Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Primo appello. Febbraio 2019 A.A. 2018/2019. Prof. M. Bramanti Tema A

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1 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Primo appello. Febbraio 9 A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Tema A Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntuale e uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrare il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lo spazio C [a, b] è di Banach. B. 6 punti. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrare come da questo si deduce il fatto che una funzione armonica in un aperto è infinitamente derivabile e che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa sono armoniche. C. 6 punti. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. D. 6 punti. Dopo aver definito lo spazio S R delle funzioni a decrescenza rapida, enunciare e dimostrare le proprietà di questo spazio rilevanti dal punto di vista della teoria della trasformata di Fourier.

2 Svolgere i seguenti esercizi. punti. Calcolare, con metodi di analisi complessa, l integrale sin x x + i x + dx. R. punti. Sia f x = x e x. a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f, sua regolarità, velocità di convergenza a zero. b. Calcolare f a partire dalla trasformata, considerata nota, F e x ξ = πe π ξ e applicando opportunamente le proprietà note dell operatore trasformata di Fourier. Verificare che le proprietà della trasformata ottenuta siano coerenti con le previsioni fatte a priori. 3. punti. Si consideri l equazione integrodifferenziale di un circuito LCR in serie: Li t + Ri t + t q + i τ dτ = v t C con L =, C =, R = 6, q = e condizione iniziale i =. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, scrivere esplicitamente la formula risolutiva che assegna la corrente i t nel circuito, per una generica tensione v t Laplace trasformabile. b. Si consideri ora il caso v t = e t χ, t. Prevedere, prima di risolvere l equazione, in base alla regolarità del dato v t e alla struttura dell equazione, la regolarità che si attende per i t. Quindi ottenere la soluzione esplicita i t corrispondente a questo dato.

3 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Primo appello. Febbraio 9 A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Tema B Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. B. 6 punti. Dopo aver richiamato cosa si intende per serie bilatera e sua convergenza, enunciare e dimostrare il teorema sulla sviluppabilità in serie bilatera di Laurent di una funzione olomorfa in una corona circolare e fare qualche esempio esplicito di sviluppo in serie di Laurent di una funzione f z, che non si riduca a uno sviluppo in serie di potenze solo positive o solo negative. C. 6 punti. Dopo aver dato la definizione di spazio vettoriale con prodotto scalare riportando gli assiomi di prodotto scalare e aver dato la definizione di norma indotta dal prodotto scalare, enunciare la disuguaglianza di Cauchy- Schwartz, la disuguaglianza triangolare per la norma e l uguaglianza del parallelogramma, e dimostrare le ultime due. D. 6 punti. Enunciare e dimostrare il principio di indeterminazione di Heisenberg per la trasformata di Fourier di una funzione f S R. Verificare poi che per le funzioni gaussiane e αx α > vale il segno di uguale nella disuguaglianza di Heisenberg. 3

4 Svolgere i seguenti esercizi. punti. Calcolare, con metodi di analisi complessa, l integrale sin x x + i x + dx. R. punti. Sia f x = x e x. a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f, sua regolarità, velocità di convergenza a zero. b. Calcolare f a partire dalla trasformata, considerata nota, F e x ξ = πe π ξ e applicando opportunamente le proprietà note dell operatore trasformata di Fourier. Verificare che le proprietà della trasformata ottenuta siano coerenti con le previsioni fatte a priori. 3. punti. Si consideri l equazione integrodifferenziale di un circuito LCR in serie: Li t + Ri t + t q + i τ dτ = v t C con L =, C =, R = 6, q = e condizione iniziale i =. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, scrivere esplicitamente la formula risolutiva che assegna la corrente i t nel circuito, per una generica tensione v t Laplace trasformabile. b. Si consideri ora il caso v t = e t χ, t. Prevedere, prima di risolvere l equazione, in base alla regolarità del dato v t e alla struttura dell equazione, la regolarità che si attende per i t. Quindi ottenere la soluzione esplicita i t corrispondente a questo dato. 4

5 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Recupero a prova in itinere. Febbraio 9 A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Tema A Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Si dia la definizione di spazio metrico, successione di Cauchy, spazio metrico completo, spazio vettoriale normato, spazio di Banach. Si facciano esempi di spazi di funzioni con le seguenti caratteristiche: -uno spazio vettoriale normato e uno spazio vettoriale che non ha una norma naturale; -uno spazio metrico che non è uno spazio vettoriale; -uno spazio metrico che è vettoriale ma non normato cioè: la distanza dello spazio metrico non proviene da una norma; -uno spazio vettoriale normato completo e uno non completo. B. 6 punti. Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntuale e uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrare il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lo spazio C [a, b] è di Banach. C. 6 punti. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrare come da questo si deduce il fatto che una funzione armonica in un aperto è infinitamente derivabile e che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa sono armoniche. D. 6 punti. Dopo aver richiamato la definizione di singolarità isolata di una funzione olomorfa, singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolarità essenziale, enunciare e dimostrare il teorema di classificazione delle singolarità isolate mediante la serie bilatera.

6 Svolgere i seguenti esercizi. punti. Calcolare il seguente integrale nel campo complesso: zdz dove γ è l arco di curva γ { x = t cos t y = t sin t t [, π].. punti. Classificare le singolarità della seguente funzione, e calcolare il residuo negli eventuali poli del prim ordine. sin πiz sin π z f z = z + z + iz punti. Calcolare, con metodi di analisi complessa, l integrale sin x x + i x + dx. R 6

7 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Recupero a prova in itinere. Febbraio 9 A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Tema A Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Sia Ω, M, µ uno spazio di misura. Si spieghi cosa significa, con i seguenti passi: dare la definizione di σ-algebra e farne qualche esempio; dare la definizione di misura e farne qualche esempio. Gli esempi possono utilizzare anche argomenti del corso visti successivamente alle prime definizioni, come la misura di Lebesgue o le misure con peso. Enunciare quindi con precisione il teorema di esistenza della misura di Lebesgue in R n, che ne precisa la definizione e le proprietà. B. 6 punti. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. C. 6 punti. Dare la definizione di problema di Sturm-Liouville regolare e enunciare il teorema relativo ai suoi autovalori e autofunzioni, dimostrando le due affermazioni riguardanti la positività degli autovalori e l ortogonalità delle autofunzioni. D. 6 punti. Dopo aver definito lo spazio S R delle funzioni a decrescenza rapida, enunciare e dimostrare le proprietà di questo spazio rilevanti dal punto di vista della teoria della trasformata di Fourier. 7

8 Svolgere i seguenti esercizi. punti. Si consideri la funzione f x = x 4π x + πix +. a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f C, L, L, S..., sua regolarità, velocità di convergenza a zero. b. Calcolare f col metodo dei residui.. punti. Sia f x = x e x. a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f, sua regolarità, velocità di convergenza a zero. b. Calcolare f a partire dalla trasformata, considerata nota, F e x ξ = πe π ξ e applicando opportunamente le proprietà note dell operatore trasformata di Fourier. Verificare che le proprietà della trasformata ottenuta siano coerenti con le previsioni fatte a priori. 3. punti. Si consideri l equazione integrodifferenziale di un circuito LCR in serie: Li t + Ri t + t q + i τ dτ = v t C con L =, C =, R = 6, q = e condizione iniziale i =. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, scrivere esplicitamente la formula risolutiva che assegna la corrente i t nel circuito, per una generica tensione v t Laplace trasformabile. b. Si consideri ora il caso v t = e t χ, t. Prevedere, prima di risolvere l equazione, in base alla regolarità del dato v t e alla struttura dell equazione, la regolarità che si attende per i t. Quindi ottenere la soluzione esplicita i t corrispondente a questo dato. 8

9 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Primo appello. Febbraio 9 A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema A Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntuale e uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrare il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lo spazio C [a, b] è di Banach. Risposta: v. libro di testo,... B. 6 punti. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrare come da questo si deduce il fatto che una funzione armonica in un aperto è infinitamente derivabile e che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa sono armoniche. Risposta: v. libro di testo, 6... C. 6 punti. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. Risposta: v. libro di testo, 4.3. D. 6 punti. Dopo aver definito lo spazio S R delle funzioni a decrescenza rapida, enunciare e dimostrare le proprietà di questo spazio rilevanti dal punto di vista della teoria della trasformata di Fourier. Risposta: v. libro di testo,

10 R Svolgere i seguenti esercizi. punti. Calcolare, con metodi di analisi complessa, l integrale sin x x + i x + dx. Riscriviamo: { sin x x + i x + dx = i R R e ix } x + i 3 x i dx e ix R x + i 3 x i dx = i {I I } dove gli integrali I, I sono integrali calcolabili col metodo dei residui. z = i polo del prim ordine z = i polo del terz ordine. e iz I = πi Res z + i 3 z i, i e iz e = πi z + i 3 = πi i 3 = π 4e. /z=i e iz I = πi Res z + i 3 z i, i = πi e iz z i /z= i e iz i z i e iz iz = πi z i = πi z i /z= i = πi e iz i iz + + i z i z i iz + z i 4 /z= i iz z i z i iz = πi e z i 3 = πi e i 3 Quindi l integrale vale i {I I } = i /z= i { π 4e + π } = π 4e i e = i π e. /z= i = πi = π 4e e iz iz + z i /z= i. punti. Sia f x = x e x. a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f, sua regolarità, velocità di convergenza a zero.

11 b. Calcolare f a partire dalla trasformata, considerata nota, F e x ξ = πe π ξ e applicando opportunamente le proprietà note dell operatore trasformata di Fourier. Verificare che le proprietà della trasformata ottenuta siano coerenti con le previsioni fatte a priori. a. f è reale e pari, f sarà reale e pari. f S R, quindi f S R in particolare, è C e tende a zero più rapidamente di ogni potenza di ξ. b. g x = e x g x = e x F g π ξ = ĝ ξ = π e ξ f x = x g x f ξ = F x g x = πi F g ξ = π 4π = π 4 e π e π ξ ξ π e π ξ π ξ ξ ξ ξ = 4π π ξ = 4 e π ξ π ξ 3. punti. Si consideri l equazione integrodifferenziale di un circuito LCR in serie: Li t + Ri t + t q + i τ dτ = v t C

12 con L =, C =, R = 6, q = e condizione iniziale i =. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, scrivere esplicitamente la formula risolutiva che assegna la corrente i t nel circuito, per una generica tensione v t Laplace trasformabile. b. Si consideri ora il caso v t = e t χ, t. Prevedere, prima di risolvere l equazione, in base alla regolarità del dato v t e alla struttura dell equazione, la regolarità che si attende per i t. Quindi ottenere la soluzione esplicita i t corrispondente a questo dato. Applicando la trasformata di Laplace ad ambo i membri e ponendo I s = L i s, V s = L v s si ha: L si s i + RI s + Cs q + I s = V s Ls + R + I s = V s + Li Cs Cs q I s = e per L =, C =, R = 6, q =, i = si ha V s Ls + R + Cs I s = V s s s s s V s H s + G s con s H s = s + 6s + ; G s = s + 6s +, funzioni che dobbiamo ora antitrasformare. s H s = s + s + = a s + + { a + b = b = a + b = 4, a = 4 H s = { 4 s + } s + = L { a + b = a + b = G s = s + 6s + = b = 4, a = 4 G s = { 4 s + s + s + Li Cs q Ls + R + Cs b a s + + b s + = s + s + s + 4 a s + + } e t e t. b a s + + b s + = s + s + s + = L e t e t 4

13 I s = L v t e t 4 e t + e t e t 4 perciò la soluzione è: i t = v t = 4 e t 4 e t + e t e t 4 e t e t + 4 t e t τ t τ e v τ dτ. b. Poiché il termine noto è discontinuo, la soluzione sarà C con derivata prima derivabile a tratti, ma non esisterà i. Calcoliamo la convoluzione t e t τ t t τ e v τ dτ = = se t > e t τ t τ e se t < e t τ t e t τ e τ χ, τ dτ t τ e e τ dτ t τ e e τ dτ t e t τ t t τ e e τ dτ = e t = e t [ e τ = et e t i t = ] t 6 e t e t e t [ ] t 6 e 6τ = e t [ e t e τ dτ e t = 3 et e t + 6 e t e t τ [ t τ e e e τ dτ = e t τ se t < 4 e t e t se t > 4 ] = e t e + 4 e t e t + 4 ] e t e t t [ 6 6 e t 3 et e t + 6 e t e t 6 e t e e 6τ dτ e 6t ] [ ] 6 e 6τ e 6. e 6 3

14 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Primo appello. Febbraio 9 A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema B Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. Risposta: v. libro di testo,... B. 6 punti. Dopo aver richiamato cosa si intende per serie bilatera e sua convergenza, enunciare e dimostrare il teorema sulla sviluppabilità in serie bilatera di Laurent di una funzione olomorfa in una corona circolare e fare qualche esempio esplicito di sviluppo in serie di Laurent di una funzione f z, che non si riduca a uno sviluppo in serie di potenze solo positive o solo negative. Risposta: v. libro di testo, C. 6 punti. Dopo aver dato la definizione di spazio vettoriale con prodotto scalare riportando gli assiomi di prodotto scalare e aver dato la definizione di norma indotta dal prodotto scalare, enunciare la disuguaglianza di Cauchy- Schwartz, la disuguaglianza triangolare per la norma e l uguaglianza del parallelogramma, e dimostrare le ultime due. Risposta: v. libro di testo, 4.. D. 6 punti. Enunciare e dimostrare il principio di indeterminazione di Heisenberg per la trasformata di Fourier di una funzione f S R. Verificare poi che per le funzioni gaussiane e αx α > vale il segno di uguale nella disuguaglianza di Heisenberg. Risposta: v. libro di testo, Svolgimento Esercizi: v. tema A. 4

15 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Recupero a prova in itinere. Febbraio 9 A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema A Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Si dia la definizione di spazio metrico, successione di Cauchy, spazio metrico completo, spazio vettoriale normato, spazio di Banach. Si facciano esempi di spazi di funzioni con le seguenti caratteristiche: -uno spazio vettoriale normato e uno spazio vettoriale che non ha una norma naturale; -uno spazio metrico che non è uno spazio vettoriale; -uno spazio metrico che è vettoriale ma non normato cioè: la distanza dello spazio metrico non proviene da una norma; -uno spazio vettoriale normato completo e uno non completo. Risposta: v. libro di testo,.. B. 6 punti. Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntuale e uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrare il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lo spazio C [a, b] è di Banach. Risposta: v. libro di testo,.. C. 6 punti. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrare come da questo si deduce il fatto che una funzione armonica in un aperto è infinitamente derivabile e che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa sono armoniche. Risposta: v. libro di testo, 6... D. 6 punti. Dopo aver richiamato la definizione di singolarità isolata di una funzione olomorfa, singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolarità essenziale, enunciare e dimostrare il teorema di classificazione delle singolarità isolate mediante la serie bilatera. Risposta: v. libro di testo, 6.6..

16 Svolgere i seguenti esercizi. punti. Calcolare il seguente integrale nel campo complesso: zdz dove γ è l arco di curva γ { x = t cos t y = t sin t t [, π]. Impostiamo l integrale in base alla definizione: γ zdz = = = π π π x t iy t x t + iy t dt t cos t it sin t cos t t sin t + i sin t + t cos t dt [ t cos t t cos t sin t + t sin t + t sin t cos t +i t cos t sin t + t sin t + t cos t sin t + t cos t ] dt π = t + it [ ] t π dt = + it3 = π + i 8π punti. Classificare le singolarità della seguente funzione, e calcolare il residuo negli eventuali poli del prim ordine. sin πiz sin π z f z = z + z + iz + 3. z + iz + 3 = per z = i ± 4 = i ± i = { i 3i Quindi sin πiz sin π z f z = z + i z i z i z + 3i = sin πiz sin π z z + i z i 3 z + 3i. I punti da esaminare sono: z =, i, i, 3i che annullano denominatori. Tutti questi punti annullano anche il fattore a numeratore sin πiz, del prim ordine. Tenuto conto di questo, e della singolarità essenziale di sin π z in z =, si conclude: z = singolarità essenziale z = i singolarità eliminabile 6

17 z = 3i polo del prim ordine z = i polo del second ordine. sin πiz sin π z Res f z, 3i = Res z + i z i 3 z + 3i, 3i sin πiz sin π z = lim z + 3i z 3i z + i z i 3 z + 3i = sin π z = lim z 3i z + i z i 3 lim z 3i sin πiz z + 3i dove il primo è il limite è quello di una funzione continua e si calcola per semplice sostituzione del valore, mentre il secondo limite si calcola con De L Hospital = sin i π 3 i 4i 3 lim πi cos πiz = i Sh π 3 πi = π Sh π 3. z 3i R 3. punti. Calcolare, con metodi di analisi complessa, l integrale sin x x + i x + dx. Riscriviamo: { sin x x + i x + dx = i R R e ix } x + i 3 x i dx e ix R x + i 3 x i dx = i {I I } dove gli integrali I, I sono integrali calcolabili col metodo dei residui. z = i polo del prim ordine z = i polo del terz ordine. I = πi Res e iz z + i 3 z i, i = πi e iz z + i 3 /z=i = πi e iz I = πi Res z + i 3 z i, i = πi e iz z i /z= i e iz i z i e iz iz = πi z i = πi z i /z= i = πi e iz i iz + + i z i z i iz + z i 4 /z= i iz z i z i iz = πi e z i 3 = πi e i 3 /z= i e i 3 /z= i = π 4e. = πi = π 4e e iz iz + z i /z= i 7

18 Quindi l integrale vale i {I I } = i { π 4e + π } = π 4e i e = i π e. 8

19 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Recupero a prova in itinere. Febbraio 9 A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema A Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Sia Ω, M, µ uno spazio di misura. Si spieghi cosa significa, con i seguenti passi: dare la definizione di σ-algebra e farne qualche esempio; dare la definizione di misura e farne qualche esempio. Gli esempi possono utilizzare anche argomenti del corso visti successivamente alle prime definizioni, come la misura di Lebesgue o le misure con peso. Enunciare quindi con precisione il teorema di esistenza della misura di Lebesgue in R n, che ne precisa la definizione e le proprietà. Risposta: v. libro di testo,.. B. 6 punti. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. Risposta: v. libro di testo, 4., 4.. C. 6 punti. Dare la definizione di problema di Sturm-Liouville regolare e enunciare il teorema relativo ai suoi autovalori e autofunzioni, dimostrando le due affermazioni riguardanti la positività degli autovalori e l ortogonalità delle autofunzioni. Risposta: v. libro di testo, D. 6 punti. Dopo aver definito lo spazio S R delle funzioni a decrescenza rapida, enunciare e dimostrare le proprietà di questo spazio rilevanti dal punto di vista della teoria della trasformata di Fourier. Risposta: v. libro di testo,

20 Svolgere i seguenti esercizi. Si consideri la funzione f x = x 4π x + πix +. a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f C, L, L, S..., sua regolarità, velocità di convergenza a zero. b. Calcolare f col metodo dei residui. a. La f è complessa e senza simmetrie, non ci aspettiamo particolari simmetrie da f. La f è C R, perciò f ξ = o /ξ k per ogni k per ξ. f L R ma f / L R perciò f L R ma ci aspettiamo sia discontinua. b. 4π z + πiz + = z = πi ± π 4π 4π Due poli del prim ordine. f ξ = R = se ξ < = se ξ > xe πixξ 4π x + πix + dx = se ξ < πi se ξ > πi i i ze πizξ 8π z+πi ze πizξ 8π z+πi e πiξ + i 4π πi ± πi = 4π = ± i 4π se ξ < se ξ > + i 4π e πiξ i 4π i /z= + 4π i /z= 4π i i = 4π i ze πi Res πizξ πi Res se ξ < = se ξ > i 4π z +πiz+, + 4π ze πizξ 4π z +πiz+, 4π se ξ < se ξ > i i ze πizξ 4πz+i i ze πizξ 4πz+i e ξ + 4π e ξ + 4π /z= + 4π i /z= 4π i + i i

21 Grafico di Im f. Sia f x = x e x. a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f, sua regolarità, velocità di convergenza a zero. b. Calcolare f a partire dalla trasformata, considerata nota, F e x ξ = πe π ξ e applicando opportunamente le proprietà note dell operatore trasformata di Fourier. Verificare che le proprietà della trasformata ottenuta siano coerenti con le previsioni fatte a priori. a. f è reale e pari, f sarà reale e pari. f S R, quindi f S R in particolare, è C e tende a zero più rapidamente di ogni potenza di ξ.

22 b. g x = e x g x = e x F g π ξ = ĝ ξ = π e ξ f x = x g x f ξ = F x g x = πi F g ξ = π 4π = π 4 e π e π ξ ξ π e π ξ π ξ ξ ξ ξ = 4π π ξ = 4 e π ξ π ξ 3. punti. Si consideri l equazione integrodifferenziale di un circuito LCR in serie: Li t + Ri t + t q + i τ dτ = v t C con L =, C =, R = 6, q = e condizione iniziale i =. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, scrivere esplicitamente la formula risolutiva che assegna la corrente i t nel circuito, per una generica tensione v t Laplace trasformabile. b. Si consideri ora il caso v t = e t χ, t.

23 Prevedere, prima di risolvere l equazione, in base alla regolarità del dato v t e alla struttura dell equazione, la regolarità che si attende per i t. Quindi ottenere la soluzione esplicita i t corrispondente a questo dato. Applicando la trasformata di Laplace ad ambo i membri e ponendo I s = L i s, V s = L v s si ha: L si s i + RI s + Cs q + I s = V s Ls + R + I s = V s + Li Cs Cs q I s = e per L =, C =, R = 6, q =, i = si ha V s Ls + R + Cs I s = V s s s s s V s H s + G s s + Li Cs q Ls + R + Cs con s H s = s + 6s + ; G s = s + 6s +, funzioni che dobbiamo ora antitrasformare. s H s = s + s + = a s + + b a s + + b s + = s + s + s + { a + b = b = a + b = 4, a = 4 H s = { 4 s + } s + = L e t 4 e t. { a + b = a + b = G s = s + 6s + = a s + + b = 4, a = 4 G s = { 4 s + } s + I s = L v t e t 4 e t perciò la soluzione è: i t = v t = 4 = L 4 b a s + + b s + = s + s + s e t e t e t e t e t 4 e t + e t e t 4 e t e t + 4 t e t τ t τ e v τ dτ. 3

24 b. Poiché il termine noto è discontinuo, la soluzione sarà C con derivata prima derivabile a tratti, ma non esisterà i. Calcoliamo la convoluzione t e t τ t t τ e v τ dτ = = se t > e t τ t τ e se t < e t τ t e t τ e τ χ, τ dτ t τ e e τ dτ t τ e e τ dτ t e t τ t t τ e e τ dτ = e t = e t [ e τ = et e t i t = ] t 6 e t e t e t [ ] t 6 e 6τ = e t [ e t e τ dτ e t = 3 et e t + 6 e t e t τ [ t τ e e e τ dτ = e t τ se t < 4 e t e t se t > 4 ] = e t e + 4 e t e t + 4 ] e t e t t [ 6 6 e t 3 et e t + 6 e t e t 6 e t e e 6τ dτ e 6t ] [ ] 6 e 6τ e 6. e 6 4