Esercitazione di Controlli Automatici 1 n 6

Transcript

1 4 maggio 007 Eercitazione di Controlli Automatici n 6 a.a. 006/07 Si conideri il itema della eercitazione n 5 cotituito da un braccio robotico in rotazione, utilizzato per la movimentazione di oggetti. Il braccio, di lunghezza l = m e maa m b = kg, è azionato da un motore in corrente continua a magneti permanenti tipo D4M35, le cui caratteritiche ono allegate, a cui è tata aggiunta una bobina di pianamento con induttanza L = 50 mh. Il braccio deve movimentare dei pezzi, di maa m c = kg, effettuando delle rotazioni di 90 deg. Coniderando come ingreo la tenione di armatura del motore, come diturbo la coppia reitente e come ucita la poizione angolare del motore, la dinamica del itema elettromeccanico cotituente il proceo da controllare è caratterizzata dalla eguente truttura P ().36 = C r (t) () P() Q = Q() v a (t) + P() ω(t) / θ(t) Al fine di ottenere la reiezione completa del diturbo di coppia cotante i è celto lo chema di controllo in cacata eguente C () = 3 C r(t) r(t) + C () + C () v a (t) + P() ω(t) / θ(t) Verificare che lo chema di controllo celto oddifa le eguenti pecifiche di regime: poizione angolare a regime uguale al egnale di riferimento cotante; influenza del diturbo cotante di coppia, ulla poizione finale, nulla. Definire la funzione di traferimento del controllore C tale che iano oddifatte le eguenti pecifiche ul tranitorio: ovraelongazione aente; raggiungimento della poizione finale con un errore maimo del % entro 4 econdi. Verificare mediante imulazione che la tenione applicata v a (t) ia compatibile.

2 4 maggio 007

3 Eercitazione di Controlli Automatici n 6 a.a. 006/07 Soluzione eercitazione n 6 ) Verificare che lo chema di controllo oddifa le eguenti pecifiche a regime: Poizione angolare a regime uguale al egnale di riferimento cotante; Influenza del diturbo cotante di coppia, ulla poizione finale, nulla. La pecifica ull errore a regime nullo per un egnale di riferimento cotante è automaticamente oddifatta dal proceo che preenta un polo nell origine. L errore al diturbo cotante ulla coppia non è annullato dal polo del proceo in quanto eo interviene a monte dello teo. Scegliendo un controllore con un polo nell origine per l anello interno come quello propoto, ovvero: C () = 3 C r non è eattamente un gradino, ma contiene un termine proporzionale ad eo più un termine impulivo. Siccome a regime il diturbo riulta cotante la trattazione volta reta valida. viene oddifatta la pecifica ull errore ripetto al diturbo a gradino. Si fa notare che il diturbo ( ) ) Definire la funzione di traferimento del controllore C tale che iano oddifatte le eguenti pecifiche ul tranitorio: Sovraelongazione aente; Raggiungimento della poizione finale con un errore maimo del % entro 4 econdi. Come prima coa occorre ricavare l epreione della funzione di traferimento dell anello interno: P.36 = p = 0. p = C = 3 z = 0. 6 p = 0 utilizzando MATLAB Control Sytem Toolbox»P=tf(.36,[ ]);» C=tf(3*[6.5 ],[ 0]);» G=feedback(C*P,) CP G = = z = 0. 6 p 3 = C P p,3 = ± j6.4

4 Eercitazione di Controlli Automatici n 6 a.a. 006/07 Tracciando il luogo delle radici di C G con C = :» rlocu(g*tf(,[ 0])) 5 Root Locu 0 5 Imaginary Axi Real Axi Si oerva come la ola correzione tatica non ia ufficiente a oddifare le pecifiche in quanto per qualunque valore del guadagno i poli complei coniugati caueranno la preenza di una ovraelongazione. Si può inoltre notare come la coppia zero-polo in 0.6 riulti in una cancellazione imperfetta che però poiamo comunque coniderare valida. Ricapitolando, la pecifica ull aenza di ovraelongazione richiede che i poli della funzione di traferimento a ciclo chiuo iano tutti reali mentre la pecifica ul tempo di aetamento al % richiede che ei tiano a initra dell 4 acia α = = nel piano di Gau. Un modo per oddifare quete pecifiche è la intei per cancellazione, t a % ovvero progettare un controllore che cancelli la dinamica indeiderata del proceo e la otituica con un'altra che oddifi le pecifiche. In particolare occorrerà: C = k c ( j6.4)( j6.4) ( p )( p ) I due poli riolvere: p, p dovranno eere celti affinché il punto doppio tia a initra della acia. Per fare ciò occorre + p + p = 0 Non è neceario inerire i poli e gli zeri cancellati nell equazione per i punti doppi. Una celta dei poli che conente di avere un certo margine di icurezza è p = 6, p = 0 che conentono di avere un punto doppio in.43. Il luogo delle radici del itema completo di dinamica del controllore arà dunque:

5 Eercitazione di Controlli Automatici n 6 a.a. 006/07» C=zpk([ i i],[-6-0],)» rlocu(c*g*tf(,[ 0])) 0 Root Locu Imaginary Axi Real Axi Un punto del luogo delle radici che oddifa le pecifiche è quindi proprio il punto doppio che viene celto per comodità. Il guadagno del controllore può eere ricavato dalla taratura del luogo delle radici riolvendo l equazione: K c K = j j6.4 con =-.43, ovvero nel punto doppio. Riolvendo e dividendo per il K del proceo i ottiene K.. c 3) Verificare mediante imulazione che la tenione applicata Va(t) ia compatibile. Verificare che la tenione Va(t) ia compatibile ignifica verificare che l ingreo effettivo del motore elettrico vari entro i limiti tabiliti dal cotruttore. Per fare ciò utilizziamo Matlab Simulink. Il modello utilizzato è il eguente: Cr' Va Ingreo num() C 6.5+ C.36 den() G Integrator Poizione angolare

6 Eercitazione di Controlli Automatici n 6 a.a. 006/07 La ripota indiciale correttamente non preenta ovraelongazione e i aeta entro il tempo tabilito: La pecifica ulla Va può eere tradotta u una pecifica ulla tenione di picco che deve eere inferiore ad eempio alla tenione alla velocità nominale pari a 3 V. Dal grafico i oerva che avendo il cao peggiore di ingreo (ovvero pi/, ricordiamoci che vogliamo far compiere al braccio rotazioni di 90 ma l angolo è miurato in radianti):

7 Eercitazione di Controlli Automatici n 6 a.a. 006/07

8 Eercitazione di Controlli Automatici n 6 a.a. 006/07 Per ridurre la tenione in ingreo al motore è ufficiente ridurre un poco il guadagno lanciando di nuovo la imulazione: K c, cegliendo Kc=0.9 e

9 Eercitazione di Controlli Automatici n 6 a.a. 006/07.6 Ripota al gradino di ampiezza π/.4. Poizione angolare (rad) tempo () i oerva che ora le pecifiche ono oddifatte.