ANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 17 gennaio Soluzioni compito 1

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1 ANALISI MATEMATICA II Sapiena Univerità di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Eame del 7 gennaio 07 - Soluioni compito E Calcolare il eguente integrale di funione di variabile reale con i metodi della variabile complea Vale co x = Ree ix ) Scriviamo perciò cox) x 4)x ) dx co x x 4)x ) dx = Re R e ix ) x 4)x ) dx Per calcolare l integrale a valore principale e ix R x 4)x) dx chiamiamo ora f) = e i 4)) l etenione complea dell integranda La funione f) ha ingolarità per gli eri del denominatore, cioè 0 =, = i e = i, tutti poli emplici Utiliando il lemma di Jordan, il teorema dei reidui per la ingolarità a parte immaginaria poitiva e il lemma del polo emplice per la ingolarità 0 i trova e ix ) x 4)x ) dx = π i ref), ) π i ref), 0 ) = πi e 8 4i) e i, 80 vito che i due reidui valgono e i ref), ) = i) ) = e ii 4i i) = e 8 4i = e 8 4i) ; 80 ref), 0 ) = ei = e i = co ) i en ) = co) i en ) L integrale cercato vale allora )) co x x dx = Re πi e 8 4i) e i = π ) 4)x ) 80 0 e en E Dire in quale regione del piano compleo converge la eguente erie di Laurent e calcolarne la omma k= k i) k Speando la parte regolare e quella ingolare i trova, e cambiando nella econda gli indici k in m k=0 ) k i k= k i) k = k=0 Poiamo riconocere due erie geometriche, la prima di ragione ) k i m= m i) m i e la econda di ragione i)

2 Riguardo la parte regolare, il dico di convergena i può trovare imponendo la condiione, che ci dà convergena per < i = 0 Per la parte ingolare chiediamo invece i) che ci dà la condiione > i = 0 La erie di Laurent converge allora nella corona intereione dei due iniemi di convergena C 0, 0 0) = { C : < < } 0 0 < <, In queto inieme la erie ha allora per omma la omma della parte regolare e di quella della parte regolare, per cui troviamo: k= k i) k = i i) i) E Calcolare il egnale yt) che riolve il eguente problema y t) t 0 yτ) dτ = t 0 y0) = 0 y 0) = Traformando entrambi i membri i trova Quindi troviamo la Y ) come ) Y ) = Y ) Y ) = i i i), C 0, 0 0) = Y ) = = ) ) =, dove = e i π = i e = e i 4 π = i Gli eri del denominatore ono infatti le tre radici cubiche dell unità: 0 = oltre e appena dette Per invertire Y ) poiamo utiliare i reidui e t ) rebig ) ), = lim e t ) ) ) = e i e t ) re ) ), = lim ) ) ) = e i Troviamo quindi yt) come omma dei due reidui calcolati: e yt) = e t i t e i i e t t ) i i )t )t ) = e t en t = e t = e t e i t i i ; e i t i

3 D i) Definiione di ero di una funione analitica f) e di ordine di uno ero Definiione di punto ingolare iolato di una funione analitica f) Facoltativo: Claificaione dei punti ingolari di una funione f) ii) Dire per quali valori di h Z Z interi relativi) la funione f) definita da f) = en h ) ha in 0 = 0 un punto ingolare Per i valori di h trovati, pecificare il tipo di punto ingolare e calcolare il reiduo di f) nel punto 0 = 0 Dire per quali valori di h la funione f) ha uno ero, pecificandone l ordine ii) Per i valori h < 0 la funione f) ha in 0 una ingolarità eeniale viluppo del eno e la otituione h = k > 0 i trova la crittura Infatti utiliando lo f) = ) n h ) n) n )! n=0 = ) n k ) n) n )! n=0 che ha infiniti termini ingolari con coefficiente non nullo Oervando che il coefficiente c del termine di grado è empre uguale a ero i conclude che il reiduo di f) in 0 in queti cai è empre nullo Per h = 0 la funione è f) = en, ne egue che la funione ha in queto cao un polo emplice in 0, e il reiduo in 0 è en Per i valori h > 0, otituendo lo viluppo di en h = n 0, troviamo lo viluppo n )! ) n hn) f) = Se ne egue che in queti cai 0 = 0 è una ingolarità eliminabile n )! n 0 Dallo viluppo i vede inoltre che in queti cai il prolungamento analitico della funione in 0 ha ) n hn) uno ero di ordine h D i) Definire quando una funione f generalmente continua e π-periodica è ommabile e quando è di quadrato ommabile in un intervallo di periodicità Dimotrare che e f è di quadrato ommabile, allora è ommabile Facoltativo: Provare con un eempio che non vale il vicevera

4 ii)data la funione ft) periodica di periodo π e definita in [0, π) come e t t 0, π) en t t π, π) ft) = a t = 0 b t = π con a e b parametri reali, determinare i valori di a e b in modo che la erie di Fourier di ft) converga ad ft) in ogni punto t R i) Facoltativo È ufficiente coniderare ft) definita ull intervallo [0, π] come t α, per < α < ii) La funione è regolare a tratti Utiliando il teorema di convergena puntuale ulla erie di Fourier, bata prendere a = f0 ) f0 ) = fπ ) f0 ) b = fπ ) fπ ) per ottenere convergena puntuale ad f t R = eπ = e0 = 4

5 ANALISI MATEMATICA II Sapiena Univerità di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Eame del 7 gennaio 07 - Soluioni compito E Calcolare il eguente integrale di funione di variabile reale con i metodi della variabile complea Vale en x = Ime ix ) Scriviamo perciò en x) x )x ) dx en x x )x ) dx = Im R e ix ) x )x ) dx Per calcolare l integrale a valore principale e ix R x )x ) dx chiamiamo ora f) = e i ) ) l etenione complea dell integranda La funione f) ha ingolarità per gli eri del denominatore ) ), cioè 0 =, = i e = i, tutti poli emplici Utiliando il lemma di Jordan, il teorema dei reidui per la ingolarità a parte immaginaria poitiva e il lemma del polo emplice per la ingolarità 0 i trova e ix x )x ) dx = π i ref), ) π i ref), 0 ) = πi vito che i due reidui valgono ref), ) = e i i) ) = e i ii ) = ref), 0 ) = ei 0 0 = ei L integrale cercato vale allora en x) x dx = Im πi e 4i) )x ) 0 e 4i) 0 e 4i = e 4i) 0 co i en = )) ei = π ) e co ; ) ei, E omma Dire in quale regione del piano compleo converge la eguente erie di Laurent e calcolarne la k= k i) k Speando la parte regolare e quella ingolare i trova, e cambiando nella econda gli indici k in m k=0 ) k i k= k i) k = k=0 Poiamo riconocere due erie geometriche, la prima di ragione ) k i m= m i) m i e la econda di ragione i)

6 Riguardo la parte regolare, il dico di convergena i può trovare imponendo la condiione i <, che ci dà convergena per < i = Per la parte ingolare chiediamo invece <, che i) ci dà la condiione > i = La erie di Laurent converge allora nella corona intereione dei due iniemi di convergena C, 0) = { C : < < } In queto inieme la erie ha allora per omma la omma della parte regolare e di quella della parte regolare, per cui troviamo: k= k i) k = i i) i) E Calcolare il egnale yt) che riolve il eguente problema y t) t 0 yτ) dτ = t 0 y0) = 0 y 0) = Traformando entrambi i membri i trova Quindi troviamo la Y ) come ) Y ) = Y ) Y ) = i i i), C, 0) = Y ) = = ) ) =, dove = e i π = i e = e i π = i Gli eri del denominatore ono infatti le tre radici cubiche di : 0 = oltre e appena dette Per invertire Y ) poiamo utiliare i reidui e t ) re ) ), e t ) re ) ), e t i = lim ) ) ) = e i = lim ) ) ) = e i Troviamo quindi yt) come omma dei due reidui calcolati: e yt) = e t i t e i i t e t ) i )t )t ) = e t en t = e t = e t e i t i ; e i t i 6

7 D i) Definiione di ero di una funione analitica f) e di ordine di uno ero Definiione di punto ingolare iolato di una funione analitica f) Facoltativo: Claificaione dei punti ingolari di una funione f) ii) Dire per quali valori di h Z Z interi relativi) la funione f) definita da f) = co h )) ha in 0 = 0 un punto ingolare Per i valori di h trovati, pecificare il tipo di punto ingolare e calcolare il reiduo di f) nel punto 0 = 0 Dire per quali valori di h la funione f) ha uno ero, pecificandone l ordine ii) Per i valori h < 0 la funione f) ha in 0 una ingolarità eeniale viluppo del coeno e la otituione h = k > 0 i trova la crittura Infatti utiliando lo f) = ) n h ) n) n)! n= = ) n kn n)! n= che ha infiniti termini ingolari con coefficiente non nullo Oervando che il coefficiente c del termine di grado è empre uguale a ero i conclude che il reiduo di f) in 0 in queti cai è empre nullo Per h = 0 la funione è f) = co ), ne egue che la funione ha in queto cao un polo emplice in 0, e il reiduo in 0 è co Per i valori h > 0, otituendo lo viluppo di co = ) n h ) n), troviamo lo viluppo n)! n= n hn f) = ) n)! Se ne egue che in queti cai 0 = 0 è una ingolarità eliminabile n= Dallo viluppo i vede inoltre che in queti cai il prolungamento analitico della funione in 0 ha uno ero di ordine h D i) Definire quando una funione f generalmente continua e π-periodica è ommabile e quando è di quadrato ommabile in un intervallo di periodicità Dimotrare che e f è di quadrato ommabile, allora è ommabile Facoltativo: Provare con un eempio che non vale il vicevera 7

8 ii)data la funione ft) periodica di periodo π e definita in [0, π) come t t 0, π) co t t π, π) ft) = a t = 0 b t = π con a e b parametri reali, determinare i valori di a e b in modo che la erie di Fourier di ft) converga ad ft) in ogni punto t R i) Facoltativo È ufficiente coniderare ft) definita ull intervallo [0, π] come t α, per < α < ii) La funione è regolare a tratti Utiliando il teorema di convergena puntuale ulla erie di Fourier, bata prendere a = f0 ) f0 ) = fπ ) f0 ) b = fπ ) fπ ) per ottenere convergena puntuale ad f t R = π = 0 = 8