METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA - A.A Primo appello del 9/6/2010. e 2ix dx = e ix 2 dx = t e it dt = [ it e it e it ] π/2

Transcript

1 METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA - A.A. 29- Primo appello del 9/6/2 Risolvere i seguenti esercizi, spiegando il procedimento usato. Calcolare la proiezione in L 2 π 2, π 2 di xt = t sul sottospazio generato da x t = sin t e x 2 t = e it. Dato che sin x = 2i eix e ix il sottospazio è anche generato da x t = e it e x 2 t = e it. Queste due funzioni sono ortogonali, in quanto e ix e ix = e ix e ix dx = e il quadrato della loro norma è Si ha inoltre e ix 2 2 = e ix 2 2 = t e it = t e it = [ e 2ix dx = 2i e2ix] π/2 = 2i eπi e πi =, e ix 2 dx = dx = π. t e it dt = [it e it + e it ] π/2 = 2i, t e it dt = [ it e it e it ] π/2 = 2i, Dunque per il teorema delle proiezioni la funzione cercata è yx = t e it π eix + t e it π e ix = 2i π e ix e ix = 4 e ix e ix = 4 sin x. π 2i π Una scelta alternativa, che deriva dall osservazione che cos x = 2 eix +e ix, è prendere x t = sin t e x 2 t = cos t. Di nuovo sin t cos t = sin t cos t dt = sin2x dx =. 2 Inoltre sin t 2 2 = cos t 2 2 = t cos t = t cos t dt = cos 2 t dt = 2 cos 2t + dt = π 2, integrale di funzione dispari,

2 e la funzione cercata è di nuovo t sin t = t sin t dt = [ t cos t + sin t] π/2 = 2, yx = t sin t 2 π sin x = 4 sin x. π 2. Calcolare la trasformata di Fourier di fx = x 2 + 4x 2 + 2x + 2 suggerimento: un modo possibile è usare il teorema dei residui. Calcolare la parte dispari di f e la relativa trasformata di Fourier. Calcoliamo fω = e iωx x 2 + 4x 2 + 2x + 2 dx usando il teorema dei residui. Fissato ω la funzione integranda si scrive i punti singolari sono gz = e iωz z 2iz + 2iz + iz + + i ; 2i,, 2i,, + i, i, e sono tutti poli semplici. I residui si ottengono facilmente dalla formula dato che si hanno semplificazioni nelle formule non occorre prendere il limite per z z Resg 2i = Resg z = z z gz z=z : e 2ω 4i + 3i + i = e 2ω 4i4i 2, e 2ω Resg 2i = 4i 3i i = e 2ω 4i4 + 2i, Resg + i = e +iω + i 3i2i = e+iω 2i4 2i, e +iω Resg i = i + 3i2i = e +iω 2i4 + 2i. Per ω < possiamo usare il Lemma di Jordan del grande cerchio, integrando su una semicirconferenza nel semipiano Imz > con diametro [ R, R]. Facendo tendere R + si ottiene fω = 2πi Resg 2i + Resg + i e 2ω = π 24i 2 + π e+iω 4 2i

3 Per ω > possiamo usare il Lemma di Jordan del grande cerchio, integrando su una semicirconferenza nel semipiano Imz < con diametro [ R, R]. Facendo tendere R + si ottiene fω = 2πi Resg 2i + Resg i = π e 2ω i + π e +iω 4 + 2i La parte dispari di f è f d x = 2 fx f x = 2x x 2 + 2x + 2 x 2 2x + 2 2x = x 2 + 4x 4 + 4, la cui trasformata di Fourier è i volte la parte immaginaria di f. Dato che fd è dispari, basta calcolarla per ω > : f d ω = iπim e 2ω i + e +iω e 2ω. = iπ 4 + 2i + e ω 2 sin ω cos ω. Dato che per ω < si ha f d ω = f d ω la formula finale è f d ω = ω e 2 ω ω iπ e ω cos ω + iπ e ω sin ω Risolvere il seguente problema integro-differenziale mediante la trasformata di Laplace x u + u = 3 ut e 3x t dt u =. da cui ovvero da cui Applicando la trasformata di Laplace a entrambi i membri, si ha s L[u] + L[u] = L[u ] + L[u] = 3L[u e 3t ] = 3L[u]L[e 3t ] = 3L[u] s 3, L[u] s + + =, s 3 L[u] = s 3 s 2 2s = 3 2 s 2 ux = e2x. s 2 = 3 2 L[] 2 L[e2x ],

4 4. Dire se le seguenti successioni di funzioni convergono per quasi ogni x R, in L 2 R, in L R o nel senso delle distribuzioni: f n x = n e nx2, g n x = e nx2, h n x = e x n2. Dato che lim t + e αt = lim t + t e αt = per ogni α > si ha lim n + f n x = lim n + g n x = per ogni x e lim n + h n x = per ogni x. Quindi il limite quasi ovunque è sempre la funzione. Successione f n. Calcoliamo le norme delle funzioni usiamo il cambio di variabili y = nx: f n 2 2 = n e 2nx2 dx = n e 2y2 dy + f n = + n e nx 2 dx = e y2 dy π. Dunque f n non converge a ne in L ne in L 2, mentre f n πδ nel senso delle distribuzioni: f n v dx = n e nx2 vx dx = e y2 v y n dy v e y2 dy = v π. 2 Successione g n. Calcoliamo le norme delle funzioni y = nx: + g n 2 2 = e 2nx2 dx = e 2y2 dy n + g n = e nx2 dx = e y2 dy. n Quindi g n tende a sia in L 2 che in L e quindi anche nel senso delle distribuzioni. 3 Successione h n. Le funzioni sono traslate della funzione e x2, quindi h n 2 = e x2 2, h n = e x2 che non tendono a. Dunque h n non converge ne in L ne in L 2, mentre h n nel senso delle distribuzioni: usando il cambio di variabili y = x n si ha e x n2 vx dx = dato che vy + n per ogni fissato y. e y2 vy + n dy

5 5. Calcolare l integrale γ zz 3 dz nei seguenti casi: 2 a γ la circonferenza in C di centro 2 e raggio /2; b γ la circonferenza in C di centro e raggio 3/2 orientate positivamente. La funzione fx = zz 3 2 ha un polo semplice in e poli doppi in, 2 ± 3 2. a La circonferenza non contiene poli. Dunque f è olomorfa al suo interno e l integrale è nullo. b La circonferenza contiene i poli e. Dunque zz 3 2 dz = 2πi Resf + Resf. γ Si ha dato che si hanno semplificazioni nelle formule non occorre prendere i limiti e quindi il risultato è 4 3 πi. Resf = z 3 2 z= =, Resf = d z 2 fz dz = d z= dz zz 2 + z + z= 2 = z2 + z + + 2z2z + z 2 z 2 + z + 3 = 3, 6. Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni per h + della successione di funzioni f h x = h 2 χ,/h x h 2 χ /h, x suggerimento: usare lo sviluppo di Taylor in di v nel calcolo di f h, v. Seguendo il suggerimento scriviamo vx = v + v x + ox. Si ha quindi f h, v = h 2 /h vx dx /h vx dx = h 2 /h v + v x + o/h dx v + v x + o/h dx /h = h 2 h v+ 2h 2 v + h o/h h v+ 2h 2 v + h o/h = v +h o/h v, ovvero lim f h, v = δ, v = δ, v. h e la successione tende a δ.