Sintesi tramite il luogo delle radici

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1 Sintei tramite il luogo delle radici

2 Può eere utilizzata anche per progettare itemi di controllo per itemi intabili Le pecifiche devono eere ricondotte a opportuni limiti u %, ta, t di W(), oltre quelle riguardanti le pretazioni tatiche (numero di poli nell origine e guadagno di L() )

3 Utilizzando le relazioni ulle pecifiche già vite, e valide per i itemi di econdo ordine o per i itemi a poli dominanti c.c. ci i riconduce a delimitare una zona del piano compleo entro la quale devono trovari i poli a ciclo chiuo del itema per un valore di guadagno compatibile con le pecifiche tatiche

4 3 ξω 3 Re T a 5 % n ( P, ) 3τ t π arctg ωn ξ ξ ξ,8 ωn La zona conentita del piano compleo è delimitata dalla poizione dei poli dominanti che oddifano in maniera eatta le pecifiche da imporre Tutta la parte del piano compleo interna a quella delimitata conente un oddifacimento più tringente delle pecifiche

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6 Una volta ineriti i neceari poli nell origine i traccia il luogo delle radici del proceo compenato taticamente (al variare del guadagno che viene celto al termine della intei) e i aggiungono, tramite il compenatore dinamico, poli e zeri a catena aperta in modo da modificare la forma del luogo per garantire il oddifacimento delle pecifiche

7 L ipotei che il itema a ciclo chiuo ia a poli dominanti deve eere verificata al termine della intei del controllore e e non è verificata biogna analizzare l effetto degli altri poli e zeri ulle pretazioni del itema a ciclo chiuo, ia nel dominio del tempo che della frequenza

8 Si può procedere in due modi diveri: - in modo empirico - in modo analitico, imponendo il paaggio del luogo per i poli dominanti tramite reti anticipatrici e attenuatrici

9 Eempio:metodo empirico g(+)/(+) Specifiche: e _tep0 e ta< ec (σ<,5) Aggiungiamo un polo nell origine per oddifare le pecifiche tatiche CK/ rlocu(c*g) Il itema a ciclo chiuo ha due poli reali

10 Per rendere il itema a ciclo chiuo a poli c.c. cancelliamo lo zero C()K/(*(+)) il itema a ciclo chiuo è a poli c.c. ma non rientra nella zona conentita

11 Se aggiungiamo un altro polo e un altro zero, lo carto poli zeri reta lo teo (e quindi gli angoli degli aintoti) e i può potare il centro degli aintoti a initra C()C()*(+3)/(+4) Siamo al limite della zona conentita

12 Se potiamo il polo più a initra i pota il centro degli aintoti e rientriamo nella zona conentita C()C()*(+3)/(+6)

13 Reta da cegliere il K: Per K>7,5 i ottengono migliori pretazioni tatiche per ingrei a rampa e i riduce il tempo di aetamento ma aumentano S% e tempo di alita

14 Sintei con il metodo analitico: effetto dell introduzione di reti anticipatrici e attenuatrici valutiamo l effetto dell introduzione di reti anticipatrici ed attenuatrici tramite un eempio: e _ tep 0 P( ) pecifiche: + e _ ramp 0. Compenatore tatico: c ) ( k % 0% Tracciamo il luogo del proceo compenato taticamente al variare di k k verrà celto al termine della procedura in modo da oddifare le pecifiche tatiche

15 Tracciamento del luogo delle radici del proceo compenato taticamente e della zona conentita A B - - α O % 0% ξ 0,6 α arcenξ 0 37 Calcoliamo il valore di k all interezione con la zona conentita (A) per vedere e è compatibile con le pecifiche tatiche k AO * AB AO OC AOenα AO enα 0,6 k,8 I poli del itema a ciclo chiuo ono dentro la zona conentita per k<,8 La pecifica ull errore alla rampa impone invece k>0, biogna quindi introdurre delle reti correttrici

16 Supponiamo di aggiungere un polo ed uno zero al itema, entrambi a parte reale negativa + z c( ) + p calcoliamo il nuovo centro degli aintoti: σ ' σ + z n p m Se p > z (rete anticipatrice) l aintoto i pota a initra e quindi l interezione del luogo con la zona conentita avviene per valori di k maggiori (o cmq il luogo può entrare nella zona conentita) -p -z

17 Per emplicità mettiamo lo zero in modo da cancellare il polo in - e troviamo la poizione del polo in modo da oddifare le pecifiche tatiche N.B. le cancellazioni i poono effettuare olo nella zona conentita e cmq olo nel emipiano initro σ + p p A α B -p -p/ O k OA p OAenα p k,44 p 4,4 k 44 e _ ramp p k 0, p 4,4

18 In alternativa i può procedere utilizzando una rete attenuatrice: p z c + + ) ( z > p Calcoliamo la cotante di velocità kv: p z k p z k p z k k v v ' 0 lim Poiché z > p l effetto della rete attenuatrice è quello di aumentare kv

19 È neceario cegliere p e z in modo da ottenere un buon aumento di kv enza modificare la forma del luogo, in modo che i poli a ciclo chiuo che abbiamo celto non i modifichino e i abbia il paaggio per lo teo valore di k, quindi la condizione di appartenenza al luogo dei poli dominanti : 0 α α 80 non deve eere modificata dalla preenza della rete attenuatrice: α 0 α α3 + β3 80 ciò può accadere olo per z circa uguale a p

20 Quindi vogliamo contemporaneamente: z >>p e z circap Queto è poibile olo per z e p molto vicini all origine, ad eempio p0.0 e z0, Nell eempio coniderato bata cegliere p0,0 e determinare z in modo da oddifare le pecifiche tatiche: k v k z p,8 z 0,0 > 0 z 0,07

21 In definitiva: P( ) + c ( ) 44 Cant( ) + + 4,4 c ( ),8 Catt( ) ,0

22 Analii in frequenza delle funzioni a catena aperta

23 Analii in frequenza a ciclo chiuo

24 Analii nel tempo a ciclo chiuo

25 eempio P( ) ( + ) 4,3 e 0, % 0% t ramp 0,5ec -3,4 - - α O ξ 0,6 ω n 5,4-4,3 p 3,4 ± i4,3, Il luogo è tutto al di fuori della zona conentita

26 -p C P α3 β -3,4 B α - - A α 37 Spotiamo il luogo a initra tramite una o più reti anticipatrici, imponendo che il luogo pai per i poli deiderati 4,3 Fiiamo z arbitrariamente (ad eempio Sotto il polo a ciclo chiuo che vogliamo Imporre) e troviamo la poizione di p che 0 ci conente il paaggio per i poli a O ciclo chiuo deiderati Applichiamo la condizione di fae: β α α α 80 α ,3 α 80 arctg 05,4 4,3 α3 80 arctg p 3,4 β 90 3

27 Si ricava: 8,7) )( ( 3,4) ( ) ( 8,7 3,4 4, k L p p tg α Calcoliamo k: pecifiche le oddifa non k k C P B P A P O P B P C P A P O P k v n 7,3 8,7 3,4 ) ( 40 lim ,46 4,3 4,3 4,5,4 4,3 5,4 * * ω

28 Ineriamo una rete attenuatrice per migliorare le pretazioni tatiche: k ' v ,4 + z z z lim 0 k 7,3 0 ( + ) + 8,7 + p p 0,0 z v 0,04 L( ) 40 ( + ) + 3,4 + 8,7 + 0,04 + 0,0 Biogna tracciare il luogo delle radici del itema compenato e calcolare la poizione degli altri poli per k40, per verificare e il itema è a poli dominanti o comunque la poizione degli altri poli e zeri a ciclo chiuo non ia tale da pregiudicare il oddifacimento delle pecifiche

29 0 Root Locu I maginary Axi Sytem: l Gain: 40.3 Pole: Damping: Overhoot (%): 0 Frequency (rad/ ec): 4.34 Sytem: l Gain: 40.4 Pole: i Damping: Overhoot (%): 0.8 Frequency (rad/ec): 5.49 Per k40 i ha, oltre ai due poli che abbiamo impoto un terzo polo a -4,3, quindi abbatanza vicini a quelli che dovrebbero eere dominanti Real Axi Il itema non può eere coniderato a poli dominanti, Vediamo e ono oddifatte le pecifiche!

30 >> zpk(w) Zero/pole/gain: 40 (+3.4) (+0.04) (+4.355) (+0.040) (^ ) >>tep(w).4 Step Repone. La pecifica ulla % non è ripettata! Biognerebbe rifare la intei potando i poli dominanti da imporre più all interno della zona conentita, a valori più bai di % Amplitude Time (ec)

31 Proviamo a fare una modifica empirica : 0 Root Locu l((+3.4)*(+0.04))/(*(+)*(+5)*(+0.0)) >> wfeedback(55*l,) >> zpk(w) Zero/pole/gain: 55 (+3.4) (+0.04) (+0.54) (+0.040) (^ ) Imaginary Axi Sytem: l Gain: 55 Pole: i Damping: Over hoot (%):.85 Frequency (rad/ec): 4. Ci reta da ricalcolare kv >> 55*l Tranfer function: 55 ^ ^ ^ ^ >> kv(.495)/0.3 kv Amplitude Real Axi Step Repone w w Non va bene, ma poiamo cegliere 0. k > enza problemi, rientrando ancora nella zona conentita Time (ec)

32 Scegliamo k70 wfeedback(70*l,); zpk(w) Zero/pole/gain: 70 (+3.4) (+0.04) (+8.4) (+0.040) (^ ) kv(3.7)/0.3 kv tep(w,w) Sono oddifatte tutte le pecifiche! Amplitude Step Repone Time (ec)

33 Procedura per la intei tramite luogo delle radici. Traformare le pecifiche in limiti ulla zona conentita per i poli del itema a ciclo chiuo. Aggiungere al proceo i poli nell origine neceari al oddifacimento delle pecifiche tatiche 3. Tracciare il luogo delle radici del proceo compenato taticamente 4. Scegliere una coppia di poli c.c. da imporre al itema 5. Aggiungere le reti anticipatrici necearie ad imporre il paaggio per i poli deiderati 6. Calcolare il valore di k per il quale avviene il paaggio 7. Calcolare la poizione degli altri poli e verificare e ono compatibili con il oddifacimento delle pecifiche, altrimenti tornare al punto 4 8. Verificare e il valore di k è compatibile con le pecifiche tatiche, e non lo è aggiungere una rete attenuatrice

34 eempio P( ) ( ) Il numero di poli nell origine è ufficiente Tracciamo il luogo delle radici e r 0,05 % 0% t a ec 0 Root Locu 8 6 Imaginary Axi Real Axi ξ 0,6 ω 5 n p 3 ± j4,

35 0 Root Locu Imaginary Axi Real Axi Il luogo è fuori dalla zona conentita per tutti i valori di k È neceario introdurre una o più reti anticipatrici Calcoliamo l anticipo neceario ad ottenere il paaggio per i poli che abbamo celto

36 4 β α x β x -3 - α 3 α α - poniamo β α α α + ϕ ϕ x ϕ -α + β x 3 x x x 80 x anticipo da introdurre 80 ϕ ,8 + 3,6 06,4 Una ola rete può introdurre al maimo un anticipo di Introduciamo due reti che anticipano ciacuna di 06/53

37 ϕ α + β 06 ϕ x ant α C( ) ϕ / 53 α tg37 p 8.3 x x x 4 p 3 ( + 3) ( + 8,3) 0,75 K65 Kv6,9 er0,058 OK! Imag inary Axi Sytem: l Gain: 65.4 Pole: i Damping: 0.77 Overhoot (%):.5 Frequenc y (rad/ec): 6.85 Root Locu Sytem: l -6 Gain: 64.7 Pole: i Damping: Overhoot (%): Frequency - (rad/ - ec): Real Axi Sytem: l Gain: 67. Pole: -.95 Damping: Overhoot (%): 0 Frequency (rad/ec):.95 Il itema ha un polo dominante reale! Si deve verificare e le pecifiche ono oddifatte

38 .4 Step Repone. Amplitude Time (ec) Le pecifiche non ono oddifatte!

39 >> l65*c*p Tranfer function: 65 ^ ^ ^ ^ ^3 + 7 ^ >> wfeedback(l,) Tranfer function: 65 ^ ^ ^ ^ ^3 + 8 ^ >> zpk(w) Zero/pole/gain: 65 (+4) (+3)^ (+.945) (^ ) (^ )

40 Proviamo con un metodo empirico: 5 Root Locu Ineriamo uno zero vicino all origine in modo da pezzare il ramo ull ae reale ed un polo lontano per potare il centro degli aintoti Imaginary Axi Real Axi S ytem: untitled Gain: 497 Pole: i Damping: 0.93 Over hoot (%): Frequency (rad/ec): Step Repone. c(+0.5)/((+50)) rlocu(c*p) wfeedback(c*p*500,) tep(w) Amplitude Time (ec)

41 Analii in frequenza 00 Bode Diagram Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/ec) La pulazione di attraveramento è molto baa ma il margine di fae è ottimo, i può provare ad aumentare il guadagno

42 eempio P( ) ( ( + 3) )( ) Specifiche: - errore al gradino nullo - poli dominanti: p, ± j

43 Il luogo è fuori dalla zona conentita Ineriamo delle reti anticipatrici per imporre il paaggio per i poli richieti Calcoliamo l anticipo neceario: β -3 - α α α 3 ϕ + β α α α 80 β arctg 63,4 α 80 arctg 35 α 80 arctg 46,3 3 α3 80 arctg 53,4 4 ϕ reti da 63,7 4 reti da 47,8

44 Con 3 reti, cegliendo lo zero otto i poli c.c. deiderati i ha: 63,7 90 x x 6,3 tg6,3 p 6,08 p Con 4 reti, cegliendo lo zero otto i poli c.c. deiderati i ha: x x 4 tg4 p 4,3 p

45 Con 3 reti C è un polo dominante reale! >> c(+)^3/(+6)^3 >> wfeedback(34*p*c,) >> tep(w)

46 Con 4 reti La ituazione è peggiorata!