Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Appello 5. 6 settembre 2017 A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti

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Gaetana Guerra
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1 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Appello 5. 6 settembre 17 A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom 1 Dom Dom 3 Es 1 Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Dare la definizione di singolarità isolata di una funzione olomorfa, singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolarità essenziale e illustrare con esempi e contresempi ognuno di questi concetti. Quindi, enunciare e dimostrare il teorema di classificazione delle singolarità isolate mediante la serie bilatera. B. 6 punti. Mostrare come dalla prima formula integrale di Cauchy si deduce la formula integrale di Poisson per la soluzione del problema di Dirichlet per il laplaciano sul cerchio. C. 6 punti. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della primitiva di una funzione, della derivata e derivata n-esima di una funzione. D. 6 punti. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. 1

2 Svolgere i seguenti esercizi 1. 5 punti. Calcolare con metodi di analisi complessa l integrale reale: sin x I = x + x + 3 dx.. 5 punti. Si vuole calcolare la trasformata di Fourier di f x = x e x. a. Osservando la funzione f x, prima di eseguire qualsiasi calcolo, dire a quali spazi funzionali appartiene f e a quale apparterrà perciò f; cosa è possibile prevedere riguardo a f ξ in base alla teoria, riguardo ai seguenti punti: se f è reale, immaginaria pura, o nessuna delle due; se f è pari, dispari, o nessuna delle due; che regolarità avrà f; con che velocità tenderà a zero f. b. Calcolare quindi f, sfruttando opportunamente le proprietà studiate per semplificare i calcoli. iscrivere l espressione trovata per f ξ in forma semplificata. Dopo aver calcolato f ξ, darne una stima asintotica per ξ e confrontare con quanto previsto punti. Si consideri l equazione integrale di Volterra y t t 3e t τ sin 3 t τ y τ dτ = f t per t > con f assegnata e y incognita. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, ottenere una formula risolutiva esplicita per il generico termine noto f t, che si suppone L- trasformabile. b. Particolarizzare quindi la formula ottenuta al caso f t = e t, calcolando esplicitamente la soluzione in questo caso.

3 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Appello 5. 6 settembre 17 A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema A Dom 1 Dom Dom 3 Es 1 Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. 6 punti. Dare la definizione di singolarità isolata di una funzione olomorfa, singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolarità essenziale e illustrare con esempi e contresempi ognuno di questi concetti. Quindi, enunciare e dimostrare il teorema di classificazione delle singolarità isolate mediante la serie bilatera. [isposta: v. Dispensa 1 del corso,.6..] B. 6 punti. Mostrare come dalla prima formula integrale di Cauchy si deduce la formula integrale di Poisson per la soluzione del problema di Dirichlet per il laplaciano sul cerchio. [isposta: v. Dispensa 1 del corso,.5.3.] C. 6 punti. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della primitiva di una funzione, della derivata e derivata n-esima di una funzione. [isposta: v. Dispensa del corso, 3.] D. 6 punti. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. [isposta: v. Dispensa del corso, ] 3

4 Svolgere i seguenti esercizi 1. 5 punti. Calcolare con metodi di analisi complessa l integrale reale: sin x I = x + x + 3 dx. Si ha: e ix I = Im x + x + 3 dx quindi calcoliamo prima quest ultimo integrale. Poiché f x = 1 x + x + 3 è una funzione razionale con denominatore mai nullo in, f x tende a zero all infinito, e f z ha poli del prim ordine per per i metodi dei residui si ha e ix x dx = πi es + x + 3 = πi = π z = 1 ± i, e iz z + z + 3, 1 + i e iz e i 1+i z + z + 3 = πi /z= 1+i i e i = π e cos 1 i sin 1. Perciò π I = Im e cos 1 i sin 1 = π e sin punti. Si vuole calcolare la trasformata di Fourier di f x = x e x. a. Osservando la funzione f x, prima di eseguire qualsiasi calcolo, dire a quali spazi funzionali appartiene f e a quale apparterrà perciò f; cosa è possibile prevedere riguardo a f ξ in base alla teoria, riguardo ai seguenti punti: se f è reale, immaginaria pura, o nessuna delle due; se f è pari, dispari, o nessuna delle due; che regolarità avrà f; con che velocità tenderà a zero f. b. Calcolare quindi f, sfruttando opportunamente le proprietà studiate per semplificare i calcoli. iscrivere l espressione trovata per f ξ in forma semplificata. Dopo aver calcolato f ξ, darne una stima asintotica per ξ e confrontare con quanto previsto. 4

5 a. f L 1 L, quindi sarà f C L ; f è reale pari, perciò f sarà reale e pari; f C con f regolare a tratti, ma non è C 3, quindi f tenderà a zero all infinito o 1/x 3 ; f tende a zero più rapidamente di ogni potenza, perciò f sarà C. b. Sia prima e calcoliamo ĝ ξ = g x = e x e x e πixξ dx = + [ x πξ sin πxξ cos πxξ = e 1 + 4π ξ = 1 + 4π ξ. e x cos πxξ dx ] + Ora sfruttiamo la relazione: f ξ = F x g x 1 ξ = πi ĝ ξ = 1 [ 4π 1 + 4π ξ [ ] [ ] = 1 8π ξ ξ π 1 + 4π ξ = π ξ [ 1 + 4π ξ ξ 1 + 4π ξ ] 8π ξ = π ξ 4 1 1π ξ = π ξ 3 Per ξ, f ξ 4 1π ξ = c 4π ξ 3 ξ = o 4 1 ξ punti. Si consideri l equazione integrale di Volterra y t t 3e t τ sin 3 t τ y τ dτ = f t per t > con f assegnata e y incognita. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, ottenere una formula risolutiva esplicita per il generico termine noto f t, che si suppone L- trasformabile. b. Particolarizzare quindi la formula ottenuta al caso f t = e t, calcolando esplicitamente la soluzione in questo caso.. ] 5

6 a. Applichiamo la trasformata di Laplace. Si ha: Y s L 3e t sin 3t s Y s = F s 3 Y s 3 s + 1 Y s = F s + 9 s + s + 1 Y s s = F s + s + 1 s + s + 1 Y s = F s s + s Y s = F s 1 + s e poiché = L 9te t s si ha: s+1 y t = f t + b. Per f t = e t si ha t Y s = F s + F s 9 t τ e t τ f τ dτ. t y t = e t + 9e t t τ dτ = e t t 9 s + 1 6

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