrare che γ k è olomorfa nel semipiano destro Π + (ii) Mostrare che lim k γk (z) = + per ogni z in Π + 3

4 Sia = sin(z/n) Dimostrare che f è intera Calcolare poi n2 n= C () z 2 dove C () indica la circonferenza di centro e raggio Discutere l olomorfia della funzione = n= z 2 z 3 n 3 dz, e studiarne i punti singolari Singolarità Sia f una funzione olomorfa nel semipiano superiore tale che f(i/n) = per ogni intero positivo 2 n Si può concludere che f è nulla? Esempi? Supponiamo, in aggiunta, di sapere che f si estende a una funzione olomorfa nell unione del semipiano superiore e del disco unitario centrato in e privato dell origine Se f non si estende a una funzione olomorfa in un intorno di, quale tipo di singolarità può presentare in? (i) Classificare le singolarità e determinare gli zeri di g(z) := tanh(πz) Mostrare che la funzione z := log g(z) è olomorfa in D /2 () (ii) Dimostrare (senza calcolarla) che la serie di potenze di f centrata in ha raggio di convergenza /2 Calcolare, poi z 2 dz C /4 () 3 Studiare le singolarità della funzione = 2z e 2z nel piano complesso esteso 4 Sia f una funzione olomorfa in D \ {} che non ha in una singolarità eliminabile (i) Quali singolarità può presentare f in? Perché? (ii) Mostrare che l origine è una singolarità essenziale per e f 5 (i) Determinare le singolarità della funzione = z2 sin 2 (πz) + π 2 z 2 (ii) Calcolare il residuo in ciascuno dei poli di f 6 Consideriamo la funzione γ definita, nel semipiano destro, da γ(z) = e t2 t z dt t (i) Mostrare che γ è, in effetti, ben definita e olomorfa nel semipiano destro (ii) Mostrare che γ si estende a una funzione meromorfa in C; calcolarne, poi, poli e residui relativi Suggerimento Può essere utile sviluppare e t2 in serie di potenze 7 Supponiamo che a sia un polo semplice per la funzione f e che g sia olomorfa in un intorno di a Mostrare che Res(fg; a) = g(a) Res(f; a) Il risultato vale nel caso in cui a è un polo per f di ordine >? Discutere la risposta e stabilire una formula per Res(fg; a) nel caso in cui a sia un polo di ordine due per f 4

5 8 Sia f una funzione meromorfa in C { } che presenta, al finito, quattro poli ciascuno di ordine 9 quattro e tre zeri di ordine rispettivamente 2, 5, 7 Descrivere la natura del punto per f (i) Dare la definizione di singolarità eliminabile, di polo e di singolarità essenziale Mostrare che z è un polo per f se e solo se lim z z = + (ii) Descrivere le singolarità della funzione = z (iii) Calcolare il residuo di f in ciascuno dei poli Sia f una funzione olomorfa in D () \ {} [ z + sin(πz) ] nel piano complesso esteso πz (i) Supponiamo che esista una costante A tale che A z /2 quando z è vicino a zero Che tipo di singolarità può avere f in? (ii) Supponiamo che esista una costante A tale che f (z) A z 3/2 quando z è vicino a zero Che tipo di singolarità può avere f in? (i) Dare la definizione di funzione olomorfa all infinito Mostrare che se f è olomorfa all infinito, allora è somma, per z sufficientemente grande, di una serie della forma a j z j (ii) Sia F una funzione meromorfa in C, con tre poli distinti del primo ordine al finito, con residui a, a 2 e a 3 Denotata con C r (w) la circonferenza con centro w e raggio r, quanti valori distinti può, al più, assumere F (z) dz, al variare di w e di r (si suppone che nessuno dei tre poli si trovi 2πi C r(w) su C r (w))? (iii) Supponiamo, inoltre, che la funzione F in (ii) sia olomorfa all infinito: che forma ha F in questo caso? Che relazione c è tra a, a 2 e a 3 nel caso in cui F abbia uno zero del secondo ordine all infinito? 2 Consideriamo la funzione = (4z 2 + ) tanh(πz) (i) Studiare le singolarità di f nel piano complesso, calcolando, in particolare, i residui nei poli (ii) Dare la definizione di funzione olomorfa all infinito Mostrare che se g è olomorfa all infinito, allora g(z) è somma, per z sufficientemente grande, di una serie della forma a j z j Calcolare C R () dz per R (sufficientemente) grande (iii) Studiare il punto all infinito della funzione g(z) := /z 3 3 Studiare le singolarità della funzione := sfera di Riemann? j= j= sinh(πz) La funzione f è meromorfa sulla z (z i) 4 Studiare le singolarità della funzione := sin(πz) La funzione f è meromorfa sulla z (z + π) sfera di Riemann? 5 Sia := z sinh z (i) Studiare le singolarità di f nel piano complesso esteso e calcolare i residui nei suoi poli Dimostrare poi che f è somma di una serie di potenze centrata in con raggio di convergenza π Mostrare che tale serie ha la forma + a 2k z 2k, e i coefficienti a 2k soddisfano la proprietà seguente: per ogni k= ( + ε ε > esiste una costante C tale che a 2k C π 5 ) 2k

6 (ii) Mostrare che la serie z + a 2k converge a una funzione meromorfa nel piano complesso 2k + z k= con poli nei punti {, 2, 4, } 6 Discutere l olomorfia della funzione = n= e nz z n e studiarne i punti singolari Calcolo di integrali Dimostrare che per ogni ξ in C vale la formula e πx2 e 2πixξ dx = e πξ2 2 Dimostrare, integrando la funzione = ze z2 lungo un opportuno cammino rettangolare, che x e πx2 e 2πixξ dx = iξ e πξ2 per ogni ξ R Può essere utile ricordare che e πx2 e 2πixξ dx = e πξ2 3 Dimostrare che 4 Calcolare 5 Mostrare che a 4 + x 4 dx = cos x x 2 + x + (5/4) dx π a 3 2 per ogni a > sinh(ax) π sin(πa) sinh x eixξ dx = cosh(πξ) + cos(πa) per ogni a nell intervallo (, ) 6 Sia p un polinomio di grado n nella variabile complessa z p (z) (i) Mostrare che la funzione r dz è ben definita su [, ) con l eccezione di al più k( n) C r() p(z) numeri reali non negativi e che è costante in ciascuno dei sottointervalli di [, ) dove è definita (ii) Calcolare la funzione del punto precedente nell intorno di + dove è costante (iii) Rispondere al quesito (ii) con la funzione z p (z) p(z) al posto di p (z) p(z) 2π 7 Mostrare che cos(x 2 ) dx = 4 Suggerimento Può essere utile integrare sul cammino γ R costituito dal segmento [, R], dall arco di circonferenza θ Re iθ, θ π/4, e dal segmento [Re iπ/4, ] (log x) 2 π3 8 Mostrare che x 2 dx = + 8 Suggerimento Può essere utile integrare sul cammino γ ε,r constituito dai segmenti [ R, ε] e [ε, R] dell asse reale e dalle semicirconferenze di centro e raggi rispettivamente ε e R contenute nel semipiano superiore 9 Mostrare che x 3 + dx = 2π 3 3 Suggerimento Può essere utile integrare sul cammino γ R costituito dal bordo, orientato positivamente della regione {z C : z < R, < arg z < 2π/3} e iax Mostrare che lim lim dx = iπ per ogni a > Suggerimento Può essere utile integrare R ε ε< x <R x sul cammino γ ε,r costituito dal bordo, orientato positivamente, della regione {z C : ε < z < R, < arg z < π} 6

7 Calcolare x 3 + i dx e x x 3 + i dx 2 Siano P e Q polinomi tali che deg Q = deg P + e assumiamo che gli zeri di Q abbiamo parte immaginaria < Indichiamo con a e b, rispettivamente, i coefficienti dei termini di grado massimo di P e Q (i) Mostrare, integrando sulla semicirconferenza di centro e raggio R contenuta nella chiusura del R P (x) semipiano superiore, che lim R R Q(x) dx = iπ a, b (ii) Quanto vale la somma dei residui di P/Q? 3 Calcolare x 2 x dx 4 Siano < θ < π e S θ il settore {z C : Arg(z) < θ} Supponiamo che f sia olomorfa in S θ, continua in S θ e che esista una costante C tale che Sia C ( + z ) z S θ I(λ) := Γ θ λ z dz λ S θ, dove Γ θ indica il bordo di S θ orientato positivamente (percorso cioè in modo che il settore S θ stia a sinistra della curva) Esplicitamente Γ θ è l unione delle due curve opportunamente orientate Calcolare I(λ) 5 Calcolare 6 Calcolare 2π 7 Mostrare che 2π [ arctan cos x + x 4 dx Γ + θ := {reiθ : r > } e Γ θ := {re iθ : r > } sin θ cos θ + 3 ] dθ? log 2 e iθ dθ = 2π log 2, e che x /3 2π [ arctan sin θ cos θ 2 ] dθ = 8 Dimostrare che + x 2 dx = π Può essere utile integrare sul cammino a forma di buco 2 cos(π/6) della serratura costituito da due circonferenze di raggi ε e R, con ε < R, unite dai due segmenti [ε, R] e [R, ε] 9 Dimostrare che x x 3 + i dx = 2 π ( + i) 3 2 Procedendo come nella dimostrazione del teorema dei residui, dimostrare che se f è una funzione olomorfa in D 4 () che possiede un unico zero del primo ordine nel punto i, allora per ogni intero positivo k Dedurre che C 2() C 2() f (z) f (z) zk dz = 2πi k+ sin(πz) dz = 2π sinh π 7

8 2 Dimostrare che e 2πiξx cosh(πx) dx = cosh(πξ) ξ R x z 22 Calcolare dx Può essere utile integrare la funzione := lungo il cammino sinh x sinh z costituito dal bordo del rettangolo che ha per base il segmento [ R, R] dell asse reale e altezza π, opportunamente modificato in un intorno di iπ e ix 23 Calcolare il lim ε + x(x 2 + ) dx x >ε Zeri di funzioni intere Sia f intera (i) Cosa significa che f ha ordine ρ all infinito? Determinare ρ nel caso in cui f, ristretta a C \ {}, ha la forma = sin z z z 3 (ii) Enunciare il teorema di fattorizzazione di Hadamard Utilizzando tale risultato mostrare che la funzione f del punto (i) ha infiniti zeri 2 Sia f intera (i) Cosa significa che f ha ordine ρ all infinito? Determinare ρ nel caso in cui = sinh z z (ii) Enunciare il teorema di fattorizzazione di Hadamard Utilizzando tale risultato mostrare che la funzione f del punto (i) ha infiniti zeri Mostrare che tutti gli zeri di f diversi da hanno ordine 3 Sia f intera (i) Cosa significa che f ha ordine ρ all infinito? Determinare ρ nel caso in cui = e z2 (ii) Enunciare la formula di Jensen per f Supponiamo che f abbia ordine ρ all infinito e indichiamo con n f (r) il numero di zeri di f in D r () Che relazione c è tra n(r) e ρ? Esiste una funzione f intera di ordine finito che ha zeri nei punti della forma log k + i log h, dove h e k sono interi positivi (il logaritmo è quello naturale)? Prodotti infiniti Mostrare che il prodotto infinito := n= ( z 2 ) cos n 2 è convergente nel piano complesso e che f è intera Determinare tutti gli zeri di f 2 Mostrare che il prodotto infinito := n= ( + z ) e z/n n è uniformemente convergente sui compatti del piano complesso Determinare tutti gli zeri di f Trasformata di Fourier 8

9 x (i) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = x 2 + 2x + 5, interpretando x e 2πixξ x 2 + 2x + 5 dx come valor principale, cioè come limite al tendere di R a + degli integrali ristretti all intervallo [ R, R] (ii) Dimostrare che si perviene allo stesso risultato interpretando l integrale come integrale improprio secondo Riemann su (, ) 2 Consideriamo la funzione f(x) = /( + x 4 ) (i) Possiamo a priori prevedere che la trasformata di Fourier Ff di f avrà decadimento esponenziale ed eventualmente darne una stima? Giustificare la risposta enunciando con precisione eventuali risultati utilizzati e mostrando che il caso in esame ne soddisfa le ipotesi (ii) Calcolare Ff 3 Consideriamo la funzione f(x) = /( + ix 2 ) (i) Possiamo a priori prevedere che la trasformata di Fourier Ff di f avrà decadimento esponenziale ed eventualmente darne una stima? Giustificare la risposta enunciando con precisione eventuali risultati utilizzati e mostrando che il caso in esame ne soddisfa le ipotesi (ii) Calcolare Ff Applicazioni conformi Siano H is semipiano superiore e Σ la striscia {z = x + iy : < y < } Determinare gli automorfismi di Σ in sé Può essere utile ricordare la forma degli automorfismi di H e il fatto che la mappa w e πw è conforme da Σ a H Determinare poi gli automorfismi di Σ che fissano il punto i/2 2 Dimostrare il lemma di Schwarz Determinare tutte le trasformazioni conformi del disco unitario nel semipiano superiore 3 Sia g una funzione intera tale che g(c) è contenuta nel settore {z C : π/4 < arg(z) < π/4} Quali ulteriori proprietà ha g? Suggerimento: può essere utile ricordare il Teorema della mappa conforme di Riemann 4 Siano H il semipiano superiore e Σ la striscia {z = x + iy : < y < } Determinare gli automorfismi di Σ in sé Può essere utile ricordare la forma degli automorfismi di H e il fatto che la mappa w e πw è conforme da Σ a H Determinare poi gli automorfismi di Σ che fissano il punto i/2 Siano H il semipiano superiore e Σ la striscia {z = x + iy : < y < } Determinare gli automorfismi di Σ in sé Può essere utile ricordare la forma degli automorfismi di H e il fatto che la mappa w e πw è conforme da Σ a H Determinare poi gli automorfismi di Σ che fissano il punto i/2 5 Siano H il semipiano superiore e F : H C una funzione olomorfa che soddisfa le condizioni F (z) e F (i) = Utilizzando il lemma di Schwarz per il disco, dimostrare che F (z) z i z H z + i 9