Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti sulle funzioni di variabile complessa (2)

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1 Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 16/17 Esercii svolti sulle funioni di variabile complessa ) Marco Bramanti Politecnico di Milano November 4, 16 Calcolo di integrali in C mediante la definiione, i teoremi integrali di Cauchy, o il teorema fondamentale del calcolo integrale. Nel seguito usiamo i seguenti simboli per indicare curve notevoli: il simbolo r ) denota la circonferena = + re it, t [, π] ; il simbolo + r ) denota la semicirconferena = + re it, t [, π] ; il simbolo [ 1, ] denota il segmento = 1 + t 1 ), t [, 1]. A. Calcolare i seguenti integrali di linea nel campo complesso, in base alla definiione. Eserciio 1 Eserciio Eserciio 3 R ) ) k per k = 1,, 3... R ) + R ). dove è la funione radice quadrata principale. Eserciio 4 11). 1

2 Eserciio 5 Eserciio 6 con = [ 1, 1] [1, i] [i, 1].. + R ) ) B. Utiliando anche, se è possibile e utile, il teorema di Cauchy dell integrale nullo, oppure il concetto di primitiva nel campo complesso, calcolare nel modo più semplice i seguenti integrali: Eserciio 7 Eserciio 8 Eserciio 9 con = [ i, 1] 1 + ). e. R ) e. + 1 ) Eserciio 1 1) dove è la funione radice quadrata principale. Eserciio 11 Eserciio 1 1) + e +i)/+3i)). Log ) con t) = e it, t [ π, π ] e Log la funione logaritmo principale.

3 C. Calcolare i seguenti integrali utiliando di volta in volta il procedimento corretto!) più semplice: calcolo mediante la definiione, teorema di Cauchy dell integrale nullo, prima o seconda formula integrale di Cauchy. Eserciio 13 Eserciio 14 Eserciio 15 Eserciio 16 Eserciio 17 Eserciio 18 Eserciio 19 1 i) ) 1) 1i) 1) e + 4). e i. e 1) 3. 1) 1i) ). + 4). 3

4 Svolgimenti Eserciio 1 R ) ) k per k = 1,, 3... R ) : = R e it, t [, π] ; = R ie it dt = R e it ; R ) ) k = π π R k e ikt R ie it dt = ir k+1 e it1 k) dt = { se k 1 πir se k = 1. Eserciio R ) Rientra nell eserciio precedente per k = 1 il calcolo fatto vale anche per interi negativi), l integrale è ero. Eserciio 3 + R ). dove è la funione radice quadrata principale. + R ) : = R eit, t [, π] ; = R ie it dt = Re it/ + R ) = π π Re it/ R ie it dt = ir 3/ e i3t/ dt = ir 3/ [ 3i ei3t/ ] π = 3 R3/ 1 i). Eserciio 4 11). 1 1) : = 1 + e it, t [, π] ; = ie it dt = 1 + cos t) + i sin t = 1 + cos t) + sin t = + cos t 11) = = i π { π 1 + cos t) ie it dt e it dt + π = i { + π + i } = πi. cos t + i cos t sin t ) } dt 4

5 Eserciio 5 + R ). + R ) : = R eit, t [, π] ; = R ie it dt = R + R ) = π π [ e R R ie it dt = ir 3 e it dt = ir 3 it i ] π = R 3 1 1) = R 3. Eserciio 6 con = [ 1, 1] [1, i] [i, 1]. [ 1, 1] : = t [ 1, 1] ; = dt [ 1,1] ) = ) 1 1 t dt = 3. [1, i] : = 1 + t i 1), t [, 1] ; = i 1) dt; = 1 t) ti [1,i] ) = = 1 1 = i 1) = i 1) 1 t) ti) i 1) dt ) 1 t) t ti 1 t) i 1) dt 1 t i t 1 + i) + 1 ) dt [ 3 t3 i t 1 + i) + t = 1 3 i i 1) = i). 3 ] 1 [ ] = i 1) i 1 + i) Eserciio 7 R ) e. L integrale è nullo perché la funione è olomorfa in tutto C e l integrale è esteso a un circuito. Eserciio ) e. 5

6 Il cammino di integraione non è un circuito; ha estremi ) = 1, π) = 1; una primitiva dell integranda è F ) = e, perciò + 1 ) e = F 1) F 1) = 1 e e. Eserciio 9 con = [ i, 1] 1 + ). Il cammino di integraione non è un circuito; ha estremi i, 1; una primitiva dell integranda è F ) = 3 3, perciò = F 1) F i) = 1 3 i)3 = i 3. Eserciio 1 1) dove è la funione radice quadrata principale. Notiamo che il circuito 1 ) è contenuto nella regione Re > in cui è olomorfa, quindi per il teorema di Cauchy l integrale è nullo. Eserciio 11 1) + e +i)/+3i)). 1) + e +i)/+3i)) = + e +i)/+3i). 1) 1) La funione f ) = e +i)/+3i) è olomorfa in C \ { 3i}, che contiene 1 ) e il suo interno, perciò il secondo integrale è nullo per il teorema di Cauchy. = = 1) perché l integranda 1 è olomorfa. Eserciio 1 1) Log ) con t) = e it, t e Log la funione logaritmo principale. Ricordiamo che Log ) = ln + i Arg. [ π, π ] 6

7 Log ) = π π [ te it = i Log e it) ie it dt = ] π π π + π π π π itie it dt = te it dt π e it i dt = π π ) [ e it] π π = i. Eserciio 13 1 i) e + 4). e + 4) = e i) + i) = f ) + i) con f ) = e i), olomorfa all interno di 1 i). Per la formula integrale di Cauchy, allora e e i πe i = πif i) = πi + 4) 4i) =. 1 i) Eserciio 14 1) e i = 1) 1) e i. Per la seconda formula integrale di Cauchy, f ) = 1 πi f ) = ie i f ) con f ) = ei olomorfa. 1) f ), quindi Eserciio 15 ) 1) e i = πif ) = π. ) e 1) 3. e 1) 3 = ) f ) = e olomorfa f ) 3 con 1) 7

8 e poiché il punto = 1 è interno a ), per la seconda formula integrale di Cauchy, f ) πi ) 1) 3 = f 1), f ) = e da cui ) e 1) 3 = πif 1) = πei. Eserciio 16 1i) 1i) = f ) con 1i) i f x) = 1 + i olomorfa all interno di 1 i). Per la prima formula integrale di Cauchy, 1 f ) = f i), πi i 1i) da cui 1i) + 1 = πif i) = πi 1 i = π. Eserciio 17 1). L integranda non è olomorfa e non ha una primitiva evidente, quindi calcoliamo l integrale in base alla definiione. 1 ) : = e it, t [, π] ; = ie it dt, per periodicità. 1) π = e it e it ie it dt = i π e it dt = Eserciio ) 1) = ). = + 1 su 1 ). 8

9 Calcoliamo dalla definiione. 1 ) : = e it, t [, π] ; = ie it dt, 1) + 1 π = e it + 1 e it ie it dt = i π dove l integrale di e it è nullo per periodicità. e it + 1 ) π dt = i dt = πi, Eserciio 19 1i) + 4). 1i) + 4) = f ) con 1i) i) 1 f ) = + i), olomorfa all interno di 1 i), perciò per la seconda formula integrale di Cauchy, 1 f ) πi 1i) i) = f i), f ) = + i) 3, 1i) + 4) = πif i) = πi 4i) 3 = π 16. 9