Lezione 12. Regolatori PID

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1 Lezione 1 Regolatori PD

2 Legge di controllo PD Conideriamo un regolatore che eercita un azione di controllo dipendente dall errore attravero la eguente legge: t ut = K et K e d K de t P + τ τ+ D. dt La legge di controllo è quindi compota da: un azione Proporzionale all errore; un azione ntegrale ull errore; un azione Derivativa ull errore. Queto tipo di regolatori prende quindi il nome di PD. tre guadagni che compaiono nella legge di controllo vengono chiamati: K P : guadagno proporzionale; K : guadagno integrale; K D : guadagno derivativo. Alternativamente, la legge di controllo i può crivere come egue: t 1 ut K et e d de t = P + τ τ + D, dt dove: D KP = : tempo integrale K KD = : tempo derivativo K P ra le ragioni del vatiimo utilizzo dei regolatori PD nella pratica dell automazione indutriale (i PD ono anche detti regolatori indutriali), ricordiamo: emplicità di realizzazione in divere tecnologie (elettronica, idraulica, pneumatica); efficacia per la regolazione di un ampia gamma di procei indutriali; tandardizzazione con i relativi vantaggi in termini di affidabilità e economicità; emplicità di taratura dei parametri; poibilità di taratura automatica dei parametri, per mezzo di emplici eperimenti. Dal cao generale della legge di controllo PD è poi poibile derivare altre leggi di controllo, annullando una o più delle azioni di controllo. Sono in particolare di interee le leggi di controllo: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1-1

3 P (proporzionale); PD (proporzionale-derivativa); P (proporzionale-integrale). Eendo un itema dinamico lineare e invariante, il regolatore PD può eere rappreentato da una funzione di traferimento: e R() u R Fig. 1 : Funzione di traferimento del regolatore PD K 1 KP 1+ + = KP + + KD= KP 1+ + D = l numeratore di R() è di grado uperiore al numeratore: pertanto, coì come critta, la funzione di traferimento non è fiicamente realizzabile. Ciò corriponde all impoibilità di ottenere dall errore un egnale che ne cotituica in ogni itante la derivata. Per rendere realizzabile l azione derivativa occorrerà in effetti aggiungere un polo in alta frequenza, per altro di norma irrilevante ai fini della valutazione delle pretazioni del regolatore PD. Dall ultima epreione critta per R() i riconoce che al variare di e D gli zeri del regolatore poono eere reali o complei e coniugati. mponendo la preenza di due zeri reali e ditinti, naturalmente nel emipiano initro, il diagramma di Bode del modulo di R aumerà l andamento tipico riportato in figura: 5 D db ω (rad/) Fig. : ipico andamento del diagramma di R l progetto del regolatore PD i riduce quindi alla celta del guadagno e della poizione degli zeri. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1 -

4 aratura analitica dei regolatori PD Come tutti i controllori, anche il controllore PD può eere progettato ulla bae delle tecniche analitiche vite in precedenza, che fanno uo del modello matematico del itema otto controllo critto in forma di funzione di traferimento. uttavia, nel cao del controllore PD, i gradi di libertà nel progetto ono limitati a 3 (il guadagno e due zeri): è allora opportuno procedere in modo più diretto ripetto alla intei per tentativi della funzione di traferimento d'anello già illutrata, elezionando direttamente la poizione degli zeri (tipicamente in modo da cancellare i poli del proceo) e cegliendo il guadagno in modo da oddifare le pecifiche dinamiche. Eempio Si conideri lo chema di controllo in figura: y + e y R() G() dove: G () =.1 e 3 ( 1+ 5)( 1+ ). Fig. 3 : Sitema di controllo per l eempio Si vuole progettare il regolatore R() nella clae dei regolatori PD in modo tale che: e = per y (t) = ca(t); ϕ m 4 ω c ia la maima poibile. La pecifica tatica impone un regolatore di tipo 1, oia la preenza dell'azione integrale nel regolatore PD. Scritta la funzione di traferimento come R () ( 1 + )( + ) 1 1 = µ R, dove µ R > è il guadagno, 1 e ono le cotanti di tempo degli zeri e i è ottintea la preenza di un polo in alta frequenza introdotto per rendere realizzabile l'azione derivativa, potremo porre:, 1 = 5, = in modo da cancellare con gli zeri del regolatore i poli del proceo. Si ottiene quindi la funzione di traferimento d'anello: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1-3

5 .1µ =. () () () R 3 R G = e L Come è noto, il diagramma di Bode del modulo aociato a L ha pendenza 1 u tutto l'ae delle pulazioni, e taglia l'ae in corripondenza della eguente pulazione: ω =. 1. c µ R La fae critica riulta quindi: ϕ = 9 ωc τ = 9.3µ R π π c. mponiamo il vincolo ul margine di fae: ϕ 18 5π = 9.3µ R 4 µ R =.91 π.3 18 m. Scegliendo µ R =.9 i ottiene il regolatore: R () con =.9 ( 1+ 5)( 1+ ) K 7.5, K =.9, K = 9. P = D K =.9 = K P + + KD, Queto regolatore conferice al itema di controllo un margine di fae di circa 4 ed una pulazione critica di.9 rad/. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1-4

6 aratura automatica dei regolatori PD Uno dei vantaggi connei all utilizzo dei regolatori PD conite nella poibilità di effettuare la taratura dei parametri ulla bae di emplici prove perimentali, precindendo dalla formulazione matematica, non empre agevole, del itema otto controllo. ra i numeroi metodi empirici per la intonizzazione dei regolatori PD, ci limitiamo ad accennare ai due tradizionalmente più noti. Metodo di Ziegler e Nichol in anello chiuo l metodo i articola nei eguenti pai: 1. Si chiude l anello di controllo con il regolatore PD (i cui parametri devono eere intonizzati), imponendo nulle le azioni integrale e derivativa: K =, K D =. y + e y PD S Fig.4 : Sitema in anello chiuo con regolatore PD. Partendo da valori molto piccoli di K P i effettua un emplice eperimento, conitente nell applicare un piccolo gradino al egnale di riferimento. 3. Si aumenta progreivamente K P ripetendo di volta in volta l eperimento finché non i intaura nell anello un ocillazione permanente. y t Fig.5 : Ocillazione permanente 4. Detto K P il valore del guadagno proporzionale corripondente all ocillazione permanente (guadagno critico) e il periodo di tale ocillazione, i tarano i parametri di un regolatore P, P o PD ulla bae della eguente tabella: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1-5

7 K P D P.5K P P.45K P 1. PD.6K P 8 l metodo non è empre applicabile: ci ono infatti itemi che non generano ocillazioni, anche con guadagni proporzionali elevati. Altre volte può eere pericoloo, o comunque conigliabile, portare il itema al limite di tabilità. Metodo di Ziegler e Nichol in anello aperto l metodo i articola nei eguenti pai: 1. Si applica una variazione a calino all ingreo del itema otto controllo. u S y Fig.6 : Perturbazione a calino. Si traccia la tangente alla ripota nel punto di fleo: y Y τ t Fig.7 : Metodo della tangente nel punto di fleo 3. Si individuano graficamente le intercette τ e Y della tangente ugli ai t e y, ripettivamente. 4. Si tarano i parametri di un regolatore P, P o PD ulla bae della eguente tabella: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1-6

8 K P D P 1 Y P 9. Y 3τ PD 1. Y τ.5τ l metodo non è ovviamente applicabile e la ripota allo calino non preenta fleo o e la ripota preenta ocillazioni. noltre non empre è poibile operare ul proceo in anello aperto, o perturbare brucamente il uo ingreo. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1-7

9 Eercizio 1.1 Eercizi Si criva la legge di controllo nel dominio del tempo del regolatore PD decritto dalla eguente funzione di traferimento: () R con: ( + )( + ) = µ µ = 5, 1 =, = 3. Eercizio 1. Si upponga di dover intonizzare un regolatore PD per il controllo di un proceo decritto dalla funzione di traferimento (non nota): () G = 1 ( 1+ ) 3. Si determini a quale taratura dei parametri condurrebbero le regole di Ziegler e Nichol in anello chiuo. Succeivamente, i tracci il diagramma di Bode della funzione di traferimento d anello riultante dall applicazione del regolatore PD al proceo. Eercizio 1.3 A partire dalla ripota allo calino in anello aperto di un proceo, riportata in figura, i tarino i parametri di un regolatore PD utilizzando le regole di Ziegler e Nichol in anello aperto t () Succeivamente, apendo che la funzione di traferimento del proceo è la tea dell eercizio precedente, i tracci il diagramma di Bode della funzione di traferimento d anello riultante dall applicazione del regolatore PD al proceo. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1-8

10 Eercizio 1.1 Si ha: () R ( + )( + ) = = raccia delle oluzioni da cui K = 5, K P = 5, K D = 3. La legge di controllo nel dominio del tempo è quindi data da: () t de t ut () = 5et () + 5 e( τ) dτ + 3. dt Eercizio 1. Si tratta di individuare il valore K P che rende nullo il margine di fae del itema di controllo avente funzione di traferimento d anello L K G =. l periodo dell ocillazione i ottiene poi come = π ω c, eendo ω c la pulazione critica in queta condizione particolare. l problema i può facilmente riolvere determinando, ad eempio con il regolo delle fai, il valore della pulazione critica tale che ciacuno dei tre poli di G (coincidenti alla pulazione 1 rad/) dia un contributo di fae di 6, in modo che la fae critica valga 18. Si ottiene ω c = 17., e quindi = πω c = 37.. l guadagno proporzionale critico i ricava valutando di quanto va tralato in alto il diagramma di Bode del modulo di G per farlo tagliare alla pulazione ω c. Si ottiene KP 15 db, oia K P 56.. Si oervi che il calcolo di K P equivale alla determinazione del margine di guadagno aociato a G. Dalle tabelle i ricava: K = 6. K = 336., = = 185., = 8= 46.. P P D La funzione di traferimento del PD è quindi (tracurando il polo ad alta frequenza del derivatore): R = K P 1+ + P ( 1+ ( 4) ) ( +. ) KP = 6. KP = 1. = D La funzione d anello riultante: L ( +. ) 3 ( 1+ ) = ha il diagramma di Bode riportato in figura. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1-9

11 3 K p ω c 1 - db -4 db w (rad/) w (rad/) Eercizio 1.3 Occorre tracciare la tangente nel punto di fleo alla ripota allo calino ed individuare le intercette con gli ai. Graficamente i ottiene Y =.1, τ =.81. Dalle tabelle i ricava: K = 1. Y = 571., = τ = 16., = 5. τ = 4. P D La funzione di traferimento del PD è quindi (tracurando il polo ad alta frequenza del derivatore): R = K P 1+ + D τ+ τ 6. 1 = = Y τ τy La funzione d anello riultante: L ( +. ) 3 ( 1+ ) = ( + τ) ( +. ) ha il diagramma di Bode riportato in figura. = db Y τ t () w (rad/) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 1-1