Corso di Elementi di Analisi Funzionale e Trasformate A.A. 2017/2018 Domande-tipo di teoria sull intero programma

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1 Corso di Elementi di Analisi Funzionale e Trasformate A.A. 2017/2018 Domande-tipo di teoria sull intero programma Marco Bramanti Politecnico di Milano June 7, 2018 Cap. 1. Elementi di analisi funzionale 1. Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntuale e uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrare il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lo spazio C 0 ([a, b]) è di Banach. 2. Per una successione di funzioni f n : Ω R, con Ω R n, definire le nozioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme. Enunciare quindi (senza dimostrazione) i vari teoremi studiati che, sotto opportune ipotesi che coinvolgono il concetto di convergenza uniforme, garantiscono che certe proprietà di f n si trasferiscono al limite f. Mostrare quindi con esempi che, se viene a cadere l ipotesi di convergenza uniforme, le conclusioni dei precedenti teoremi possono venire a cadere. 3. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. 4. Fare esempi di spazi di funzioni che sono di Banach, oppure vettoriali normati ma non completi, oppure metrici ma non vettoriali, oppure vettoriali ma non normati. (Fare un esempio significa definire esplicitamente e con precisione sia l insieme di funzioni sia l eventuale norma o distanza che si considera). Le affermazioni negative ( questa non è una norma, questo spazio non è vettoriale, ecc.) vanno giustificate con opportuni esempi o considerazioni. Negli esempi, utilizzare almeno (non solo!) i seguenti spazi: C 0 (a, b), C 0 (R), C 1 [a, b], L 1 (Ω, M, µ), L p (Ω, M, µ) con p > 1 e con p < 1. 1

2 Cap. 2. Teoria della misura e dell integrazione 1. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura. Si spieghi cosa significa, cioè si dica cosa sono Ω, M, µ, definendo in dettaglio i concetti coinvolti di sigma algebra e misura. Fare poi diversi esempi di spazi di misura incontrati nel corso. 2. Enunciare dettagliatamente il teorema che afferma l esistenza della misura di Lebsegue in R n e le sue proprietà. 3. In un generico spazio di misura (Ω, M, µ), illustrare come si definisce l integrale, prima per una funzione misurabile positiva e poi per una funzione di segno qualunque o a valori complessi. Richiamare le definizioni dei principali concetti coinvolti. Enunciare quindi le proprietà elementari dell integrale in questo contesto (linearità, monotonia...). 4. Enunciare il teorema della convergenza dominata per l integrale di Lebesgue e fare esempi di applicazioni teoriche di questo teorema incontrate nel corso. Confrontare con il teorema di passaggio al limite per l integrale di Riemann che si è incontrato nel corso. 5. Confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue: enunciare il teorema che dà una condizione necessaria e suffi ciente affi nché una funzione sia Riemann integrabile; enunciare il teorema che afferma la relazione tra integrabilità secondo Riemann (in senso proprio, non generalizzato) e secondo Lebsegue. Mostrare con un contresempio che l implicazione inversa non vale. Infine, discutere la relazione tra integrale di Lebesgue e integrale di Riemann generalizzato. 6. Nel contesto della teoria dell integrale di Lebesgue, si enuncino con precisione il teorema sulla continuità di un integrale dipendente da un parametro e il teorema di derivazione sotto il segno di integrale per un integrale dipendente da un parametro, cioè una funzione del tipo F (x) = f (x, y) dy, Ω e si dimostri il teorema di derivazione. Fare anche un esempio significativo incontrato nel corso, di applicazione teorica di ciascuno dei due teoremi. 7. Si enunci con precisione il teorema di Fubini-Tonelli che consente di trattare gli integrali doppi nella teoria di Lebesgue. Si discuta poi qualche applicazione di questo teorema che si è incontrata nel corso. 8. Si definisca cosa si intende per convoluzione di due funzioni in R n e si illustrino le proprietà della convoluzione viste nel corso. In particolare, si enunci e dimostri un risultato preciso che riguarda la convoluzione di due funzioni L 1 (R n ). Si enunci poi il risultato analogo che estende il precedente a spazi L p. 9. Definire gli spazi L p (Ω) su uno spazio di misura astratto, per p [1, ) e illustrarne le principali proprietà studiate (in particolare, ma non solo, la disuguaglianza di Hölder). Cosa si può dire sugli spazi L p (Ω) per p (0, 1)? 10. Definire gli spazi L p (Ω) su uno spazio di misura astratto, per p [1, ]. Quindi illustrare le relazioni di inclusione che valgono tra spazi L p (Ω) quando Ω ha misura finita, dimostrandole. Dare la definizione degli spazi L p loc (Rn ) e spiegare che inclusione vale tra spazi L p loc (Rn ) per diversi valori di p. 2

3 Cap. 3. Operatori e funzionali lineari continui 1. Operatori lineari continui tra due spazi vettoriali normati: si enunci con precisione il teorema che sta alla base della definizione di operatore lineare continuo (equivalenza tra tre condizioni), si dia quindi questa definizione e la definizione di norma di un operatore. Si facciano diversi esempi di operatori lineari continui tra spazi di funzioni. *2. Si dia la definizione di funzionale lineare continuo su uno spazio vettoriale normato, norma di un funzionale lineare continuo, spazio duale di uno spazio vettoriale normato. Si faccia qualche esempio di funzionale lineare continuo sugli spazi di funzioni incontrati nel corso e si faccia un esempio incontrato nel corso di caratterizzazione dello spazio duale di un certo spazio vettoriale normato. Cap. 4. Spazi di Hilbert 1. Dopo aver dato la definizione di spazio vettoriale con prodotto scalare e norma indotta dal prodotto scalare, si enuncino la disuguaglianza di Cauchy- Schwartz e l uguaglianza del parallelogramma. Si dia la definizione di spazio pre-hilbertiano e spazio di Hilbert, e si facciano esempi di spazi di Hilbert e di spazi pre-hilbertiani che non sono di Hilbert. 2. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. 3. Dopo aver richiamato la definizione di spazio di Hilbert e di sistema ortonormale (finito), enunciare il teorema della proiezione su un sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert. Dare quindi la definizione di sistema ortonormale (s.o.n.) numerabile e di serie di Fourier, in uno spazio di Hilbert, rispetto a un fissato s.o.n. numerabile. Mostrare come dal teorema della proiezione seguono la disuguaglianza di Bessel e la convergenza delle serie di Fourier (a un elemento dello spazio). Infine, dare la definizione di sistema ortonormale completo (s.o.n.c.) in uno spazio di Hilbert e enunciare con precisione il teorema che riguarda la trasformata e le serie di Fourier in uno spazio di Hilbert, rispetto a un fissato s.o.n.c. Cap. 5. La trasformata di Fourier in R n 1. Dare la definizione di trasformata di Fourier di una funzione L 1 (R n ). Quindi, enunciare con precisione e dimostrare le sue proprietà che riguardano: la trasformata come operatore lineare continuo tra opportuni spazi; trasformata della derivata; derivata della trasformata (è richiesta la dimostrazione solo nel caso di derivata prima e funzioni di una variabile, ma enunciare il teorema nel caso più generale). 2. Dare la definizione di trasformata di Fourier di una funzione L 1 (R n ). Quindi, enunciare con precisione e dimostrare le sue proprietà che riguardano: 3

4 trasformata della convoluzione; identità che coinvolge fĝ; trasformata e dilatazioni; trasformata e traslazioni. 3. Dare la definizione di trasformata di Fourier di una funzione L 1 (R n ). Quindi, dopo aver enunciato con precisione le proprietà che riguardano la trasformata della derivata e la derivata della trasformata (per funzioni di una variabile), utilizzarle per calcolare esplicitamente la trasformata di Fourier della gaussiana e x2. Mostrare come da questo risultato si deduce la trasformata della gaussiana in n-variabili, e x 2 per x R n. Infine, utilizzando le formule per la trasformata della dilatazione, dedurre la trasformata di e a x 2 per a > 0 e x R n. 4. Dare la definizione di trasformata di Fourier di una funzione L 1 (R n ) e dimostrare che è un operatore lineare continuo tra opportuni spazi di funzioni. Quindi enunciare con precisione il teorema di inversione per la trasformata di Fourier su L 1 (R n ) e fare esempi e contresempi di funzioni L 1 (R) per cui si può o non si può applicare. Infine, discutere le conseguenze del teorema di inversione viste nel corso. 5. Dopo aver definito lo spazio S (R n ) delle funzioni a decrescenza rapida, enunciare e dimostrare (nel caso unidimensionale) le proprietà di questo spazio rilevanti dal punto di vista della teoria della trasformata di Fourier. 6. La trasformata di Fourier in L 2 : dopo aver definito lo spazio S (R n ) delle funzioni a decrescenza rapida e averne enunciato le proprietà rilevanti dal punto di vista della teoria della trasformata di Fourier (senza dimostrazione), dimostrare come, sfruttando queste proprietà, è possibile definire la trasformata di Fourier di una funzione L 2 (R n ). Quindi enunciare con precisione le principali proprietà della trasformata di Fourier su L 2 (R n ) e dimostrarle. 7. Dopo aver richiamato il modo in cui si definisce la trasformata di Fourier di una funzione L 2 (R n ) a partire dalla trasformata di Fourier di funzioni S (R n ), enunciare la formula esplicita (integrale) per il calcolo della trasformata di Fourier di una funzione L 2 (R n ) che non appartiene a L 1 (R n ) e dimostrarla. 8. Enunciare e dimostrare il principio di indeterminazione di Heisenberg nella versione incontrata in questo corso, relativo alla trasformata di Fourier di funzioni a decrescenza rapida, e verificare che per le funzioni gaussiane e πx2 nella disuguaglianza vale il segno di uguale. Cap. 6. Trasformata di Laplace e applicazioni 1. Dare la definizione di funzione L-trasformabile, ascissa di convergenza, semipiano di convergenza, trasformata di Laplace. Quindi, mostrare la relazione fra trasformata di Laplace e trasformata di Fourier, e dimostrare l iniettività della trasformata di Laplace. 2. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione le proprietà della trasformata di Laplace di una funzione (comportamento all infinito, derivabilità, formula delle derivate della trasformata), e dimostrarle (per le derivate, dimostrare solo la formula per la derivata prima). 4

5 3. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della primitiva di una funzione, della derivata e derivata n- esima di una funzione. 4. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della convoluzione, la formula del t-shift e dell s-shift per la L-trasformata. Cap. 7. Teoria delle distribuzioni 1. Lo spazio di distribuzioni D (Ω) (con Ω aperto di R n o tutto R n ): definirlo (richiamando anche la definizione precisa dello spazio di funzioni test e della convergenza di successioni in questo spazio), fare esempi di classi di distribuzioni, dimostrando che quelle definite sono effettivamente distribuzioni. Mostrare in particolare in che senso il concetto di distribuzione generalizza quello di funzione e quello di misura. 2. Derivata di una distribuzione T D (R). Arrivare alla definizione di questo concetto in modo che nel caso particolare di distribuzioni indotte da funzioni C 1 (R) la derivata distribuzionale coincida con la derivata classica e dimostrare che la derivata di una distribuzione è effettivamente una distribuzione. Mostrare poi come dalla definizione segue la formula di calcolo per la derivata n-esima di una distribuzione. Infine, mostrare come il discorso precedente si generalizza a distribuzioni D (Ω) (con Ω aperto di R n o tutto R n ). 3. Dopo aver richiamato la definizione di derivata di una distribuzione in D (R), ricavare (con i calcoli dettagliati) la derivata distribuzionale delle funzioni x e u (x) (gradino) in D (R). Enunciare poi con precisione il teorema che mostra come si calcola la derivata distribuzionale di una funzione regolare a tratti che presenta qualche punto angoloso, oppure di cuspide, oppure di discontinuità a salto. 4. Le operazioni di traslazione, dilatazione, riflessione, moltiplicazione per una funzione, di una distribuzione in D (R): mostrare come si arriva alle definizioni di queste operazioni in modo che siano un estensione degli analoghi concetti per le funzioni. Esemplificare poi queste operazioni nel caso della distribuzione T = δ x0 con x 0 R. 5. Le formule di derivazione per la traslata, dilatata, riflessa di una distribuzione T e per il prodotto gt con g funzione regolare: enunciarle e dimostrarle. 6. Discutere il problema di definire la convoluzione di due distribuzioni in modo da estendere la definizione di convoluzione di funzioni e mostrare come si arriva alla definizione di distribuzione a supporto compatto e di convoluzione di distribuzioni, sotto opportune ipotesi. Fare esempi di classi di distribuzioni a supporto compatto. Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivata della convoluzione distribuzionale e sulla convoluzione di una distribuzione con la δ di Dirac. (E suffi ciente trattare il caso unidimensionale, cioè funzioni di 5

6 una variabile). Infine, illustrare l utilizzo dei risultati precedenti in relazione al concetto di soluzione fondamentale dell operatore di Laplace in R Discutere il problema di definire la trasformata di Fourier di una distribuzione e mostrare come si arriva a restringere l insieme delle distribuzioni. Dare la definizione di convergenza nello spazio di Schwartz delle funzioni a decrescenza rapida e la definizione di distribuzione temperata. Fare esempi di classi di distribuzioni temperate e enunciare il risultato sulla chiusura dello spazio delle distribuzioni temperate rispetto a varie operazioni. Infine, dare la definizione di trasformata di Fourier di una distribuzione temperata. 8. Dopo aver richiamato la definizione di distribuzione temperata e trasformata di Fourier di una distribuzione temperata, enunciare il teorema sulle proprietà della trasformata di Fourier sullo spazio S (R) : trasformata della traslata, dilatata, del prodotto per un esponenziale complesso, della derivata; derivata della trasformata; trasformata di una (opportuna) convoluzione. In particolare, dimostrare le due relazioni che riguardano la trasformata della derivata e la derivata della trasformata. (E suffi ciente trattare il caso unidimensionale, cioè funzioni di una variabile). 9. Dopo aver richiamato la definizione di distribuzione temperata e trasformata di Fourier di una distribuzione temperata, dimostrare (con i calcoli dettagliati) come si calcolano le trasformate di Fourier di: delta di Dirac, esponenziale complesso, funzioni seno e coseno, funzione x k. (E suffi ciente trattare il caso unidimensionale, cioè funzioni di una variabile). 10. Dare la definizione di limite di una successione di distribuzioni, somma di una serie di distribuzioni, e fare esempi di queste operazioni. Dimostrare il risultato sullo scambio di limite (o serie) di distribuzioni e derivazione. Infine, dare la definizione di limite di una successione di distribuzioni temperate e dimostrare come da questa si dimostra lo scambio di limite (o serie) di distribuzioni temperate con l operatore trasformata di Fourier (ossia: dimostrare la continuità dell operatore trasformata di Fourier sullo spazio delle distribuzioni temperate). 11. Dopo aver richiamato la definizione di limite di una successione di distribuzioni temperate, e somma di una serie di distribuzioni temperate, definire il treno di impulsi e dimostrare che è una distribuzione temperata, ottenendolo come trasformata di un opportuna serie convergente di distribuzioni temperate. Quindi dimostrare la formula di calcolo della trasformata di Fourier del treno di impulsi 1, giustificando i passaggi citando gli opportuni risultati. Cap. 8. Applicazioni alla teoria dei filtri e del campionamento 1. Introdurre il concetto di filtro, dopo aver richiamato il concetto di sistema, le proprietà rilevanti (coinvolte nella definizione di filtro) che un sistema può avere o non avere, definendo con cura il quadro funzionale richiesto per ognuna delle proprietà. Quindi, enunciare il teorema fondamentale dei filtri. 6

7 2. Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale dei filtri, dopo aver richiamato le definizioni dei concetti coinvolti. 3. Dare la definizione di filtro causale (o realizzabile), e mostrare la relazione tra causalità del filtro e proprietà della sua funzione caratteristica. Dare la definizione di filtro ideale passa-basso o passa-alto, mostrare che questi filtri ideali non sono realizzabili. Fare esempi di funzioni di risposta del filtro in ampiezza che possono descrivere un filtro (reale, non ideale) passa-basso o passaalto. 4. Dimostrare che, in un circuito RC, il sistema che associa alla tensione di ingresso x (t) la tensione V (t) ai capi del condensatore, che soddisfa l equazione RCV (t) + V (t) = x (t), è: -un filtro; -un filtro realizzabile; -un filtro passa-basso, spiegando cosa significano le varie affermazioni. 5. Dimostrare che, in un circuito RC, il sistema che associa alla tensione di ingresso x (t) la tensione V (t) ai capi della resistenza, che soddisfa l equazione V (t) + V (t) RC = x (t), è: -un filtro; -un filtro realizzabile; -un filtro passa-alto, spiegando cosa significa. 5. Dopo aver brevemente introdotto il problema a cui risponde il Teorema di Shannon, enunciare e dimostrare questo teorema. 7