Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Primo appello. Febbraio 2017 A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti Tema A

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1 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Primo appello. Febbraio 7 A.A. /7. Prof. M. Bramanti Tema A Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. B. punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. C. punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di inversione per la trasformata di Fourier su L R n ). D. punti). Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà della trasformata di Laplace di una funzione comportamento all infinito, derivabilità, formula delle derivate della trasformata).

2 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti) a) Determinare le singolarità della funzione olomorfa f z) eiz z 3 + 4z), e classificare le singlarità, giustificando le affermazioni. b) Calcolare quindi l integrale nel campo complesso f z) dz, γ i) dove γ i) rappresenta la circonferenza di centro i e raggio percorsa in verso antiorario.. 5 punti) Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la corrente i t) nel circuito elettrico RC descritto dall equazione integrodifferenziale Ri t) + C q + t ) i τ) dτ v t) dove nelle opportune unità di misura) R, C 3, q.5. Risolvere il problema prima per v t) generica cioè ottenere una formula risolutiva esplicita in termini di una qualsiasi funzione v t) che sia L-trasformabile, non necessariamente continua), e successivamente per { t per t [, ] v t) per t >. Prima di risolvere il problema con questa v assegnata: in base all equazione, ci aspettiamo che la soluzione i t) sia una funzione continua? Derivabile? 3. 5 punti) a) Nello spazio di Hilbert L, ), ortonormalizzare il sistema di funzioni f x) χ,) x) f x) xχ,) x) f 3 x) χ,) x) f 4 x) xχ,) x). b) Detto V il sottospazio di L, ) generato da f, f, f 3, f 4, determinare la proiezione di f x) e x su V. Questo esercizio suggerisce un metodo generale per approssimare una funzione su un intervallo mediante una funzione lineare a tratti, non necessariamente continua).

3 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Primo appello. Febbraio 7 A.A. /7. Prof. M. Bramanti Tema B Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. punti). Enunciare con precisione e dimostrare la prima formula integrale di Cauchy. Attenzione: non il teorema di Cauchy dell integrale nullo). B. punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sull insieme degli zeri di una funzione analitica in un aperto. Mostrare come da questo si deduce il principio di identità delle funzioni analitiche, e spiegarne l importanza. C. punti). Enunciare il teorema della convergenza monotona il teorema della convergenza dominata per l integrale di Lebesgue. Fare esempi di applicazioni teoriche del teorema della convergenza dominata incontrate nel corso. D. punti). Dare la definizione di trasformata di Fourier di una funzione L R n ). Quindi enunciare con precisione e dimostrare le proprietà della trasformata di Fourier che riguardano: trasformata di una derivata; derivata di una trasformata; trasformata di una convoluzione. 3

4 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti) a) Determinare le singolarità della funzione olomorfa f z) eiz z 3 + 4z), e classificare le singlarità, giustificando le affermazioni. b) Calcolare quindi l integrale nel campo complesso f z) dz, γ i) dove γ i) rappresenta la circonferenza di centro i e raggio percorsa in verso antiorario.. 5 punti) Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la corrente i t) nel circuito elettrico RC descritto dall equazione integrodifferenziale Ri t) + C q + t ) i τ) dτ v t) dove nelle opportune unità di misura) R, C 3, q.5. Risolvere il problema prima per v t) generica cioè ottenere una formula risolutiva esplicita in termini di una qualsiasi funzione v t) che sia L-trasformabile, non necessariamente continua), e successivamente per { t per t [, ] v t) per t >. Prima di risolvere il problema con questa v assegnata: in base all equazione, ci aspettiamo che la soluzione i t) sia una funzione continua? Derivabile? 3. punti) a) Nello spazio di Hilbert L, ), ortonormalizzare il sistema di funzioni f x) χ,) x) f x) xχ,) x) f 3 x) χ,) x) f 4 x) xχ,) x). b) Detto V il sottospazio di L, ) generato da f, f, f 3, f 4, determinare la proiezione di f x) e x su V. Questo esercizio suggerisce un metodo generale per approssimare una funzione su un intervallo mediante una funzione lineare a tratti, non necessariamente continua). 4

5 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Seconda prova in itinere. Febbraio 7 A.A. /7. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema A Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. punti). Dopo aver ricordato la definizione di convergenza uniforme per una successione di funzioni, enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. v. Dispensa,.. B. punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. v. Dispensa,.5.. C. punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di inversione per la trasformata di Fourier su L R n ). v. Dispensa,..3 D. punti). Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà della trasformata di Laplace di una funzione comportamento all infinito, derivabilità, formula delle derivate della trasformata). v. Dispensa, 3. 5

6 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti) a) Determinare le singolarità della funzione olomorfa f z) eiz z 3 + 4z), e classificare le singlarità, giustificando le affermazioni. b) Calcolare quindi l integrale nel campo complesso f z) dz, γ i) dove γ i) rappresenta la circonferenza di centro i e raggio percorsa in verso antiorario. a) f z) eiz z z + 4). Singolarità: z, z ±i. z polo del primo ordine perché per z, zf z) eiz z z + 4) i. z ±i poli del second ordine. b) La circonferenza γ i) circonda i punti di singolarità e i, quindi per il teorema dei residui, f z) dz πi Res f z), ) + Res f z), i)). Res f z), i) γ i) Res f z), ) lim z zf z) i. ) z i) e iz f z) /zi z z + i) ) /zi e iz z + iz) ieiz z + iz ) e iz ) z + iz ) z + i) z + iz) 4 /zi ) /zi ieiz z + iz ) e iz ) z + i) z + iz) 3 ie 4 4) e ) 4i + i) /zi 4 4) 3 8e e ) 8 3 i e + 3 e ) 5e ) 3 i i. 8 8

7 Quindi γ i) i 5e ) ) ) f z) dz πi + 3 i π e 3 4 e ) + 5π punti) Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la corrente i t) nel circuito elettrico RC descritto dall equazione integrodifferenziale Ri t) + C q + t ) i τ) dτ v t) dove nelle opportune unità di misura) R, C 3, q.5. Risolvere il problema prima per v t) generica cioè ottenere una formula risolutiva esplicita in termini di una qualsiasi funzione v t) che sia L-trasformabile, non necessariamente continua), e successivamente per { t per t [, ] v t) per t >. Prima di risolvere il problema con questa v assegnata: in base all equazione, ci aspettiamo che la soluzione i t) sia una funzione continua? Derivabile? Se v t) è discontinua, necessariamente i t) è discontinua; infatti per i t) continua il primo membro fornisce una funzione continua, che non può uguagliare il secondo membro se v t) è discontinua. A maggior ragione i t) non sarà derivabile. Applicando la trasformata di Laplace abbiamo: RI s) + q C s + I s) ) V s) s I s) R + ) V s) q I s) V s) q R + V s) q ) CRs + V s) CRs + q CRs + V s) 3s s + s + V s) s s + s + V s) ) s + s + V s) V s) s + s + v t) L v e t/ ) e t/. 7

8 Perciò i t) v t) t e t τ)/ v τ) dτ e t/ ). Nel caso particolare v t) t per t, ), nulla altrimenti si ha ) se t <, t t i t) e t τ)/ τdτ e t/ ) se t >, e t τ)/ τdτ e t/ { se t <, t t e t τ)/ τdτ e t/ se t >, e t τ)/ τdτ { ) e t/ se t <, t t + e t/ e t/ se t >, 3 4e /3) e t/ { ) e t/ se t <, e t/ se t >, 3 + 4e /3 ) e t/ 8

9 3. 5 punti) a) Nello spazio di Hilbert L, ), ortonormalizzare il sistema di funzioni f x) χ,) x) f x) xχ,) x) f 3 x) χ,) x) f 4 x) xχ,) x). b) Detto V il sottospazio di L, ) generato da f, f, f 3, f 4, determinare la proiezione di f x) e x su V. Questo esercizio suggerisce un metodo generale per approssimare una funzione su un intervallo mediante una funzione lineare a tratti, non necessariamente continua). a) x ) χ,) f L,) e f f, e L,) xdx e vers f f, e e ) vers e 3 x ) dx x ) χ,) xχ,) x) ) χ,) x) [ t t dt t 3 dt 3 ] / x 3 ) χ,) f 3, e f 3, e f 3 L,) e 3 vers f 3 ) e 3 χ,) x) f 4, e f 4, e f 4, e 3 L,) xdx 3 e 4 vers f 4 f 4, e 3 e 3 ) vers e 4 3 x ) 3 dx x 3 ) χ,). χ,) x) 3 ) χ,) x) t dt 9

10 Il sistema ortonormale di V è dato dalle funzioni e, e, e 3, e 4. b) P V f x) f, e f, e f, e 3 4 f, e k e k. k e x dx e 3 x ) e x dx 3 3 e) e x dx e e 3 x 3 ) f, e 4 e x dx 3 3 e) e P V f x) e ) χ,) x) e) 3 x ) χ,) x) + e e ) ) χ,) x) e) e 3 x 3 ) χ,) {4e + 3 e) x} χ,) x) + e {e e) x} χ,). Rappresentiamo f e la sua proiezione:

11 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Seconda prova in itinere. Febbraio 7 A.A. /7. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema B Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. punti). Enunciare con precisione e dimostrare la prima formula integrale di Cauchy. Attenzione: non il teorema di Cauchy dell integrale nullo). v. Dispensa,.5.. B. punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sull insieme degli zeri di una funzione analitica in un aperto. Mostrare come da questo si deduce il principio di identità delle funzioni analitiche, e spiegarne l importanza. v. Dispensa,.5.4. C. punti). Enunciare il teorema della convergenza monotona il teorema della convergenza dominata per l integrale di Lebesgue. Fare esempi di applicazioni teoriche del teorema della convergenza dominata incontrate nel corso. v. Dispensa,.3.3. D. punti). Dare la definizione di trasformata di Fourier di una funzione L R n ). Quindi enunciare con precisione e dimostrare le proprietà della trasformata di Fourier che riguardano: trasformata di una derivata; derivata di una trasformata; trasformata di una convoluzione. v. Dispensa,...

12 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti) a) Determinare le singolarità della funzione olomorfa f z) eiz z 3 + 4z), e classificare le singlarità, giustificando le affermazioni. b) Calcolare quindi l integrale nel campo complesso f z) dz, γ i) dove γ i) rappresenta la circonferenza di centro i e raggio percorsa in verso antiorario. a) f z) eiz z z + 4). Singolarità: z, z ±i. z polo del primo ordine perché per z, zf z) eiz z z + 4) i. z ±i poli del second ordine. b) La circonferenza γ i) circonda i punti di singolarità e i, quindi per il teorema dei residui, f z) dz πi Res f z), ) + Res f z), i)). Res f z), i) γ i) Res f z), ) lim z zf z) i. ) z i) e iz f z) /zi z z + i) ) /zi e iz z + iz) ieiz z + iz ) e iz ) z + iz ) z + i) z + iz) 4 /zi ) /zi ieiz z + iz ) e iz ) z + i) z + iz) 3 ie 4 4) e ) 4i + i) /zi 4 4) 3 8e e ) 8 3 i e + 3 e ) 5e ) 3 i i. 8 8

13 Quindi γ i) i 5e ) ) ) f z) dz πi + 3 i π e 3 4 e ) + 5π punti) Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la corrente i t) nel circuito elettrico RC descritto dall equazione integrodifferenziale Ri t) + C q + t ) i τ) dτ v t) dove nelle opportune unità di misura) R, C 3, q.5. Risolvere il problema prima per v t) generica cioè ottenere una formula risolutiva esplicita in termini di una qualsiasi funzione v t) che sia L-trasformabile, non necessariamente continua), e successivamente per { t per t [, ] v t) per t >. Prima di risolvere il problema con questa v assegnata: in base all equazione, ci aspettiamo che la soluzione i t) sia una funzione continua? Derivabile? Se v t) è discontinua, necessariamente i t) è discontinua; infatti per i t) continua il primo membro fornisce una funzione continua, che non può uguagliare il secondo membro se v t) è discontinua. A maggior ragione i t) non sarà derivabile. Applicando la trasformata di Laplace abbiamo: RI s) + q C s + I s) ) V s) s I s) R + ) V s) q I s) V s) q R + V s) q ) CRs + V s) CRs + q CRs + V s) 3s s + s + V s) s s + s + V s) ) s + s + V s) V s) s + s + v t) L v e t/ ) e t/. 3

14 Perciò i t) v t) t e t τ)/ v τ) dτ e t/ ). Nel caso particolare v t) t per t, ), nulla altrimenti si ha ) se t <, t t i t) e t τ)/ τdτ e t/ ) se t >, e t τ)/ τdτ e t/ { se t <, t t e t τ)/ τdτ e t/ se t >, e t τ)/ τdτ { ) e t/ se t <, t t + e t/ e t/ se t >, 3 4e /3) e t/ { ) e t/ se t <, e t/ se t >, 3 + 4e /3 ) e t/ 4

15 3. punti) a) Nello spazio di Hilbert L, ), ortonormalizzare il sistema di funzioni f x) χ,) x) f x) xχ,) x) f 3 x) χ,) x) f 4 x) xχ,) x). b) Detto V il sottospazio di L, ) generato da f, f, f 3, f 4, determinare la proiezione di f x) e x su V. Questo esercizio suggerisce un metodo generale per approssimare una funzione su un intervallo mediante una funzione lineare a tratti, non necessariamente continua). a) x ) χ,) f L,) e f f, e L,) xdx e vers f f, e e ) vers e 3 x ) dx x ) χ,) xχ,) x) ) χ,) x) [ t t dt t 3 dt 3 ] / x 3 ) χ,) f 3, e f 3, e f 3 L,) e 3 vers f 3 ) e 3 χ,) x) f 4, e f 4, e f 4, e 3 L,) xdx 3 e 4 vers f 4 f 4, e 3 e 3 ) vers e 4 3 x ) 3 dx x 3 ) χ,). χ,) x) 3 ) χ,) x) t dt 5

16 Il sistema ortonormale di V è dato dalle funzioni e, e, e 3, e 4. b) P V f x) f, e f, e f, e 3 4 f, e k e k. k e x dx e 3 x ) e x dx 3 3 e) e x dx e e 3 x 3 ) f, e 4 e x dx 3 3 e) e P V f x) e ) χ,) x) e) 3 x ) χ,) x) + e e ) ) χ,) x) e) e 3 x 3 ) χ,) {4e + 3 e) x} χ,) x) + e {e e) x} χ,). Rappresentiamo f e la sua proiezione: