3. Catene di Misura e Funzioni di Trasferimento

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1 3.. Generalità 3. Catene di Miura e Funzioni di Traferimento 3.. Generalità Il egnale che rappreenta la grandezza da miurare viene trattato in modo da poter eprimere quet ultima con uno o più valori numerici o di fornirne una appropriata rappreentazione. Il compleo degli elementi interpoti per ottenere detta rappreentazione cotituice una catena di miura, come illutrato in Figura 3.. La catena di miura più emplice è cotituita da un olo trumento, ma è aai frequente il ricoro a catene più complee. In termini più generali i può anche penare che il ingolo trumento ia dal punto di vita funzionale aimilabile ad una catena di miura. E(t) M U(t) Fig. 3. Schema generale di una catena di miura Il tipo di trattamento del egnale può variare in relazione alla natura e all ampiezza della grandezza in eame, nonché al tipo di miura che i deidera condurre. Ciò che è importante coneguire è la univocità della relazione tra la rappreentazione in ucita della grandezza e il egnale che la rappreenta in ingreo. Il cao più emplice di trattamento è quello per il quale i due egnali in ingreo e in ucita della catena ono della tea natura e in ucita tra loro legati da un fattore di converione (quindi del tipo y k x), ma ono aai frequenti anche trattamenti governati da funzioni più complee, ad eempio relazioni di fae tra grandezze inuoidali oppure grandezze in ingreo e ucita di divera natura. A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 57

2 3 Catene di Miura e Funzioni di Traferimento 3.2. Richiami ulla Traformata di Laplace Data una funzione f(t) definita nel dominio del tempo per t > e identicamente nulla per t < i definice Traformata di Laplace della f(t) una funzione F() definita nel dominio della variabile complea α + j ω, F () ft ()e t dt L[ ft ()] (3.) Poiché la funzione F() i ottiene con un integrale eteo ad un intervallo infinito ea può convergere o non convergere. Data una traformata di Laplace F(), i valori di che rendono infinito il modulo di F() i dicono poli, mentre i valori di che annullano F() i dicono zeri di F(). Si può dimotrare che e l integrale converge per + j, eo converge anche per ogni valore di la cui parte reale è maggiore di. L etremo inferiore dei valori di per cui l integrale converge i dice acia di convergenza c (Figura 3.2). j ω Acia di Convergenza c α Fig. 3.2 Acia di convergenza per la traformata di Laplace Con la traformata di Laplace i è tabilita una corripondenza univoca tra funzioni reali di variabili reali traformabili e funzioni complee di variabile complea. È anche poibile applicare il procedimento invero e cioè calcolare f(t) quando è nota F(). Si ha allora: ft () a+ jω F ()e t 2πj d L [ F ()] a jω (3.2) A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 58

3 3.2. Richiami ulla Traformata di Laplace dove l integrazione è effettuata lungo una retta parallela all ae immaginario di acia (a > ). La corripondenza tra f(t) e F() è biunivoca. La funzione F() può empre eere ricondotta a una funzione razionale del tipo F () a + a + a a m m b + b + b b n n (3.3) Nel cao in cui il grado m del polinomio al numeratore foe maggiore del grado n del polinomio al denominatore, i può effettuare il quoziente tra i due polinomi ottenendo una funzione F () A () + B () (3.4) nella quale B() è del tipo opra indicato, mentre A() è un polinomio che ha come antitraformata la funzione di Dirac (o ue derivate). Dato che l uo diretto dell integrale di traformazione e di antitraformazione è complicato, i ricorre ad appoite tabelle, che riportano le coppie funzione-traformata di uo più comune. Prima di ricorrere a dette tabelle, può eere conveniente comporre la funzione razionale in in una erie di termini emplici uando lo viluppo di Heavyide Proprietà della Traformata di Laplace La traformazione di Laplace è un operazione lineare e vale L[ k f () t + k 2 f 2 () t ] k L[ f () t ] + k 2 L[ f 2 () t ] (3.5) Tralazione nel dominio del tempo: e L[ ft ()] F () allora L[ ft ( τ) ] e t F () (3.6) Tralazione nel dominio di Laplace: e L[ ft ()] F () allora L[ e at ft ()] F ( a) (3.7) Derivazione nel dominio di Laplace: e L[ ft ()] F () allora L[ tf() t ] df() d (3.8) Derivazione nel dominio del tempo: e L[ ft ()] F () allora L[ df () t dt] F() f () (3.9) Se la funzione f(t) è dicontinua per t, ad f() occorre otituire f ( + ) lim ft () t + (3.) La formula di derivazione è iterabile e può quindi eere utile per il calcolo della traformata di una qualunque derivata della funzione f(t), nota la ua traformata F(). A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 59

4 3 Catene di Miura e Funzioni di Traferimento Teorema del valore iniziale: e L[ ft ()] F () allora f ( + ) lim F() (3.) Teorema del valore finale: e L[ ft ()] F () e F() ha poli olo a parte reale negativa e nell origine (ma non u altri punti dell ae immaginario o nel emipiano a parte reale poitiva) allora lim t ft () lim F() (3.2) Nella Tabella 3. ono riportate le traformate per alcune delle funzioni d uo più frequente. Funzione Traformata di Laplace Impulo δ() t Scalino Rampa ram() t tca() t Parabola par() t t 2 ca() t Eponenziale Seno Coeno ca() t e at ca() t in( ωt) ca() t co( ωt) ca() t a ω ω ω 2 Tab. 3. Traformate di Laplace per alcune funzioni di comune impiego Rioluzione di Equazioni Differenziali Mediante la traformazione di Laplace, la rioluzione di equazioni differenziali lineari ed a coefficienti cotanti i riduce, nel eno che verrà in eguito preciato, alla rioluzione di equazioni algebriche. Con la traformazione, il problema viene traferito dal dominio del tempo al dominio di Laplace ; i otituice il problema originale (in cui l incognita è una funzione del tempo) con un problema equivalente in cui l incognita è la traformata dell incognita di partenza, che ha un livello di difficoltà inferiore al primo perché in eo compaiono equazioni algebriche anziché differenziali. A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 6

5 3.3. Funzione di Traferimento Si riolve il problema equivalente nel dominio di Laplace determinando la traformata dell incognita del problema originale. Si ritorna nel dominio del tempo mediante l antitraformazione. Il problema potrebbe eere riolto anche direttamente retando nel dominio del tempo. Si pongono coì le due alternative illutrate in Figura 3.3. Il procedimento che paa attravero il dominio di Laplace è utilizzato nei cai in cui la traformata del egnale di ingreo è una funzione razionale. Dominio del Tempo Problema Equivalente Metodi Riolutivi di Equazioni Algebriche Soluzione del Problema Equivalente Traformazione Antitraformazione Dominio di Laplace Problema Metodi Riolutivi di Equazioni Differenziali Soluzione del Problema Fig. 3.3 Rioluzione di equazioni differenziali nel dominio del tempo o nel dominio di Laplace 3.3. Funzione di Traferimento Dato un itema lineare con un ingreo ed una ucita, i dice Funzione di traferimento G() il rapporto tra la traformata di Laplace del egnale di ucita U() e la traformata di Laplace del egnale di ingreo E(), quando il itema è in condizioni iniziali nulle: G () U () E () (3.3) A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 6

6 3 Catene di Miura e Funzioni di Traferimento La G() ha il ignificato fiico di traformata di Laplace della ripota del itema ad un egnale di ingreo di tipo impulivo (δ di Dirac) la cui traformata è uguale a. Si ricorda che la funzione di Dirac è rappreentabile con un rettangolo δ(t) di durata τ e altezza / τ e quindi di area. Se i fa tendere τ a, mantenendo l area uguale a, l ordinata / τ tende a (Figura 3.4). Ampiezza /τ τ Tempo Fig. 3.4 Rappreentazione della funzione δ di Dirac Si oerva che la ripota di un itema ad una funzione impuliva del tipo decritto può eere ottenuta, ia pure con difficoltà, anche per via perimentale. È però in generale più emplice produrre l eccitazione al gradino unitario (fronte infinitamente ripido e poi valore cotante unitario) che altro non è che l integrale dell impulo di Dirac. La traformata della ripota al gradino moltiplicata per il fattore, dà ancora la funzione di traferimento G(). Si ricordi che la funzione di traferimento è una caratteritica del itema ed è indipendente dal egnale di ingreo. In un circuito elettrico i hanno però più funzioni di traferimento a econda del punto in cui i applica la forzante E() e del punto in cui i rileva il egnale di ucita U(). Per renderene conto bata oervare il circuito di Figura 3.5, nel quale enza cambiare la poizione della forzante, i aume una volta come ucita U (t) e la econda U 2 (t). U (t) E(t) R C U 2 (t) Fig. 3.5 Eempio di funzioni di traferimento in un circuito elettrico A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 62

7 3.3. Funzione di Traferimento In generale i itemi reali che intereano preentano funzioni di traferimento dei due tipi eguenti: Sitemi del primo ordine G () µ τ (3.4) Sitemi del econdo ordine G () µ Q ω2 ω (3.5) In tali epreioni, µ > rappreenta il guadagno del itema. In entrambi i cai la G() è caratterizzata da G() µ cioè il itema traferice enza alterazioni un egnale di ingreo cotante nel tempo moltiplicandolo per µ. Poiché µ è cotante, l analii delle due funzioni può eere fatta utilizzando la forma ridotta (ponendo µ ) Sitemi del Primo Ordine Si analizza ora la G() per i itemi del primo ordine che dal punto di vita elettrico poono eere rappreentati con un circuito in cui ci ono reitenze R e induttanze L (ma non capacità C) oppure reitenze R e capacità C (ma non induttanze L). Il parametro τ è detto cotante di tempo e definice completamente il itema. Ad eempio, per il circuito di Figura 3.6 la cotante di tempo è τ R C (in econdi). E(t) R C U(t) Fig. 3.6 Eempio di itema del primo ordine: circuito RC Si eamina ora il cao in cui E(t) è un gradino unitario cioè E(t) per t < e E(t) per t >. Traformando nel dominio di Laplace i ottiene E () -- (3.6) per cui i ha U () G ()E τ -- (3.7) Per paare al dominio del tempo biogna antitraformare la U(). Conviene applicare il teorema di Heavyide che conente di uddividere la funzione in più termini di tipo più emplice: U () τ -- τ τ τ + (3.8) A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 63

8 3 Catene di Miura e Funzioni di Traferimento Si può ora facilmente antitraformare, ottenendo Ut () L [ U ()] e t τ (3.9) In Figura 3.7 è riporta in grafico queta funzione confrontata con il gradino unitario..2.8 Ampiezza τ Tempo Fig. 3.7 Ripota al gradino unitario di un itema del primo ordine Si noti il ignificato geometrico di τ che è la ottotangente, riferita all ordinata E(t) della funzione U(t). Ea rappreenta: il tempo dopo il quale U(t).632 e ; l area comprea tra le due curve (tempo di ripota). Se i conidera invece la funzione a rampa E(t) k t, la ripota è ancora una rampa con ritardo cotante τ ripetto alla rampa applicata, dopo un tempo abbatanza grande ripetto a τ tea (Figura 3.8) Sitemi del Secondo Ordine Si paa ora ad eaminare la funzione di traferimento ridotta (µ ) per itemi del econdo ordine di cui i riporta per comodità l epreione: G () Q ω2 ω (3.2) nella quale: A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 64

9 3.4. Metodo Simbolico per la Traformata di Laplace Ampiezza τ Tempo Fig. 3.8 Ripota alla rampa di un itema del primo ordine Q rappreenta il fattore adimenionale di morzamento; ω rappreenta pulazione caratteritica del itema. Si conideri ora il comportamento dinamico applicando uno calino unitario. A econda che Q >, Q, Q < la ripota arà aperiodica, critica o ocillatoria (Figura 3.9). L ampiezza maima della ovraelongazione è data da U M + e ( πq) Q 2 (3.2) che è pure una funzione di Q (Figura 3.). Per i itemi del econdo ordine ha ancora ignificato il tempo di ripota (τ r ) come è tato definito per i itemi del primo ordine. Nel cao di ripota ocillatoria il tempo di ripota i calcola ommando algebricamente le aree ( τ r τ τ 2 + τ 3 τ 4 ), come indicato in Figura Metodo Simbolico per la Traformata di Laplace Il metodo imbolico permette di paare immediatamente dalla funzione E(t) alla funzione E(), tenendo preente i teoremi di derivazione e integrazione dell integrale di Laplace. A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 65

10 3 Catene di Miura e Funzioni di Traferimento E(t) Q < Ampiezza Q Q 2 Tempo Fig. 3.9 Ripota al gradino unitario di un itema del econdo ordine In un circuito elettrico, i componenti R, C e L poono eere otituiti con impedenze imboliche equivalenti. Reitenze R, Capacità , Induttanze L C (3.22) Si veda in propoito la Tabella Traformata di Laplace in Regime Sinuoidale In un itema lineare a parametri concentrati, la ripota a una eccitazione inuoidale è ancora una inuoide della tea frequenza ma di ampiezza e fae divere, come è ben noto dallo tudio dei circuiti a corrente alternata. Si può dimotrare che, in generale, l ampiezza della inuoide in ucita i ottiene moltiplicando il egnale in ingreo per il modulo della funzione di traferimento calcolato ponendo j ω dove ω 2 π f è uguale alla pulazione della forzante, mentre lo faamento è determinato dall argomento di G(j ω). Dal punto di vita perimentale è molto più comodo determinare la ripota in regime tazionario che all impulo di Dirac o al gradino unitario, in quanto eitono generatori di funzioni inuoidali a frequenza variabile molto emplici. A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 66

11 3.5. Traformata di Laplace in Regime Sinuoidale Ampiezza Q Fig. 3. Maima ovraelongazione nella ripota al gradino unitario in un itema del econdo ordine in funzione del parametro Q.4.2 τ 2 τ 4 Ampiezza.8.6 τ τ Tempo Fig. 3. Calcolo del tempo di ripota in un itema del econdo ordine A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 67

12 3 Catene di Miura e Funzioni di Traferimento Componente Tempo Dominio Frequenza Reitenza Capacità Induttanza Tab vt () it () v () i () R it () C vt dt i () Cv() vt () L it dt v () Li() Impedenze imboliche equivalenti di reitenze, induttanze e capacità Nel cao che gli zeri e tutti i poli i trovino nel emipiano negativo del piano compleo, ampiezza e fae delle ripote e perciò il modulo e l argomento di G(j ω) poono eere facilmente determinati. Si conideri quale eempio la funzione di traferimento con un ingreo inuoidale E(t) in(ω t). L operatore G(j ω) aume la forma il cui modulo è dato da G () Gjω ( ) τ jωτ (3.23) (3.24) Gjω ( ) τ j ω 2 τ jωτ + ω 2 τ 2 + ω 2 τ 2 ( + ω 2 τ 2 ) ω 2 τ 2 (3.25) Normalmente Gjω ( ) viene epreo in decibel (db) e riulta quindi dato da Gjω ( ) db 2log( Gjω ( ) ) 2 log ω 2 τ 2 (3.26) L argomento di G(j ω) è invece dato da ϕ atan( ωτ) (3.27) Se ωτ «arà Gjω ( ) e ϕ ωτ. L ucita ha quindi la tea ampiezza dell ingreo ripetto alla quale i preenta però in ritardo di ω τ. Se invece ωτ» arà Gjω ( ) ( ωτ) e ϕ π 2, cioè il itema funziona da integratore approimato (le due onde ono faate di / 4 di periodo). A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 68

13 3.5. Traformata di Laplace in Regime Sinuoidale Poiché il circuito facilita la tramiione delle frequenze bae, eo i comporta come un filtro paa bao. La rappreentazione grafica del modulo e dell argomento di G(j ω) è riportata in Figura 3.2. Modulo.5 Frequenza Fae -45 Modulo [db] Frequenza Frequenza - Scala Logaritmica Fae Frequenza - Scala Logaritmica Fig. 3.2 Modulo e fae della ripota in frequenza di un itema del primo ordine paabao Queti andamenti corripondono a quelli di un circuito elettrico del tipo indicato in Figura 3.3. A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 69

14 3 Catene di Miura e Funzioni di Traferimento E(t) R C U(t) Fig. 3.3 Circuito RC paa-bao Se i conidera invece il circuito riportato in Figura 3.4, la funzione di traferimento è data da G () τ τ (3.28) E(t) C R U(t) Fig. 3.4 Circuito RC paa-alto Se i calcolano il modulo e la fae in regime inuoidale, i ottiene Gjω ( ) ωτ ω 2 τ 2 (3.29) ωτ Gjω ( ) db 2 log ω 2 τ 2 (3.3) ϕ atan ωτ (3.3) Quete due funzioni hanno l andamento riportato in Figura 3.5. Per ωτ «arà Gjω ( ) ωτ e ϕ π 2, mentre per ωτ» arà Gjω ( ) e ϕ. Queto circuito i comporta come un derivatore approimato. Poiché il circuito tramette le frequenze più elevate eo agice da filtro paa alto. A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 7

15 3.5. Traformata di Laplace in Regime Sinuoidale Modulo.5 Frequenza 9 Fae 45 Frequenza Modulo [db] Frequenza - Scala Logaritmica 9 Fae 45 Frequenza - Scala Logaritmica Fig. 3.5 Modulo e fae della ripota in frequenza di un itema del primo ordine paa-alto A. Boi e P. Malcovati, Miure Elettriche 7