METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2004/2005 Prof. C. Presilla. Prova di recupero 14 settembre 2005

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1 METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2004/2005 Prof. C. Presilla Prova di recupero 4 settembre 2005 Cognome Nome Corso di Laurea in sostituzione delle prove in itinere segnare) 2 3 penalità esercizio voto

2 Determinare e graficare il luogo dei punti z del piano comp- Esercizio lesso tali che cos z = a a R, a > [punteggio 4] Si ha cos z = eiz + e iz 2 ovvero = a e 2iz 2ae iz + = 0 le cui soluzioni sono e iz = a ± a 2 Si noti che per a > il radicando è positivo. Se a > le soluzioni cercate sono iz = log a ± ) a 2 = ln a ± ) a 2 + i2πk k = 0, ±, ±2,... ovvero z = i ln a ± ) a 2 + 2kπ k = 0, ±, ±2,... che rappresentano gli assi immaginari per z = 2kπ ad eccezione dei punti z = 2kπ. Se a < le soluzioni cercate sono [ ) e iπ] iz = log ovvero = ln z = i ln a a 2 a ± a 2 ) + iπ + 2πk) k = 0, ±, ±2,... a ) a 2 + 2k + )π k = 0, ±, ±2,... che rappresentano gli assi immaginari per z = 2k + )π ad eccezione dei punti z = 2k + )π.

3 Esercizio 2 Dimostrare che le due serie di potenze a) a n z n b) a n n c z n c C hanno lo stesso raggio di convergenza. Determinare tale raggio nel caso in cui a n = e n. [punteggio 4] Il raggio di convergenza R della serie b) è R = lim sup = lim sup a n n c /n a n /n n c /n) Poiché esiste ed è positivo il limite ) /n lim nc /n = lim n c n c = lim nre c/n = per le proprietà del lim sup si ha R = lim sup a n /n lim nc /n = lim sup a n /n che è l inverso del raggio di convergenza della serie a). Nel caso in cui a n = e n si ha R = lim sup a n /n = lim e n/n = e ovvero R = e.

4 Esercizio 3 Determinare il dominio di analiticità del ramo principale delle seguenti funzioni e il valore delle rispettive derivate in tale dominio a) log z 4) b) sin z [punteggio 5] Il ramo principale di log z è una funzione analitica in tutto il piano complesso ad eccezione del semiasse reale negativo. Pertanto la funzione in esame è analitica in tutto C ad eccezione dei punti tali che z 4 = t, t [0, ) ovvero z = te iπ) /4 = t /4 e iπ+2πk)/4 k = 0,, 2, 3 Le quattro soluzioni z k t) = 4 te iπ/4+kπ/2), k = 0,, 2, 3, rappresentano rispettivamente le bisettrici dei quadranti, 2, 3, 4. All interno del dominio di analiticità la derivata vale d dz log z 4) = 4 z La funzione sin z è intera mentre il ramo principale di z = exp 2 log z) è una funzione analitica in tutto il piano complesso ad eccezione del semiasse reale negativo. Pertanto la funzione in esame è analitica in tutto C ad eccezione del semiasse reale negativo. All interno del dominio di analiticità la derivata vale d dz sin z = cos z 2 z

5 Esercizio 4 Enunciare e dimostrare il teorema di Liouville. [punteggio 4] Teorema Liouville). Se fz) è intera e limitata nel piano complesso, allora fz) è costante su tutto il piano. Poiché per ipotesi la funzione fz) è analitica su tutto il piano complesso, per ogni z C vale la formula integrale di Cauchy f z) = fs) 2πi s z) 2 ds C R dove C R è una ciconferenza centrata in z e di raggio R arbitrario. D altro canto poiché esiste M > 0 tale che fz) M per ogni z C, si ottiene f z) M 2π R 2 2πR = M R Dalla arbitrarietà di R segue che f z) = 0 per ogni z C. Dunque fz) è costante sull intero piano complesso.

6 Esercizio 5 fz) = z + z 3 Sviluppare in serie di Laurent la funzione a) intorno a z 0 = 0 nella regione anulare 0 < z < e b) intorno a z 0 = i nella regione anulare 0 < z i <. [punteggio 4] a) Per 0 < z < possiamo scrivere fz) = z + z 2 e usando lo sviluppo notevole + w = ) n w n w < si ha z + z 3 = ) n z 2) n z = ) n z 2n b) = z z + z3 z Per 0 < z i < possiamo invece scrivere fz) = = = zz i)z + i) z i i + z i i z i 2 2i + z i 2i + z i 2i 2 + z i i e quindi z + z 3 = ) n z i)n n z i)n ) 2 z i 2 n i n 2 ) i n ) = i n 2 n+) z i) n ) = 2z i) 3 4 i z i) iz i) z i) iz i)4 +...

7 Esercizio 6 Ciascuna delle seguenti funzioni ha una singolarità in z = 0. Classificarne la natura e, se il caso, calcolare il corrispondente residuo. z a) b) cos z z 2 c) z exp z 2) [punteggio 5] a) La funzione cos z è intera e in z = 0 ha uno zero doppio isolato ) k cos z = 2k)! z2k = z2 2! 2! 4! z2 + 2! ) 6! z k=0 Pertanto la funzione / cos z) ha in z = 0 un polo doppio. Nella regione anulare 0 < z < abbiamo cos z e quindi Res z=0 = 2! z 2 + 2! 4! z2 + 2! 6! z ) [ = 2! z 2 2! 4! z2 + 2! 6! z cos z = 0 = 2! z 2 + 2!)2 + O z 2) 4! b) Indipendentemente dal ramo scelto, la funzione polidroma z z 2 = z 3/2 = e 3 2 log z ) + 2! 4! z2 + 2! ) 2 6! z ] ha in z = 0 una singolarità non isolata punto di diramazione). Non esiste pertanto una regione anulare 0 < z < ε dove sia possibile svilupparla in serie di Laurent. c) In questo caso per 0 < z < abbiamo ze /z2 = z k=0 k! z 2 ) k = k=0 = z + z + 2z 3 + 6z k! z 2k+ Quindi z = 0 è una singolarità essenziale di ze /z2 Res z=0 ze/z2 = e si ha

8 Esercizio 7 Calcolare il valore del seguente integrale π 0 dθ a + cos θ) 2 a > [punteggio 4] Ponendo e iθ = z si ha dθ = dz/iz, cos θ = z + z )/2 e π 0 dθ a + cos θ) 2 = 2π dθ 2 0 a + cos θ) 2 = fz) dz C dove C = {zθ) = e iθ, 0 θ 2π} e fz) = 2iz z 2 + 2az + ) 2 La funzione fz) ha due poli doppi in z ± = a ± a 2 Si osservi che z > e, poiché z + z =, z + <. Pertanto il polo in z + è interno al cammino C mentre quello in z è esterno e quindi fz) dz = 2πi Res fz) C z=z + = 2πi d 2iz dz z z ) 2 In conclusione π 0 dθ a + cos θ = z=z+ = 2πi 2iz + + z ) z + z ) 3 = πa a 2 ) 3/2 πa a 2 ) 3/2

9 Esercizio 8 per Fisica) Calcolare il valore del seguente integrale + e iωx x 2 + a 2 dx a > 0, ω R Suggerimento: si considerino separatamente i casi ω > 0 e ω < 0. [punteggio 5] Posto fz) = e iωz /z 2 + a 2 ) e detti C ± = L R C R± i cammini chiusi di integrazione con L R = {zx) = x, R x R} C R± = {zθ) = Re ±iθ, 0 θ π} si osservi che per R la funzione fz) si annulla su C R+ se ω < 0 e su C R se ω > 0. Inoltre fz) è analitica su e dentro C ± ad eccezione del polo semplice in z = ±ia. Per ω < 0 si ha fz) dz = fz) dz + fz) dz C + L R C R+ mentre per ω > 0 C fz) dz = e iωz = 2πi Res fz) = 2πi z=ia z + ia fz) dz + fz) dz L R C R e iωz = 2πi Res fz) = 2πi z= ia z ia = π eωa z=ia a = π e ωa z= ia a Si noti il segno negativo dovuto al verso di percorrenza negativo su C. I singoli cammini di integrazione valgono R e iωx fz) dz = L R R x 2 + a 2 dx π e iωrcos θ±i sin θ) fz) dz = C R± 0 R 2 e ±i2θ + a 2 ±ire ±iθ) dθ e quindi fz) dz C R sgnω) π R R R 2 a 2 0 In conclusione nel limite R per ogni valore di ω, compreso il caso banale ω = 0, si ha + e iωx x 2 + a 2 dx = π a e ω a

10 Calcolare la trasformata di Fourier della fun- Esercizio 8 per Astrofisica) zione ft) = t 2 + a 2 a > 0 Utilizzare il risultato ottenuto per calcolare la trasformata di Fourier della funzione gt) = /t 2 + a 2 ) 2. [punteggio 5] Occorre calcolare l integrale fω) = + ft)e iωt dt con ω R. La funzione complessa fz) = /z 2 + a 2 ) ha poli semplici in z = ±ia. Per ω < 0 l integrale va calcolato nel semipiano immaginario positivo cammino di integrazione percorso in verso positivo) + ft)e iωt e iωz dt = 2πi Res z=ia z 2 + a 2 = π eωa a Per ω > 0 l integrale va calcolato nel semipiano immaginario negativo cammino di integrazione percorso in verso negativo) + In conclusione ft)e iωt e iωz dt = 2πi Res z= ia z 2 + a 2 = π e ωa a fω) = π a e ω a Osservando che si ha t 2 + a 2 ) 2 = 2a d da t 2 + a 2 gω) = d 2a da fω) = π + ω a) e ω a 2a3