Introduzione. Esempio di costruzione one del contorno delle radici. Esempio... 4

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1 Appunti di Controlli Automatici 1 Capitolo 5 parte II Il contorno delle radici Introduzione... 1 Eempio di cotruzione del contorno delle radici... 1 Eempio... 4 Introduzione Il procedimento per la cotruzione del luogo delle radici i può applicare anche quando, invece di variare la cotante di guadagno, i varia qualche altro parametro della funzione di traferimento del itema, come ad eempio la cotante di tempo relativa ad un polo oppure quella relativa ad uno zero reale. Il tracciato decritto nel piano compleo dalle radici dell equazione caratteritica al variare del parametro i dice contorno delle radici. Queta denominazione trae origine dal fatto che, come vedremo, e oltre alla cotante di guadagno i fa variare un altro parametro, in più o in meno ripetto al valore nominale, i ottiene una famiglia di curve che contorna il luogo delle radici appoggiandoi ad eo. In generale, è poibile far variare un qualiai altro parametro del itema divero dal guadagno, a patto però che uno o più coefficienti dell equazione caratteritica riultino funzioni lineari di tale parametro: in particolare, i deve poter porre l equazione caratteritica nella forma a () = p() + 1q() + r() = dove 1 e ono due parametri ripetto ai quali i intende determinare il contorno delle radici. Nei cai più claici, 1 è la cotante di guadagno, mentre è un qualiai altro parametro del itema coniderato. La cotruzione del contorno delle radici è utile per la determinazione dei valori ottimi dei più importanti parametri delle reti correttrici. Eempio di cotruzione one del contorno delle radici Al fine di comprendere come i cotruice il contorno delle radici di un itema, facciamo riferimento ad un eempio concreto. Conideriamo perciò un itema avente la eguente funzione di traferimento in anello aperto: G() = a> ( + a)

2 Appunti di Controlli Automatici Capitolo 5 (parte II) L equazione caratteritica del itema è ( + a) + = + a + = Se tudiamo come variano le radici di queta equazione al variare di, otteniamo il luogo delle radici del itema. Se, invece, tudiamo come variano le uddette radici al variare del polo =-a, allora otteniamo il contorno delle radici del itema ripetto a tale polo. Al fine di cotruire queto contorno, i parte determinando il luogo delle radici del itema ottenuto da quello di partenza ponendo a=. Sotto queta ipotei, la funzione di traferimento in anello aperto del itema è, per cui i tratta di un itema privo di zeri e con un polo doppio nell origine. Il luogo delle radici di un iffatto itema è quello riportato nella figura eguente: A queto punto, fiiamo arbitrariamente un valore del guadagno, che indichiamo con. In corripondenza di queto valore di, il itema preenta due poli il cui valore è facilmente ricavabile dall equazione caratteritica del itema, da riolvere ponendo appunto =: = p + = p 1 = j = j p 1 p Riconideriamo ora l equazione caratteritica + a + = del itema di partenza: e fiiamo =, le radici di queta equazione variano al variare di a. Scriviamo allora l equazione nella forma

3 Il contorno delle radici 1+ a = + A ben vedere, queta equazione è nella claica formula 1+ G()=, per cui poiamo coniderarla come l equazione caratteritica di un itema avente funzione di traferimento in anello aperto ag () = a a> + Ciò ignifica che poiamo determinare il luogo delle radici di tale itema, oia il modo con cui le radici dell equazione 1+ a = variano al variare del + parametro a (ovviamente per = fiato). Dobbiamo dunque determinare il luogo delle radici del itema avente funzione di traferimento in anello aperto ag(). I poli di queto itema ono evidentemente gli tei riportati nell ultima figura e ad ei i aggiunge uno zero nell origine: p 1 p Il luogo delle radici corripondente a queta mappa i individua abbatanza facilmente e riulta eere il eguente: Queto è dunque il luogo delle radici per = ed al variare del polo =-a (con a>). A queto punto, cegliamo un altro valore di in corripondenza del quale determinare nuovamente il uddetto luogo. Per eempio, e prendiamo =>, è facile accorgeri che il nuovo luogo è fatto nel modo eguente:

4 Appunti di Controlli Automatici Capitolo 5 (parte II) Mentre il ramo ituato ull ae reale rimane invariato, la emicirconferenza che decrive il movimento dei poli complei coniugati è adeo a raggio maggiore. In modo del tutto analogo, e prendiamo un valore di inferiore a, otteniamo una emicirconferenza di raggio inferiore a quella ottenuta per : In definitiva, quindi, abbiamo tracciato il contorno delle radici per il itema G() = in eame, ripetto al polo =-a. Tale contorno può eere fruttato ( + a) nel modo eguente: fiato un qualiai punto u tale contorno, poiamo immediatamente determinare il corripondente valore di e il corripondente valore di a: il valore di lo otteniamo in quanto le curve del contorno ono parametrizzate, oia ciacuna di ee è aociata ad un precio valore di ; una volta individuato queto, mediante una emplice operazione di taratura del luogo, iamo in grado di determinare il valore di a> corripondente ad. Eempio Partendo dallo teo itema coniderato nel paragrafo precedente, introduciamo un nuovo polo nella funzione di traferimento: L equazione caratteritica del itema è G() = ( + a)( + 1) a>, > 4

5 Il contorno delle radici ( + a)( + 1) + = + (a + 1) + a + = Per tracciare il contorno delle radici ripetto al parametro a, dobbiamo prima aicurarci che uno o più coefficienti di queta equazione caratteritica iano funzioni lineari del parametro teo: dobbiamo cioè poter porre l equazione in una forma del tipo a () = p() + 1q() + r() =. Nel notro cao, poiamo ricrivere l equazione nella forma ( + 1) + a( + 1) + = e quindi deduciamo che poiamo tracciare il contorno. Coì come abbiamo fatto nell eempio precedente, cominciamo determinando il luogo delle radici del itema ottenuto da quello di partenza ponendo a=. La funzione di traferimento in anello aperto di queto itema è dunque ( + 1) Si tratta di un itema privo di zeri e con tre poli (di cui uno in 1 ed uno doppio nell origine): -1 Dobbiamo determinare il luogo delle radici di queto itema. A parte l ormai nota immetria ripetto all ae reale, poiamo immediatamente tracciare il ramo che parte da =-1 e termina all infinito poggiato ull ae reale negativo. Dobbiamo poi determinare gli altri due rami, tendenti anch ei all infinito: il centroide riulta eere nel punto σ C= 1/, mentre i due aintoti formano con l ae reale angoli, ripettivamente, di π/ e 5π/: 5

6 Appunti di Controlli Automatici Capitolo 5 (parte II) A queto punto, per tracciare i due rami, dobbiamo olo capire e ei entrano nel emipiano initro oppure no. Per decidere queto, poiamo utilizzare il criterio di Routh, al fine di verificare e eite qualche valore di tale che tutti e tre i poli del itema riultino a parte reale negativa: l equazione caratteritica (ottenuta da quella del itema di partenza ponendo a=) è + + =, per cui la tabella di Routh riulta eere Si oerva, allora, che, per qualiai valore di >, c è una ola permanenza di egno, dal che deduciamo che non ci ono mai tre radici nel emipiano initro, per cui il luogo arà enz altro del tipo eguente: Queto è dunque il luogo delle radici del itema ottenuto da quello di partenza per a=. A queto punto, fiiamo arbitrariamente un valore del guadagno : upponiamo ad eempio di prendere =1. Dobbiamo determinare i poli che il itema preenta in corripondenza di queto. Per determinare tali poli, ci ono due poibilità: il primo modo è quello di otituire =1 nell equazione caratteritica e di determinare le corripondenti radici: tuttavia, l equazione caratteritica + (a + 1) + a + = non è facilmente riolvibile per via analitica, per cui il metodo non è applicabile (coì come lo era tato, invece, nell eempio precedente). Il econdo modo è quello di procedere, per tentativi, nel modo eguente: fiiamo un punto di prova ul luogo determinato poco fa (conviene fiarlo ull ae reale) e procediamo ad una emplice taratura del luogo (mediante la relazione ui moduli) al fine di individuare il corripondente : avremo = + 1 Se queto valore di riulta maggiore di =1, andiamo a cegliere un punto più vicino, mentre, e riulta inferiore a =1, andiamo a cegliere un punto più lontano. Procedendo in queto modo, batano pochi tentativi per individuare il punto corretto. 6

7 Il contorno delle radici Supponiamo allora di aver portato a termine il procedimento appena decritto e di aver quindi individuato i tre poli p 1, p, p corripondenti a =1. Siano, ad eempio, quelli indicati nella figura eguente: p 1 p p A queto punto, riconideriamo l equazione caratteritica + (a + 1) + a + = del itema di partenza: fiando =1, poiamo porre l equazione nella forma ( + 1) 1+ a = ( + 1) + 1 Queta equazione è ancora una volta nella forma 1+ G()=, per cui poiamo coniderarla come l equazione caratteritica di un itema avente funzione di traferimento in anello aperto ( + 1) ag () = a a> ( + 1) + 1 Poiamo allora determinare il luogo delle radici di tale itema, oia il modo ( + 1) con cui le radici dell equazione 1+ a = variano al variare del parametro ( + 1) + 1 a (e per =1). I poli del nuovo itema in eame ono, ovviamente, quelli indicati nell ultima figura riportata e ad ei i aggiungono uno zero nell origine ed uno zero in =-1: p 1 p -1 p 7

8 Appunti di Controlli Automatici Capitolo 5 (parte II) Il luogo delle radici corripondente a queta mappa i traccia abbatanza facilmente e riulta eere il eguente: Queto è dunque il luogo delle radici per =1 ed al variare del polo =-a (con a>). Scegliamo adeo un altro valore di in corripondenza del quale determinare nuovamente il uddetto luogo. Per eempio, e prendiamo >1, il nuovo luogo corriponde emplicemente ad un allontanamento dei tre poli ripetto all origine (mentre rimane invariata la poizione degli zeri): In modo del tutto analogo i cotruice il luogo ottenuto per <1. andry@iol.it ito peronale: 8