APPLICAZIONI DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE

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1 C A P I T O L O 7 APPLICAZIONI DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE 7. INTRODUZIONE Ora che è tata introdotta la traformata di Laplace, è poibile paare a eaminare che coa i può fare con ea. La traformata di Laplace rappreenta uno degli trumenti matematici più potenti eitenti per l analii, la intei e il progetto. La poibilità fornita dalla traformata di Laplace di manipolare circuiti e itemi nel dominio conente di capire molto meglio come i circuiti e i itemi operano. In queto capitolo, i vedrà come è poibile operare con i circuiti nel dominio. Si accennerà inoltre brevemente ad altri itemi della fiica. Lo tudente ha certamente già incontrato emplici itemi meccanici e ha probabilmente utilizzato per decriverli le tee equazioni differenziali che i uano per decrivere i circuiti elettrici. Il fatto che le tee equazioni differenziali poano eere uate per decrivere circuiti, procei e itemi lineari della realtà rappreenta uno degli apetti più affacinanti dell univero fiico. Ciò che li accomuna è il termine lineare. Un itema è un modello matematico di un proceo fiico che mette in relazione l ingreo con l ucita. È del tutto corretto coniderare i circuiti come itemi, anche e, toricamente, i circuiti ono tati peo trattati come un argomento eparato dalla teoria dei itemi. Nel preente capitolo i parlerà di circuiti e di itemi tenendo preente il fatto che i circuiti non ono altro che una particolare clae di itemi elettrici. Il fatto più importante da tenere preente è che tutto ciò che è tato preentato nel capitolo precedente, e anche ciò che verrà preentato in queto capitolo, può eere applicato a un qualiai itema lineare. Nel capitolo precedente, i è vito come ia poibile utilizzare le traformate di Laplace per riolvere equazioni differenziali e integrali lineari. In queto capitolo vengono dapprima introdotti i modelli circuitali nel dominio, noti i quali è poibile affrontare la oluzione di qualunque tipo di circuito lineare di interee pratico. Vengono poi brevemente introdotte le variabili di tato, che riultano utili, in particolare, per l analii di itemi con ingrei e ucite multipli. Infine, i vedrà come i concetti legati alla traformata di Laplace poono eere uati nella analii della tabilità delle reti e nella intei dei circuiti. 7.2 MODELLI DI ELEMENTI CIRCUITALI Dopo aver appreo come i ottengono la traformata di Laplace e la ua antitraformata, il lettore è ora pronto per applicare la traformata di Laplace nella analii dei circuiti. Tale applicazione avviene di olito in tre pai. Procedimento per l applicazione della traformata di Laplace:. Traformare il circuito dal dominio del tempo al dominio. 2. Riolvere il circuito mediante l analii nodale, analii agli anelli, traforma- Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

2 2 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace zione dei generatori, ovrappoizione, o qualunque altra tecnica di rioluzione riulti conveniente. 3. Calcolare le antitraformate delle oluzioni, ottenendo coì le oluzioni nel dominio del tempo. Solo il primo pao riulta nuovo, e di eo ci i occuperà fra poco. Come i è fatto per l analii con i faori, i eegue la traformazione di un circuito al dominio delle frequenze, o dominio, traformando econdo Laplace gli elementi del circuito uno per uno. Per un reitore, la relazione tenione-corrente nel dominio del tempo è Traformando econdo Laplace, i ottiene vðtþ RiðtÞ ð7:þ Per un induttore, VðÞ RIðÞ vðtþ L diðtþ dt Traformando econdo Laplace entrambi i membri i ha o anche V ðþ L½IðÞ ið0 ÞŠ LIðÞ Lið0 Þ IðÞ L V ðþþ ið0 Þ ð7:2þ ð7:3þ ð7:4þ ð7:5þ Gli equivalenti nel dominio ono motrati in Figura 7., in cui l eventuale condizione iniziale viene rappreentata con un generatore di tenione o di corrente. Figura 7. Rappreentazione di un induttore: (a) dominio del tempo, (b,c) equivalenti nel dominio. Per un condenatore, che i traforma nel dominio in o anche iðtþ C dvðtþ dt IðÞ C½V ðþ vð0 ÞŠ CVðÞ Cvð0 Þ VðÞ C IðÞþ vð0 Þ ð7:6þ ð7:7þ ð7:8þ Gli equivalenti nel dominio ono motrati in Figura 7.2. Grazie a queti circuiti equivalenti, la traformata di Laplace può eere agevolmente utilizzata per riolvere circuiti del primo e del econdo ordine del tipo di quelli coniderati nei Capitoli 7 e 8. È bene notare, nelle Equazioni da (7.3) a (7.8), che le condizioni iniziali cotituico- Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

3 no parte integrante della traformazione. Queto è un vantaggio importante dell uo della traformata di Laplace nell analii dei circuiti. Un altro vantaggio è che con ea i ottiene la ripota completa tranitorio e regime di una rete. Ciò verrà illutrato negli Eempi 7.2 e 7.3 Si noti inoltre la dualità delle (7.5) e (7.8), che conferma quanto già i apeva dal Capitolo 8 (i veda la Tabella 8.), e cioè che L e C, IðÞ e V ðþ,evð0þ e ið0þ ono termini duali. 7.2 Modelli di elementi circuitali 3 Figura 7.2 Rappreentazione di un condenatore: (a) dominio del tempo, (b,c) equivalenti nel dominio. Se i uppongono nulle le condizioni iniziali per l induttore e il condenatore, le equazioni appena vite i riducono a: Reitore: Induttore: V ðþ RIðÞ V ðþ LIðÞ Condenatore: VðÞ C IðÞ Gli equivalenti nel dominio ono motrati in Figura 7.3. ð7:9þ Si definice impedenza nel dominio il rapporto fra la traformata della tenione e la traformata della corrente nel cao di condizioni iniziali nulle, cioè ZðÞ VðÞ IðÞ ð7:0þ Figura 7.3 Rappreentazioni equivalenti nel dominio del tempo e nel dominio di elementi paivi con condizioni iniziali nulle. Le impedenze dei tre elementi circuitali ono quindi Reitore: Induttore: ZðÞ R ZðÞ L ð7:þ Condenatore: ZðÞ C Ee ono riaunte nella Tabella 7.. L ammettenza nel dominio è il reciproco dell impedenza, YðÞ ZðÞ IðÞ ð7:2þ VðÞ L uo della traformata di Laplace nella analii dei circuiti rende più emplice il calcolo nei cai in cui compaiono generatori variabili quali impuli, gradini, rampe, eponenziali e inuoidi. I modelli per i generatori dipendenti e gli amplificatori operazionali ono emplici da viluppare quando i ricordi che e la traformata di Laplace di f ðtþ è FðÞ, allora Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

4 4 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace la traformata di Laplace di af ðtþ è afðþ la proprietà di linearità. Un generatore dipendente può eibire due oli tipi di controllo, e preciamente una cotante moltiplicata per una tenione oppure una cotante per una corrente. Quindi, L½avðtÞŠ av ðþ L½aiðtÞŠ aiðþ ð7:3þ ð7:4þ L amplificatore operazionale ideale può eere trattato alla tregua di un reitore. Di fatto, qualiai operazionale, reale o ideale, non fa nulla di più che moltiplicare una tenione per una cotante. Bata quindi crivere le equazioni nel modo olito, tenendo preente il vincolo che la tenione di ingreo e la corrente di ingreo dell operazionale devono eere nulle. Tabella 7. Elemento Reitore Induttore Impedenza di un elemento nel dominio.* ZðÞ VðÞ=IðÞ R L Condenatore * Si uppongono nulle le condizioni iniziali =C Eempio 7. Figura 7.4 Per l Eempio 7.. Determinare v o ðtþ nel circuito di Figura 7.4, upponendo nulle le condizioni iniziali. Soluzione: Si traforma dapprima il circuito dal dominio del tempo al dominio. uðtþ ) H ) L 3 F ) C 3 Il circuito riultante nel dominio è motrato in Figura 7.5. A eo viene applicata l analii agli anelli. Per l anello, þ 3 I 3 I 2 ð7::þ Figura 7.5 Analii agli anelli dell equivalente nel dominio delle frequenze. Per l anello 2, 0 3 I þ þ 5 þ 3 I 2 cioè I 3 ð2 þ 5 þ 3ÞI 2 ð7::2þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

5 7.2 Modelli di elementi circuitali 5 Sotituendo nella (7..), þ 3 3 ð2 þ 5 þ 3ÞI 2 3 I 2 Moltiplicando tutto per 3 i ottiene 3 ð 3 þ þ 8ÞI 2 ) I 2 3 þ 8 2 þ 8 V o ðþ I 2 Antitraformando, infine i ha v o ðtþ 3 2 þ 8 þ 8 p 3 ffiffi 2 p 3 ffiffi 2 pffiffi 2 ð þ 4Þ 2 pffiffi þð 2 Þ 2 pffiffi e 4t in 2 t V, t 0 n Eercizio 7. Determinare v o ðtþ nel circuito di Figura 7.6, upponendo nulle le condizioni iniziali. Figura 7.6 Per l Eercizio 7.. Ripota 8ð e 2t 2te 2t ÞuðtÞ V. n Eempio 7.2 Calcolare v o ðtþ nel circuito di Figura 7.7. Supporre v o ð0þ 5V. Figura 7.7 Per l Eempio 7.2. Soluzione: Si traforma il circuito al dominio come motrato in Figura 7.8. La condizione iniziale è tata inclua in forma di generatore di corrente Cv o ð0þ 0:ð5Þ 0:5 A. [Si veda la Figura 7.2(c).] Si applica il metodo dell analii nodale. Al nodo uperiore, cioè 0=ð þ Þ V o 0 þ 2 þ 0:5 V o 0 þ V o 0= þ þ 2:5 2V o 0 þ V o 0 0 V oð þ 2Þ Moltiplicando ambo i membri per 0, o anche dove V o 0 þ þ 25 V oð þ 2Þ 25 þ 35 ð þ Þð þ 2Þ A ð þ ÞV o ðþj 25 þ 35 ð þ 2Þ A þ þ B þ B ð þ 2ÞV o ðþj 2 25 þ 35 ð þ Þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

6 6 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Figura 7.8 Analii nodale del circuito equivalente di Figura 7.7. Allora, V o ðþ 0 þ þ 5 þ 2 Eeguendo l antitraformazione di Laplace, i ottiene v o ðtþ ð0e t þ 5e 2t ÞuðtÞV n Eercizio 7.2 Determinare v o ðtþ nel circuito motrato in Figura 7.9. Figura 7.9 Per l Eercizio 7.2. Ripota 4 5 e 2t þ 8 5 e t=3 uðtþv. n Eempio 7.3 Nel circuito di Figura 7.0(a), l interruttore i pota dalla poizione a alla poizione b nell itante t 0. Determinare iðtþ per t > 0. Figura 7.0 Per l Eempio 7.3. Soluzione: La corrente iniziale nell induttore è ið0þ I o.pert > 0, la Figura 7.0(b) motra il circuito traformato al dominio. La condizione iniziale è tata incorporata nel circuito nella forma di un generatore di tenione di valore Lið0Þ LI o. Mediante l analii agli anelli, da cui IðÞ LI o R þ L þ IðÞðR þ LÞ LI o V o V o ðr þ LÞ 0 I o þ R=L þ V o =L ð þ R=LÞ ð7:3:þ ð7:3:2þ Applicando l epanione in frazioni parziali al econdo termine nel econdo membro della (7.3.2) i ottiene I o IðÞ þ R=L þ V o=r V o=r ð7:3:3þ ð þ R=LÞ La antitraformata della epreione precedente riulta iðtþ I o V o e t= þ V o R R, t 0 ð7:3:4þ con R=L. Il termine tra parentei è la ripota tranitoria, mentre l altro è la ripota a regime. In altre parole, il valore finale è iðþ V o =R, che i arebbe potuto prevedere anche applicando il teorema del valore finale alla (7.3.2) o alla (7.3.3); cioè I o lim IðÞ lim!0!0 þ R=L þ V o=l þ R=L V o R ð7:3:5þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

7 7.3 Analii dei circuiti 7 La (7.3.4) può anche eere critta nella forma iðtþ I o e t= þ V o R ð e t= Þ, t 0 ð7:3:6þ Il primo termine rappreenta la ripota naturale, e il econdo la ripota forzata. Se la condizione iniziale è I o 0, la (7.3.6) diventa iðtþ V o R ð e t= Þ, t 0 ð7:3:7þ che è la ripota al gradino, eendo dovuta a un ingreo a gradino V o in aenza di energia iniziale. n Eercizio 7.3 L interruttore in Figura 7. è rimato in poizione b per molto tempo. Viene potato nella poizione a in t 0. Determinare vðtþ per t > 0. Figura 7. Per l Eercizio 7.3. Ripota vðtþ ðv o I o RÞe t= þ I o R, t > 0, dove RC: n 7.3 ANALISI DEI CIRCUITI Anche l analii dei circuiti i rivela relativamente emplice da eeguire nel dominio : i deve oltanto traformare un inieme, anche complicato, di relazioni matematiche dal dominio del tempo al dominio, dove gli operatori derivata e integrale vengono convertiti in emplici moltiplicazioni per o per =. Ciòpermette di fare uo dei metodi dell algebra elementare per riolvere le equazioni circuitali. L apetto intereante di tutto ciò èche tutte le relazioni e i teoremi viluppati per i circuiti in regime tazionario rimangono validi per i circuiti decritti nel dominio. Si ricordi che i circuiti equivalenti, e contengono condenatori e induttori, eitono oltanto nel dominio e non poono eere ritraformati al dominio del tempo. Eempio 7.4 Si conideri il circuito in Figura 7.2(a). Si determini la tenione ul condenatore e v ðtþ 0uðtÞ V e upponendo che all itante t 0 la corrente nell induttore ia A e la tenione ul condenatore valga þ5 V. 0 3 Ω v (t) 5 H 0. F V 0 3 Ω 5 H V i(0) 0. F v(0) Figura 7.2 Per l Eempio 7.4. (a) (b) Soluzione: La Figura 7.2(b) rappreenta il circuito completo nel dominio con le condizioni iniziali incorporate. Ci i trova quindi di fronte a un emplice problema di analii nodale. Poichè il valore di V corriponde al valore della tenione del condenatore nel dominio del tempo ed è l unica tenione di nodo incognita, è neceario crivere una ola equazione. V V 0=3 þ V 0 ið0þ þ V ½vð0Þ=Š 0 5 =ð0:þ ð7:4:þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

8 8 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace cioè 0: þ 3 þ 2 V 3 þ þ 0:5 ð7:4:2þ con vð0þ 5V e ið0þ A. Semplificando, i ottiene da cui ð 2 þ 3 þ 2ÞV 40 þ 5 V 40 þ 5 ð þ Þð þ 2Þ 35 þ 30 þ 2 ð7:4:3þ Antitraformando econdo Laplace i ha v ðtþ ð35e t 30e 2t ÞuðtÞV ð7:4:4þ n Eercizio 7.4 Nel circuito di Figura 7.2, con le tee condizioni iniziali, determinare la corrente nell induttore per ogni t > 0. Ripota: iðtþ ð3 7e t þ 3e 2t ÞuðtÞ A. n Eempio 7.5 Nel circuito motrato in Figura 7.2, e con le condizioni iniziali pecificate nell Eempio 7.4, i utilizzi la ovrappoizione degli effetti per calcolare il valore della tenione ul condenatore. Soluzione: Poichè il circuito nel dominio ha tre generatori indipendenti, i può affrontare la oluzione con un generatore alla volta. La Figura 7.3 motra i circuiti nel dominio ottenuti coniderando un olo generatore alla volta. Si hanno ora da riolvere tre problemi di analii nodale. Si determina innanzitutto la tenione del condenatore nel circuito di Figura 7.3(a). V V 0=3 þ V 0 0 þ V 0 5 =ð0:þ 0 cioè 0: þ 3 þ 2 V Ω V 0 3 Ω V Ω V 3 0. F 0. F 0. F 0 5 H H i(0) H 0 v(0) (a) (b) (c) Figura 7.3 Per l Eempio 7.5 Semplificando, i ottiene da cui ð 2 þ 3 þ 2ÞV V ð þ Þð þ 2Þ 30 þ 30 þ 2 v ðtþ ð30e t 30e 2t ÞuðtÞV ð7:5:þ Per la Figura 7.3(b) i ha, V 2 0 0=3 þ V þ V 2 0 =ð0:þ 0 cioè 0: þ 3 þ 2 V 2 Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

9 7.3 Analii dei circuiti 9 Si ottiene quindi Antitraformando, Per la Figura 7.3(c), da cui V 2 0 ð þ Þð þ 2Þ 0 þ 0 þ 2 v 2 ðtþ ð0e t 0e 2t ÞuðtÞV V 3 0 0=3 þ V þ V 3 5= 5 =ð0:þ 0 0: þ 3 þ 2 V 3 0:5 ð7:5:2þ Nel dominio del tempo V 3 5 ð þ Þð þ 2Þ 5 þ þ 0 þ 2 v 3 ðtþ ð 5e t þ 0e 2t ÞuðtÞV Ciò che reta da fare è ommare le (7.5.), (7.5.2) e (7.5.3). vðtþ v ðtþþv 2 ðtþþv 3 ðtþ fð30 þ 0 5Þe t þð 30 þ 0 0Þe 2t guðtþv ð7:5:3þ cioè vðtþ ð35e t 30e 2t ÞuðtÞV che è in accordo con la ripota dell Eempio 7.4. n Eercizio 7.5 Per il circuito in Figura 7.2, e per le tee condizioni iniziali dell Eempio 7.4, determinare la corrente nell induttore per ogni t > 0 utilizzando la ovrappoizione degli effetti. Ripota iðtþ ð3 7e t þ 3e 2t ÞuðtÞA. Eempio 7.6 nz Si upponga che l energia iniziale immagazzinata nel circuito di Figura 7.4 ia nulla per t 0e che i 0uðtÞA. (a) Determinare V o ðþ uando il teorema di Thevenin. (b) Applicare i teoremi del valore iniziale e del valore finale per calcolare v o ð0 þ Þ e v o ðþ. (c) Determinare v o ðtþ. i x 2 H Figura 7.4 Per l Eempio 7.6. i 2i x 5 Ω v o (t) 5 Ω Soluzione: Poichè l energia iniziale immagazzinata nel circuito è nulla, i uppone che le correnti iniziali negli induttori e le tenioni iniziali dei condenatori iano nulle nell itante t 0. I x 2 a I x 2 a Figura 7.5 Per l Eempio 7.6: (a) calcolo di V Th, (b) calcolo di Z Th. 0 2I x V Th 0 2I x I c 5 (a) b 5 (b) b Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

10 0 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace (a) Per determinare il circuito equivalente di Thevenin, i rimuove il reitore da 5 e i calcolano V oc ðv Th Þ e I c.perv Th, i ua il circuito traformato econdo Laplace di Figura 7.5(a). Eendo I x 0, il generatore dipendente di tenione non dà neun contributo, e quindi V oc V Th Per determinare Z Th, i conidera il circuito in Figura 7.5(b), in cui i calcola dapprima I c. Si può utilizzare l analii nodale per riolvere ripetto a V, da cui poi i perviene a I c ði c I x V =2Þ. e inoltre di coneguenza Ne egue e 0 þ ðv 2I x Þ 0 5 I c V 2 Z Th V oc I c I x V 2 V 00 2 þ 3 00=ð2 þ 3Þ 2 þ V ð2 þ 3Þ 50= 50=½ð2 þ 3ÞŠ 2 þ 3 Il circuito dato viene otituito dal uo equivalente Thevenin ai terminali a b, come i vede in Figura 7.6. Dalla Figura 7.6, V o V Th 5 þ Z Th 5 þ 2 þ 3 ð2 þ 8Þ 25 ð þ 4Þ Figura 7.6 Equivalente Thevenin del circuito in Figura 7.4 ai terminali a-b nel dominio. V Th Z Th 5 Ω a V o b (b) Uando il teorema del valore iniziale, Per il teorema del valore finale, v o ð0þ lim! V oðþ lim! 25 þ 4 lim! 25= þ 4= v o ðþ lim V o ðþ lim!0!0 þ :25V (c) Epandendo in frazioni parziali, V o 25 ð þ 4Þ A þ B þ 4 A V o ðþ 25 0 þ 4 3:25 0 B ð þ 4ÞV o ðþ :25 4 V o 3:25 Antitraformando infine i ottiene 3:25 þ 4 v o ðtþ 3:25ð e 4t ÞuðtÞV Si noti che i valori di v o ð0þ e v o ðþ ottenuti nella parte (b) coincidono con quelli calcolati dall epreione precedente. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

11 7.4 Funzioni di traferimento n Eercizio 7.6 L energia iniziale nel circuito di Figura 7.7 è nulla per t 0. Si upponga v 5uðtÞV. (a) Determinare V o ðþ uando il teorema di Thevenin. (b) Applicare i teoremi del valore iniziale e del valore finale per determinare v o ð0þ e v o ðþ. (c) Calcolare v o ðtþ. i x Ω F Figura 7.7 Per l Eercizio 7.6. v v o 2 Ω 4ix Ripota (a) V o ðþ 5ð5þÞ ðþ0:3þðþ5þ, (b) 0, V, (c) ð3:333 þ :773e 0:3t 5:063e 5t ÞuðtÞV. n 7.4 FUNZIONI DI TRASFERIMENTO La funzione di traferimento rappreenta uno dei concetti più importanti nella elaborazione dei egnali, perché indica il modo nel quale un egnale viene elaborato, nel uo paaggio attravero una rete. Ea cotituice uno trumento particolarmente adatto a determinare la ripota della rete, a valutare (o progettare) la tabilità della rete, e per la intei delle reti in genere. La funzione di traferimento di una rete decrive il comportamento dell ucita in rapporto all ingreo, e pecifica come avviene il traferimento dall ingreo all ucita nel dominio, upponendo che non eita energia iniziale nella rete. Riaumendo, La funzione di traferimento 4 HðÞ è il rapporto fra la ripota in ucita YðÞ e l eccitazione in ingreo XðÞ, upponendo nulle tutte le condizioni iniziali. Y ðþ X ðþ ð7:5þ La funzione di traferimento dipende da ciò che viene definito come ingreo e ucita. Poiché ia l ingreo che l ucita poono eere una corrente oppure una tenione, in un qualunque punto del circuito, eitono quattro poibili tipi di funzione di traferimento 5 : Guadagno di tenione V oðþ ð7:6aþ V i ðþ Guadagno di corrente I oðþ I i ðþ Impedenza VðÞ IðÞ Ammettenza IðÞ VðÞ ð7:6bþ ð7:6cþ ð7:6dþ Un circuito può quindi avere molte funzioni di traferimento. Si noti che HðÞ è adimenionale nelle (7.6a) e (7.6b). 4 Per le reti elettriche, la funzione di traferimento è nota anche come funzione di rete. 5 Alcuni autori non coniderano funzioni di traferimento le (6.6c) e (6.6d). Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

12 2 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Ciacuna delle funzioni di traferimento della (7.6) può eere determinata in due modi. Il primo conite nel upporre che l ingreo ia un qualiai egnale conveniente X ðþ, nell utilizzare un opportuno metodo di analii per il circuito (quale per eempio il partitore di tenione o di corrente, l analii nodale, l analii agli anelli) per determinare l ucita Y ðþ, e infine calcolare il rapporto tra le due traformate. L altro approccio prevede l applicazione del metodo a cala, che richiede di eguire un percoro invero all interno del circuito. In eo, i uppone che il valore dell ucita ia prefiato (per eempio V o A o un qualunque valore conveniente), e i uano le leggi fondamentali di Ohm e di Kirchhoff (olo la KCL) per ottenere l ingreo. La funzione di traferimento riulta allora pari all unità divia per l ingreo trovato. Il metodo a cala può riultare più conveniente da uare quando il circuito ha molte maglie o nodi, e quindi l applicazione della analii nodale o agli anelli riulta oneroa. Nel primo metodo, i preuppone il valore dell ingreo e i determina l ucita; nel econdo, i preuppone il valore dell ucita e i determina l ingreo. In entrambi i metodi, HðÞ viene calcolata come rapporto fra le traformate di ucita e ingreo. Entrambi i metodi i baano ulla proprietà di linearità, poiché in queto libro ci i occupa oltanto di circuiti lineari. L Eempio 7.7 illutra meglio tutti e due metodi. La (7.5) uppone che X ðþ e Y ðþ iano note. A volte, i conoce l ingreo X ðþ e la funzione di traferimento HðÞ; l ucita Y ðþ i determina allora con Y ðþ HðÞX ðþ ð7:7þ antitraformando poi per ottenere yðtþ. Un cao particolare i ha quando l ingreo è la funzione impulo unitario, xðtþ ðtþ, coì che X ðþ. In queto cao dove Y ðþ HðÞ o yðtþ hðtþ ð7:8þ hðtþ L ½HðÞŠ ð7:9þ Il termine hðtþ rappreenta la ripota all impulo unitario la ripota nel dominio del tempo a un impulo unitario. La (7.9) fornice quindi una nuova importante interpretazione per la funzione di traferimento: HðÞ è la traformata di Laplace della ripota all impulo unitario della rete. Una volta nota la ripota all impulo hðtþ di una rete, è poibile ottenere la ripota della rete a qualunque egnale di ingreo mediante la (7.7) nel dominio, oppure uando l integrale di convoluzione (i veda il paragrafo 5.5) nel dominio del tempo. Eempio 7.7 L ucita di un itema lineare è yðtþ 0e t co 4tuðtÞ quando l ingreo è xðtþ e t uðtþ. Determinare la funzione di traferimento del itema e la ua ripota all impulo. Soluzione: Se xðtþ e t uðtþ e yðtþ 0e t co 4tuðtÞ, allora X ðþ þ e Y ðþ 0ð þ Þ ð þ Þ 2 þ 4 2 Quindi, YðÞ X ðþ 0ð þ Þ2 ð þ Þ 2 þ 6 0ð2 þ 2 þ Þ 2 þ 2 þ 7 Per determinare hðtþ, i crive HðÞ come ð þ Þ 2 þ 2 2 Dalla Tabella 7., i ottiene hðtþ 06ðtÞ 4e t in 4tuðtÞ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

13 7.4 Funzioni di traferimento 3 n Eercizio 7.7 La funzione di traferimento di un itema lineare è 2 þ 6 Determinare l ucita yðtþ dovuta all ingreo e 3t uðtþ e la ripota all impulo. Ripota: 2e 3t þ 4e 6t, t 0, 2ðtÞ 2e 6t uðtþ. n Eempio 7.8 Determinare la funzione di traferimento V o ðþ=i o ðþ del circuito in Fig Figura 7.8 Per l Eempio 7.8. Soluzione: METODO Per il partitore di corrente, Ma Quindi, I 2 V o 2I 2 V oðþ I o ðþ ð þ 4ÞI o þ 4 þ 2 þ =2 2ð þ 4ÞI o þ 6 þ =2 4ð þ 4Þ 2 2 þ 2 þ METODO 2 Si può applicare il metodo a cala. Ponendo V o V, per la legge di Ohm, I 2 V o =2 =2 A.La tenione ull impedenza ð2 þ =2Þ è V I 2 2 þ þ þ 4 Queta coincide con la tenione ull impedenza ð þ 4Þ. Ne egue, Applicando la KCL al nodo uperiore Quindi, come prima. I V þ 4 4 þ 4ð þ 4Þ I o I þ I 2 4 þ 4ð þ 4Þ þ 2 22 þ 2 þ 4ð þ 4Þ V o I o I o 4ð þ 4Þ 2 2 þ 2 þ n Eercizio 7.8 Calcolare la funzione di traferimento I ðþ=i o ðþ nel circuito di Figura 7.8. Ripota 4 þ 2 2 þ 2 þ. n Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

14 4 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Eempio 7.9 Per il circuito nel dominio di Figura 7.9, calcolare: (a) la funzione di traferimento V o =V i, (b) la ripota all impulo, (c) la ripota quando v i ðtþ uðtþ V, (d) la ripota quando v i ðtþ 8 co 2t V. Figura 7.9 Per l Eempio 7.9. Soluzione: (a) Per il partitore di tenione, Ma cioè V ab V o þ V ab kð þ Þ þ kð þ Þ V i Sotituendo la (7.9.2) nella (7.9.) i ottiene V ab þ 2 þ 3 V i ð þ Þ=ð þ 2Þ þð þ Þ=ð þ 2Þ V i ð7:9:þ ð7:9:2þ Perciò, la funzione di traferimento è (b) È poibile crivere HðÞ come V o V i 2 þ 3 V o V i 2 þ 3 2 þ 3 2 La ua antitraformata di Laplace è la ripota all impulo richieta: (c) Quando v i ðtþ uðtþ, V i ðþ =,e V o ðþ HðÞV i ðþ hðtþ 2 e 3t=2 uðtþ 2ð þ 3 2 Þ A þ B þ 3 2 con A V o ðþj 0 2ð þ 3 2 Þ 3 0 B þ 3 V o ðþj 2 3=2 2 3=2 3 Perciò, per v i ðtþ uðtþ, e la ua antitraformata di Laplace è V o ðþ 3! þ 3 2 (d) Quando v i ðtþ 8 co 2t, V i ðþ v o ðtþ 3 ð e 3t=2 ÞuðtÞ V 8 2 þ 4,e V o ðþ HðÞV i ðþ A þ 3 2 þ B þ C 2 þ 4 4 ð þ 3 2 Þð2 þ 4Þ ð7:9:3þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

15 7.5 Variabili di tato 5 con A þ 3 2 V o ðþj 3=2 4 2 þ =2 25 Per determinare B e C, i moltiplica la (7.9.3) per ð þ 3=2Þð 2 þ 4Þ. Si ottiene 4 Að 2 þ 4ÞþB 2 þ 3 2 þ C þ 3 2 Eguagliando i coefficienti, Cotante: 0 4A þ 3 2 C ) C 8 3 A : B þ C 2 : 0 A þ B ) B A Riolvendo i trova A 24=25, B 24=25, C 64=25. Perciò, per v i ðtþ 8 co 2t V, V o ðþ þ 3 2 þ þ 4 þ þ 4 e la ua antitraformata è v o ðtþ e 3t=2 þ co 2t þ 4 3 in 2t uðtþ V n Eercizio 7.9 Ripetere l Eempio 7.9 per il circuito motrato in Figura Figura 7.20 Per l Eercizio 7.9. Ripota: (a) 2=ð þ 4Þ,(b)2e 4t uðtþ,(c) 2 ð e 4t ÞuðtÞ V, (d) 3 2 ðe 4t þ co 2t þ 2 in 2tÞuðtÞ V. n 7.5 VARIABILIDISTATO Fino a queto punto, nel preente teto, ono tate introdotte tecniche utili all analii di itemi con un olo ingreo e una ola ucita. Molti itemi intereanti per l ingegneria ono invece dotati di più ingrei e più ucite, come motrato in Figura 7.2. Il metodo delle variabili di tato rappreenta un importante trumento per l analii e per la comprenione di queti itemi di elevata compleità. Il modello baato ulle variabili di tato è perciò piùgenerale del modello a ingolo ingreo e ingola ucita, quale è quello delle funzioni di traferimento. Nonotante ia in realtà impoibile trattare eaurientemente l argomento in un ingolo capitolo, e meno che meno in un ingolo paragrafo, e ne darà nel paragrafo preente una elementare introduzione. z z 2 Sitema lineare y y 2 Figura 7.2 Sitema lineare con m ingrei e p ucite. z m Segnali di ingreo y p Segnali di ucita Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

16 6 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Nel modello baato ulle variabili di tato, viene pecificato un inieme di variabili in grado di decrivere completamente il comportamento interno del itema. Quete variabili ono note come variabili di tato del itema, e ono in grado di determinare il comportamento futuro di un itema quando iano noti lo tato preente del itema e i egnali di ingreo. In altre parole, ono le variabili che, quando note, conentono di determinare tutti gli altri parametri del itema facendo uo oltanto di equazioni algebriche. Una variabile di tato è una proprietà fiica che caratterizza lo tato di un itema, indipendentemente dal modo con cui il itema è arrivato a quello tato. Eempi comuni di variabili di tato ono la preione, il volume e la temperatura. In un circuito elettrico, le variabili di tato ono le tenioni dei condenatori e le correnti degli induttori, che decrivono lo tato compleivo del itema in termini della ua energia. Il modo più conueto di rappreentare le equazioni di tato è quello di diporle in un itema di equazioni differenziali del primo ordine: dove _x Ax þ Bz ð7:20þ 2 3 x ðtþ x 2 ðtþ xðtþ 6. 7 vettore di tato che rappreenta n variabili di tato 4 5 x n ðtþ e il puntino rappreenta la derivata prima ripetto al tempo, cioè, 2 3 _x ðtþ _x 2 ðtþ _xðtþ _x n ðtþ e 2 3 z ðtþ z 2 ðtþ zðtþ 6. 7 vettore di ingreo che rappreenta m ingrei 4 5 z m ðtþ A e B ono matrici n n e n m ripettivamente. Oltre alle equazioni di tato (7.20), è necearia anche l equazione di ucita. Il modello di tato, o modello completo nello pazio degli tati, è allora _x Ax þ Bz (7.2a) y Cx þ Dz (7.2b) 2 3 y ðtþ y 2 ðtþ dove yðtþ 6. 7 vettore di ucita che rappreenta p ucite. C e D ono, ripet- 4 5 y p ðtþ tivamente, matrici p n e p m. Nel cao particolare di un olo ingreo e una ola ucita, n m p. Suppote nulle le condizioni iniziali, la funzione di traferimento del itema i determina facendo la traformata di Laplace della (7.2a); i ottiene XðÞ AX ðþþbzðþ! ði AÞXðÞ BZðÞ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

17 7.5 Variabili di tato 7 e quindi XðÞ ði AÞ BZðÞ ð7:22þ dove I è la matrice identità. Traformando econdo Laplace anche la (7.2b) i ha YðÞ CX ðþþdzðþ ð7:23þ Sotituendo la (7.22) nella (7.23) e dividendo per ZðÞ i ottiene la funzione di traferimento dove Y ðþ ZðÞ CðI AÞ B þ D A matrice del itema B matrice di ingreo C matrice di ucita D matrice feedforward ð7:24þ Nella maggioranza dei cai, D 0, e quindi il grado del numeratore di HðÞ nella (7.24) è minore di quello del denominatore. Allora, CðI AÞ B (7.25) Proprio per la preenza di numeroi calcoli con le matrici, MATLAB i rivela un utile trumento per calcolare la funzione di traferimento. Il procedimento di applicazione del metodo delle variabili di tato alla analii di un circuito è cotituito dai eguenti tre pai. Fai della applicazione del metodo delle variabili di tato alla analii dei circuiti:. Scegliere la corrente nell induttore i e la tenione del condenatore v come variabili di tato, aicurandoi che riultino in accordo con la convenzione degli utilizzatori. 2. Applicare la KCL e la KVL al circuito per ottenere le variabili circuitali (tenioni e correnti) in termini delle variabili di tato. Ciò dovrebbe portare a formulare un itema di equazioni differenziali del primo ordine necearie e ufficienti per determinare tutte le variabili di tato. 3. Ricavare l equazione di ucita ed eprimere il riultato finale nella rappreentazione dello pazio degli tati. I pai e 3 ono di olito molto emplici; il pao 2 è invece quello di eecuzione delicata. Si illutrerà il procedimento, come di conueto, con eempi. Eempio 7.7 Determinare la rappreentazione nello pazio degli tati del circuito in Figura Calcolare la funzione di traferimento del circuito quando v è preo come ingreo e i x è l ucita. Si ponga R ; C 0:25 F e L 0:5H.. v i L v L R i x i c C v Figura 7.22 Per l Eempio 7.0. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

18 8 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Soluzione: Si celgono la corrente nell induttore i e la tenione ul condenatore v come variabili di tato. Applicando la KCL al nodo i ottiene cioè v L L di dt i C C dv dt i i x þ i C! C dv dt _v v RC þ i C i v R perchè iar che C hanno la tea tenione v. Applicando la KVL alla maglia eterna i ha v v L þ v! L di dt v þ v ð7:0:þ ð7:0:2þ ð7:0:3þ _i v L þ v L Le (7.0.3) e (7.0.4) ono le equazioni di tato. Se i conidera i x come ucita, i x v R Ricrivendo le (7.0.3) e (7.0.4) nella forma tandard i ottiene " # _v RC C v i _ þ 4 5v L 0 i L i x v 0 R i ð7:0:4þ ð7:0:5þ ð7:0:6aþ ð7:0:6bþ Se R ; C 4 e L 2, dalla (7.0.6) i ricavano le matrici " # A RC C L 0 Invertendo quet ultima matrice i ha C R 0 ½, B 0 L 0Š 0, 2 I A þ ði AÞ aggiunta di A determinante di A 4 2 þ 4 2 þ 4 þ 8 La funzione di traferimento è allora 4 0 ½ 0Š CðI AÞ 2 þ 4 2 B 2 þ 4 þ þ 4 þ 8 ½ 0Š 8 2 þ 8 2 þ 4 þ 8 che è lo teo riultato che i arebbe ottenuto traformando direttamente il circuito econdo Laplace e ricavando I x ðþ=v ðþ. Il vero vantaggio dell approccio baato ulle variabili di tato i apprezza nel cao di ingrei e ucite multipli. Nel cao preente c era un olo ingreo v e una ola ucita i x. Nel proimo eempio, i analizzerà invece un circuito con due ingrei e due ucite. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

19 7.5 Variabili di tato 9 n Eercizio 7.0 Ricavare il modello baato ulle variabili di tato per il circuito motrato in Figura Si ponga R ; R 2 2; C 0:5 e L 0:2 e i determini la funzione di traferimento. L v R C R 2 v o Figura Per l Eercizio 7.0. Ripota " # _v R i _ C C 20 2 þ 2 þ 30 L R 2 L v i þ " # R C 0 v ; v o ½0 R 2 Š v i n Eempio 7. Si conideri il circuito in Figura 7.24, che può eere coniderato come un itema a due ingrei e due ucite. Se ne determini il modello a variabili di tato e la funzione di traferimento del itema. i Ω i 2 Ω 2 3 Ω o i v o v H v 6 v 3 F i Figura Per l Eempio 7.. Soluzione: In queto circuito ci ono due ingrei, v e v i e due ucite, v o e i o. Anche in queto cao i celgono la corrente dell induttore i e la tenione del condenatore v come variabili di tato. Applicando la KVL all anello di initra i ha v þ i þ 6 _ i 0! _i 6v 6i ð7::þ Biogna eliminare l incognita i. Applicando la KVL alla maglia formata da v, dal reitore da, quello da 2 e dal condenatore da 3 F i ottiene v i þ v o þ v ð7::2þ Ma al nodo, per la KCL, Sotituendo nella (7..2), i i þ v o 2 v 3i þ v 2i! i 2i v þ v 3 Sotituendo il riultato nella (7..),! v o 2ði iþ ð7::3þ _i 2v 4i þ 4v che cotituice la prima equazione di tato. Per ottenere la econda, i applica la KCL al nodo 2. ð7::4þ ð7::5þ v o 2 3 _v þ i o! _v 3 2 v o 3i o ð7::6þ Si devono eliminare le incognite v o e i o. Dall anello di detra, è evidente che i o v v i 3 Sotituendo la (7..4) nella (7..3) i ha v o 2 2i v þ v 3 i 2 3 ðv þ i v Þ Sotituendo le (7..7) e (7..8) nella (7..6) i ricava la econda equazione di tato _v 2v i þ v þ v i ð7::7þ ð7::8þ ð7::9þ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

20 20 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Le due equazioni di ucita ono già tate ottenute nelle (7..7) e (7..8). Ricrivendo la (7..5) e le Equazioni da (7..7) a (7..9) nella forma tandard i ottiene il modello a variabili di tato del circuito, _v i _ v o i o 2 v 2 4 i " # v 3 0 i þ 4 0 þ v v i v v i ð7::0aþ ð7::0bþ n Eercizio 7. Determinare il modello baato ulle variabili di tato per il circuito di Figura Coniderare v o e i o come variabili di ucita. Figura 7.25 Per l Eercizio 7.. v o 4 H i Ω 2 Ω i 2 2 F i o Ripota _v i _ v i þ i i 2 v o i o 0 0 v i þ i i 2 n Eempio 7.2 Si upponga di avere un itema la cui ucita è yðtþ e il cui ingreo è zðtþ. Si upponga inoltre che la relazione tra l ingreo e l ucita ia decritta dalla eguente equazione differenziale: d 2 yðtþ dt 2 þ 3 dyðtþ dt þ 2yðtÞ 5zðtÞ ð7:2:þ Si determinino il modello di tato e la funzione di traferimento del itema. Soluzione: Si celgono innanzitutto le variabili di tato. Sia x yðtþ; allora, Sia ora _x _yðtþ x 2 _x _yðtþ ð7:2:2:þ ð7:2:3þ Si noti che in queto cao i ta trattando un itema del econdo ordine, che di norma preenta due termini del primo ordine nella oluzione. Si ha ora _x 2 yðtþ, in cui è poibile eprimere il valore di _x 2 uando la (7.2.), cioè _x 2 yðtþ 2yðtÞ 3 _yðtþþ5zðtþ 2x 3x 2 þ 5zðtÞ ð7:2:4þ Uando le Equazioni da (7.2.2) a (7.2.4), i poono ora crivere le eguenti equazioni matriciali: _x 0 x þ 0 zðtþ ð7:2:5þ _x x 2 5 x yðtþ ½ 0Š x 2 ð7:2:6þ Si determina ora la funzione di traferimento. I A þ 3 La ua invera è ði AÞ þ 3 2 ð þ 3Þþ2 Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

21 7.6 Applicazioni 2 La funzione di traferimento è allora ð 0Þ þ ð 0Þ CðI AÞ B ð þ 3Þþ2 ð þ 3Þþ2 5 ð þ Þð þ 2Þ Per verificarla, i può calcolare direttamente la traformata di Laplace di ciacuno dei termini della (7.2.). Eendo nulle le condizioni iniziali, i ottiene ½ 2 þ 3 þ 2ŠYðÞ 5ZðÞ! YðÞ ZðÞ 5 2 þ 3 þ 2 che è in accordo con il riultato appena ottenuto. n Eercizio 7.2 Scrivere un itema di equazioni di tato che rappreentino la eguente equazione differenziale. d 3 y dt 3 þ 6 d2 y dt 2 dy þ þ 6y zðtþ dt Ripota A ; B 4 0 5; C ½ 0 0Š: 6 6 n 7.6 APPLICAZIONIy Sono tate fino a qui coniderate tre applicazioni della traformata di Laplace: l analii dei circuiti con ingrei comunque variabili, la determinazione di funzioni di traferimento e la rioluzione di equazioni integrodifferenziali. La traformata di Laplace trova applicazione anche in altre aree della analii dei circuiti, della elaborazione dei egnali e dei itemi di controllo. Verranno ora qui preentate due altre importanti applicazioni: la tabilità delle reti e la intei dei circuiti Stabilità Un circuito i dice tabile e la ua ripota all impulo hðtþ i mantiene limitata (cioè e hðtþ converge a un valore finito) quando t!;idiceintabile e hðtþ crece invece enza limite per t!. In termini matematici, un circuito è tabile quando lim jhðtþj < ð7:26þ t! Poiché la funzione di traferimento HðÞ è la traformata di Laplace della ripota all impulo hðtþ, HðÞ dovrà oddifare a un qualche criterio affinché la (7.26) riulti verificata. Si ricordi che HðÞ può eere critta come NðÞ DðÞ ð7:27þ in cui le radici di N ðþ 0 i chiamano zeri di HðÞ, perché rendono 0, mentre le radici di DðÞ 0 i chiamano poli di HðÞ perché provocano HðÞ!.Gli zeri e i poli di HðÞ peo ono ituati nel piano come i vede in Figura 7.26(a). Si ricordi dalle (5.47) e (5.48) che HðÞ può anche eere critta in termini dei uoi poli come NðÞ DðÞ NðÞ ð þ p Þð þ p 2 Þð þ p n Þ ð7:28þ HðÞ deve oddifare a due requiiti perché il circuito ia tabile. Il primo è che il gra- Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

22 22 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Figura 7.26 Il piano compleo : (a) poizioni di poli e zeri, (b) emipiano initro do di NðÞ deve eere minore del grado di DðÞ; in cao contrario, la diviione dei polinomi produrrebbe k n n þ k n n þþk þ k 0 þ RðÞ DðÞ ð7:29þ in cui il grado di RðÞ, il reto della diviione, è minore del grado di DðÞ. L antitraformata di HðÞ nella (7.29) non oddifa la condizione della (7.26). Come econdo requiito, tutti i poli di HðÞ nella (7.27) (cioè, tutte le radici di DðÞ 0) devono avere parte reale negativa; in altre parole, tutti i poli devono riiedere nella metà initra del piano, come motra l eempio di Figura 7.26(b). La ragione di ciò riulta evidente e i eegue la antitraformata di Laplace di HðÞ nella (7.27). Poiché la (7.27) è imile alla (5.48), la ua epanione in frazioni parziali è imile a quella della (5.53) e quindi l antitraformata di HðÞ riulta imile alla (5.53). Allora, hðtþ ðk e p t þ k 2 e p 2t þþk n e p nt Þ ð7:30þ Da queta equazione i vede che ciacun polo p i deve eere poitivo (cioè, il polo p i deve tare nel emipiano initro) affinché e p it diminuica al crecere di t. Riaumendo, Un circuito è tabile quando tutti i poli della ua funzione di traferimento HðÞ ono ituati nella metà initra del piano. Figura 7.27 Circuito RLC erie. Un circuito intabile non raggiunge mai la condizione di regime, perché la ripota tranitoria non tende a zero al paare del tempo. Di coneguenza, l analii a regime (tazionario o inuoidale) può eere applicata olo ai circuiti tabili. Un circuito cotituito di oli elementi paivi (R, L e C) e generatori indipendenti non può eere intabile, perché ciòimplicherebbe che una qualche corrente o tenione di ramo crece indefinitamente, in preenza di generatori tutti a zero. Gli elementi paivi non poono dare luogo a una imile crecita indefinita. I circuiti paivi ono quindi tabili, oppure hanno poli con parte reale nulla. Per convincerene, i conideri il circuito RLC erie in Figura La funzione di traferimento è data da cioè V o V =C R þ L þ =C =LC 2 þ R=L þ =LC ð7:3þ Si noti che DðÞ 2 þ R=L þ =LC 0 coincide con l equazione caratteritica ottenuta per il circuito RLC erie nella (8.8). Il circuito ha i poli in p p ;2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2! 2 0 ð7:32þ con R 2L,! 0 LC Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

23 Per R, L, C > 0, i due poli ono empre ituati nella metà di initra del piano, il che ignifica che il circuito è empre tabile. Tuttavia, quando R 0, 0 e il circuito diviene intabile. Nonotante queta ia una ituazione teoricamente poibile, nella pratica ea non può mai preentari perché R non è mai eattamente zero. D altra parte, circuiti attivi o circuiti paivi contenenti generatori comandati poono produrre energia, e quindi poono diventare intabili. Infatti, un tipico eempio di circuito progettato per eere intabile è un ocillatore. Un ocillatore viene progettato in modo che la ua funzione di traferimento abbia la forma NðÞ 2 þ! 0 2 in modo che l ucita riulti inuoidale. Eempio 7.3 NðÞ ð þ j! 0 Þð j! 0 Þ Determinare i valori di k per i quali il circuito di Figura 7.28 riulta tabile. 7.6 Applicazioni 23 ð7:33þ Figura 7.28 Per l Eempio 7.3. Soluzione: Applicando l analii agli anelli al circuito del primo ordine in Figura 7.28 i ottiene V i R þ I I 2 ð7:3:þ C C e 0 ki þ R þ I 2 I C C o anche 0 k þ I þ R þ I 2 ð7:3:2þ C C Le (7.3.) e (7.3.2) poono eere critte in forma matriciale 2 R þ 3 V i C C I k þ R þ 7 5 I 2 C C Il determinante è R þ 2 k C C 2 C 2 L equazione caratteritica ( 0) fornice un polo ingolo in p k 2R R 2 C R2 C þ 2R k C ð7:3:3þ che riulta negativo quando k < 2R. Si conclude perciò che il circuito è tabile quando k < 2R, eintabile per k > 2R. n Eercizio 7.3 Per quale valore di il circuito in Figura 7.29 riulta tabile? Figura 7.29 Per l Eercizio 7.3. Ripota >=R. n Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

24 24 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Eempio 7.4 Un filtro attivo ha la funzione di traferimento Per quali valori di k il filtro riulta tabile? k 2 þ ð4 kþþ Soluzione: Trattandoi di un circuito del econdo ordine, HðÞ può eere critta come NðÞ 2 þ b þ c con b 4 k, c enðþ k: I poli ono dati da p 2 þ bp þ c 0, cioè p ;2 b p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b 2 4c 2 Perché il circuito riulti tabile, i poli devono eere ituati nel emipiano initro del piano. Queto implica che b > 0. Applicando tutto ciò alla HðÞ data i conclude che, affinché il circuito riulti tabile, deve eere 4 k > 0cioèk < 4. n Eercizio 7.4 Un circuito attivo del econdo ordine ha funzione di traferimento 2 þ ð0 þ Þþ25 Determinare l intervallo dei valori di per i quali il circuito è tabile. Qual è il valore di che dà luogo a ocillazioni? Ripota > 0, 0. n Sintei La intei delle reti può eere definita come il procedimento per ottenere una opportuna rete in modo che ea poieda una funzione di traferimento aegnata. Nella analii delle reti, i determina la funzione di traferimento per una rete aegnata. Nella intei, il problema è l invero: data una funzione di traferimento, i vuole determinare la rete corripondente. La intei conite nel cotruire una rete che ammetta una data funzione di traferimento. Si tenga preente che nei problemi di intei i poono avere molte ripote divere o anche neuna ripota perché eitono molti circuiti che poono eere uati per rappreentare la tea funzione di traferimento; nella analii delle reti, invece, c è empre una e una ola ripota. La intei delle reti è un campo di etrema importanza per l ingegneria. La capacità di eaminare una funzione di traferimento e di capire quale circuito ea rappreenta è una importante dote del progettita di circuiti. La intei dei circuiti richiederebbe un intero coro per la ua preentazione e preuppone inoltre una buona doe di eperienza; gli eempi che eguono ervono come introduzione al problema. Eempio 7.5 Data la funzione di traferimento V oðþ V i ðþ 0 2 þ 3 þ 0 realizzare la funzione mediante il circuito di Figura 7.30(a). (a) Scegliere R 5, e determinare L e C. (b) Scegliere R, e determinare L e C. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

25 7.6 Applicazioni 25 Figura 7.30 Per l Eempio 7.5. Soluzione: L equivalente nel dominio del circuito in Figura 7.30(a) è motrato in Figura 7.30(b). La compoizione parallelo di R e C fornice R R=C C R þ =C R þ RC Per la regola del partitore di tenione, e quindi V o V o V i R=ð þ RCÞ L þ R=ð þ RCÞ V i R 2 RLC þ L þ R R Lð þ RCÞþR V i =LC 2 þ =RC þ =LC Confrontando quet ultima con la funzione di traferimento HðÞ data i vede che LC 0, RC 3 Eitono molti valori di R, L e C che oddifano queti requiiti. Per queta ragione, il valore di uno degli elementi è tato pecificato, coì che gli altri poano eere determinati univocamente. (a) Se i ceglie R 5, allora C 66:67 mf, L 3R 0C :5 H (b) Se i ceglie R, allora C 0:333 F, L 3R 0C 0:3 H La celta R può eere coniderata come una normalizzazione del progetto. In queto eempio, ono tati utilizzati elementi paivi per realizzare la funzione di traferimento data. Si arebbe potuto ottenere lo teo riultato uando elementi attivi, come motra il proimo eempio. n Eercizio 7.5 Realizzare la funzione GðÞ V oðþ V i ðþ 4 2 þ 4 þ 20 mediante il circuito in Figura 7.3. Scegliere R 2 e determinare L e C. Figura 7.3 Per l Eercizio 7.5. Ripota 0.5 H, 0. F. n Eempio 7.6 Sintetizzare la funzione uando la topologia di Figura TðÞ V oðþ V ðþ þ 00 þ 0 6 Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

26 26 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Figura 7.32 Per l Eempio 7.6. Soluzione: Si applica l analii nodale ai nodi e 2. Al nodo, ðv V ÞY ðv V o ÞY 2 þðv V 2 ÞY 3 Al nodo 2, ðv V 2 ÞY 3 ðv 2 0ÞY 4 Ma V 2 V o, e la (7.6.) diventa Y V ðy þ Y 2 þ Y 3 ÞV ðy 2 þ Y 3 ÞV o ð7:6:þ ð7:6:2þ ð7:6:3þ mentre la (7.6.2) diventa V Y 3 ðy 3 þ Y 4 ÞV o cioè V Y 3 ðy 3 þ Y 4 ÞV o ð7:6:4þ Sotituendo la (7.6.4) nella (7.6.3) i ottiene Y V ðy þ Y 2 þ Y 3 Þ ðy 3 þ Y 4 ÞV o ðy 2 þ Y 3 ÞV o Y 3 da cui Y Y 3 V ½Y Y 3 þ Y 4 ðy þ Y 2 þ Y 3 ÞŠV o Perciò, V o V Y Y 3 Y Y 3 þ Y 4 ðy þ Y 2 þ Y 3 Þ ð7:6:5þ Per intetizzare la funzione di traferimento TðÞ, ea va confrontata con quella della (7.6.5). Si notano due coe: () Y Y 3 non deve dipendere da, perché il numeratore di TðÞ è cotante; (2) la funzione di traferimento data è del econdo ordine, il che implica che ono neceari due condenatori. Biogna perciò farey e Y 3 reitive, mentre Y 2 e Y 4 devono eere capacitive. Si ceglie allora Y R, Y 2 C, Y 3 R 2, Y 4 C 2 ð7:6:6þ Sotituendo la (7.6.6) nella (7.6.5) i ottiene V o V =ðr R 2 Þ =ðr R 2 ÞþC 2 ð=r þ =R 2 þ C Þ =ðr R 2 C C 2 Þ 2 þ ðr þ R 2 Þ=ðR R 2 C Þþ=ðR R 2 C C 2 Þ Confrontando quet ultima con la funzione di traferimento TðÞ data, i deduce che R R 2 C C 2 0 6, R þ R 2 R R 2 C 00 Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

27 7.7 Calcolo di funzioni di traferimento 27 Se i ceglie R R 2 0 k, allora C R þ R 2 00R R F C R R 2 C nF La funzione di traferimento data viene allora realizzata dal circuito motrato in Figura Figura 7.33 Per l Eempio 7.6. n Eercizio 7.6 Sintetizzare la funzione V o ðþ V in 2 2 þ 6 þ 0 utilizzando il circuito con amplificatore operazionale motrato in Figura Scegliere Y R, Y 2 C, Y 3 C 2, Y 4 R 2 Si ponga R k, e i determinino C, C 2 e R 2. Figura 7.34 Per l Eercizio 7.6. Ripota 0. mf, 0.5 mf, 2 k: n 7.7 CALCOLO DI FUNZIONI DI TRASFERIMENTO CON MATLAB MATLAB è uno trumento oftware che trova largo uo nei calcoli e nelle imulazioni che intereano molti campi dell ingegneria. Una breve introduzione a MATLAB detinata ai principianti è preentata nella Appendice preente ul ito web dedicato al libro. Il preente paragrafo illutra l uo di MATLAB per il calcolo numerico della maggior parte delle quantità che ono tate preentate in queto capitolo e nel Capitolo 5. Per decrivere un itema in MATLAB biogna pecificarne il numeratore (num) e il denominatore (den) della funzione di traferimento. Una volta fatto ciò, è poibile utilizzare molti dei comandi di MATLAB per ottenere i diagrammi di Bode del itema o la ripota del itema a un ingreo pecificato. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

28 28 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace Il comando bode genera i diagrammi di Bode (di modulo e di fae) di una funzione di traferimento data HðÞ. Il formato del comando è bode (num, den), in cui num è il numeratore di HðÞ e den è il denominatore. L intervallo delle frequenze e il numero di punti vengono celti automaticamente dal programma. Per eempio, i conideri la funzione di traferimento dell Eempio 4.3. È bene innanzitutto crivere il numeratore e il denominatore in forma polinomiale, cioè 200j! ðj! þ 2Þðj! þ 0Þ 200, j! ð7:34þ 2 þ 2 þ 20 Digitando i comandi che eguono è poibile produrre i diagrammi di Bode motrati in Figura Se neceario, i può aggiungere il comando logpace per avere le frequenze paziate in modo logaritmico e il comando emilogx per ottenere una cala emilogaritmica. >> num = [200 0]; % pecifica il numeratore di H() >> den = [ 2 20]; % pecifica il denominatore di H() >> bode(num, den); % calcola e diegna i diagrammi di Bode Figura 7.35 Diagrammi di modulo e fae. Fae ( ) Modulo (db) Diagrammi di Bode Frequenza (rad/) Figura 7.36 Ripota al gradino di 2=ð 2 þ 3 þ 2Þ..2 Ripota al gradino Ampiezza Tempo () La ripota al gradino yðtþ di un itema è l ucita del itema quando l ingreo xðtþ è la funzione gradino unitario. Il comando tep produce il grafico della ripota al gradino di un itema dati numeratore e denominatore della funzione di traferimento. L intervallo di tempo del grafico e il numero di punti vengono celti automaticamente dal programma. Si conideri, per eempio, un itema del econdo ordine con funzione di traferimento 2 2 ð7:35þ þ 3 þ 2 È poibile ottenere la ripota al gradino motrata in Figura 7.36 digitando i eguenti comandi. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

29 DOMANDE DI RIEPILOGO 29 >> n = 2; >> d = [ 3 2]; >> tep(n,d); Si può verificare il grafico in Figura 7.36 tracciando quello di yðtþxðtþuðtþ oppure YðÞ X ðþhðþ. Il comando lim è piùgenerale di tep, e conente di calcolare la ripota nel dominio del tempo di un itema a un egnale di ingreo arbitrario. Il formato del comando è y lim(num, den, x, t), dove xðtþ è il egnale di ingreo, t è il vettore dei tempi e yðtþ è l ucita generata. Per eempio, i upponga che un itema ia decritto dalla funzione di traferimento þ 4 3 þ 2 2 þ 5 þ 0 ð7:36þ Per determinare la ripota yðtþ del itema all ingreo xðtþ 0e t uðtþ, i uano i eguenti comandi MATLAB. La ripota yðtþ e l ingreo xðtþ ono rappreentati in Figura 7.37 >> t = 0:0.02:5; % vettore dei tempi 0 <t<5conincremento 0.02 >> x = 0*exp(-t); >> num = [ 4]; >> den = [ 2 5 0]; >> y = lim(num,den,x,t); >> plot(t,x,t,y) 0 x(t) y(t) Figura 7.37 Ripota del itema decritto da ð þ 4Þ=ð 3 þ 2 2 þ 5 þ 0Þ a un ingreo eponenziale DOMANDE DI RIEPILOGO 7. La tenione u un reitore la cui corrente è iðtþ, nel dominio, èriðþ. (a) Vero (b) Falo 7.2 La corrente in un circuito RL erie con tenione di ingreo vðtþ è data nel dominio da: (a) V ðþ R þ (b) VðÞðR þ LÞ L (c) V ðþ R þ =L (d) VðÞ R þ L 7.3 L impedenza di un condenatore da 0 F è: (a) 0= (b) =0 (c) =0 (d) Di olito, è poibile ottenere l equivalente Thevenin nel dominio del tempo. (a) Vero (b) Falo 7.5 La funzione di traferimento è definita oltanto quando tutte le condizioni iniziali ono nulle. (a) Vero (b) Falo 7.6 Se l ingreo di un itema lineare è ðtþ el ucitaè e 2t uðtþ, la funzione di traferimento del itema è: (a) (b) (c) þ 2 2 (e) Neuna delle precedenti þ Se la funzione di traferimento di un itema è 2 þ þ 2 3 þ 4 2 þ 5 þ (d) 2 ne egue che l ingreo è X ðþ 3 þ 4 2 þ 5 þ, mentre l ucita è Y ðþ 2 þ þ 2. (a) Vero (b) Falo ðþ Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

30 30 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace 7.8 Quale delle eguenti equazioni è detta equazione di tato? (a) _x Ax þ Bz (b) y Cx þ Dz (c) Y ðþ=zðþ (d) CðI AÞ B 7.9 Un itema ad un ingreo ed una ucita è decritto dal modello di tato: _x 2x x 2 þ 3z _x 2 4x 2 z y 3x 2x 2 þ z Quale delle eguenti matrici non è corretta? (a) A (b) B 3 (c) C ½3 2Š (d) D Quale comando MATLAB i utilizza per ottenere la ripota in frequenza di un itema? (a) root (b) tep (c) bode (d) lim (e) rlocu Ripote: 7.b, 7.2d, 7.3c, 7.4b, 7.5b, 7.6a, 7.7b, 7.8a, 7.9d, 7.0c. PROBLEMI Paragrafi7.2e7.3 Modellidielementicircuitali e analii di circuiti 7. Determinare iðtþ nel circuito di Figura 7.38 per mezzo della traformata di Laplace. u(t) Ω H i(t) F 7.4 Determinare v o ðtþ nel circuito in Figura 7.4. e t u(t) 6 Ω H 0 F Figura 7.4 Per il Problema 7.4. v o (t) 7.5 Se i ðtþ e 2t uðtþ A nel circuito motrato in Figura 7.42, determinare il valore di i o ðtþ. i o (t) Figura 7.38 Per il Problema 7.. i (t) H 2 Ω 0.5 F 7.2 Determinare v x nel circuito motrato in Figura 7.39 nota v 4uðtÞ V. H 8 F Figura 7.42 Per il Problema Determinare i o ðtþ nel circuito motrato in Figura 7.43 data i ðtþ 5e 2t A. 2 Ω v v x 2 Ω 4 Ω i i o 0. F H Figura 7.39 Per il Problema Determinare v o ðtþ nel circuito motrato in Figura 7.40 data i ðtþ 5uðtÞ A. H Figura 7.43 Per il Problema Utilizzare la traformata di Laplace per calcolare i x nel circuito di Figura Ω F i (t) 2 Ω v o (t) 8 Ω 2e t u (t) V 2 H i x Figura 7.40 Per il Problema 7.3. Figura 7.44 Per il Problema 7.7. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

31 PROBLEMI Determinare l impedenza di ingreo di ciacuna delle reti in Figura (a) 7.2 Determinare v o ðtþ nel circuito di Figura H 0e t u(t) V 2 F v o (t) 4 Ω 3u(t) A Figura 7.49 Per il Problema Determinare i o ðtþ nel circuito di Figura F 2 H (b) i o 2 Ω e 2t u(t) A Ω Figura 7.50 Per il Problema 7.3. *7.4 Determinare i o ðtþ nella rete motrata in Figura 7.5. Figura 7.45 Per il Problema Determinare l impedenza di ingreo Z in ðþ di ciacuno dei circuiti in Figura Ω Ω 4 Ω 5 0u(t) V 2 H i o F 4 (a) H F 2 Ω H 2 Ω 0.5 F Ω (b) Figura 7.5 Per il Problema Determinare V x ðþ nel circuito motrato in Figura H 0 Ω V x Figura 7.46 Per il Problema Ai terminali a-b del circuito in Figura 7.47, determinare i circuiti equivalenti di Thevenin e Norton. 2 2 V o Figura 7.47 Per il Problema V o 7. Calcolare le correnti di anello nel circuito di Figura F H a b 3V x 0.2 F Figura 7.52 Per il Problema e 2t u(t) V *7.6 Determinare i o ðtþ per t > 0 nel circuito di Figura e 2t u(t) V 2 Ω F v o Ω 0.5v o H i o Figura 7.53 Per il Problema u(t) V 7.7 Calcolare i o ðtþ per t > 0 nella rete di Figura e t u(t) V u(t) i 2 Ω i 2 4e 2t u(t) F i o H Figura 7.48 Per il Problema 7.. Ω 4u(t) A Ω * L aterico denota un problema di difficoltà uperiore alla media. Figura 7.54 Per il Problema 7.7. Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

32 32 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace 7.8 (a) Determinare la traformata di Laplace della tenione motrata in Figura 7.55(a). (b) Utilizzando il valore di v ðtþ di Figura 7.55(a) nel circuito di Figura 7.55(b), determinare il valore di v o ðtþ. v (t) 3 V i v 4 H v 2 Ω 2 Ω 3 F v (t) 0 t (a) Ω F v o (t) (b) Figura 7.55 Per il Problema Ω 7.9 Nel circuito di Figura 7.56 i ha ið0þ A, v o ð0þ 2V e v 4e 2t uðtþ V. Determinare v o ðtþ per t > 0. Figura 7.59 Per il Problema Nel circuito RLC parallelo di Figura 7.60, determinare vðtþ e iðtþ e vð0þ 5eið0Þ 2A. 4u(t) A i 0 Ω 4 H F v 80 Figura 7.60 Per il Problema L interruttore nel circuito di Figura 7.6 è rimato chiuo per molto tempo, e viene aperto per t 0. Determinare v o ðtþ per t > 0uandolatraformatadi Laplace. t = 0 2 Ω 2i v H F i v o 6 Ω 9 A 4 Ω 0.5 F 5 Ω v o Figura 7.56 Per il Problema Determinare v o ðtþ nel circuito di Figura 7.57 e v x ð0þ 2Veið0Þ A. e t u(t) A v x F Ω Ω H v o Figura 7.57 Per il Problema Determinare la tenione v o ðtþ nel circuito di Figura 7.58 uando la traformata di Laplace. Ω H i Figura 7.6 Per il Problema Nel circuito RLC motrato in Figura 7.62, determinare la ripota completa e vð0þ 2Vallachiuura dell interruttore. 2 co 4t V t = 0 6 Ω Figura 7.62 Per il Problema H 9 F 7.26 Nel circuito con operazionale di Figura 7.63, determinare v o ðtþ per t > 0, e v 3e 5t uðtþ V. v 0 kω 0u(t) V 0.5 F 2 Ω F v o 50 µf Figura 7.58 Per il Problema Determinare le tenioni di nodo v e v 2 nel circuito di Figura 7.59 uando il metodo della traformata di Laplace. Si upponga che i 2e t uðtþ Aechetuttele condizioni iniziali iano nulle. 20 kω v Figura 7.63 Per il Problema v o Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

33 PROBLEMI Determinare I ðþ e I 2 ðþ nel circuito di Figura Ω H H i 2 H 2 H i 2 v 4 Ω 0. F v o 0e 3t u(t) V Ω Ω Figura 7.67 Per il Problema Figura 7.64 Per il Problema Nel circuito di Figura 7.65, determinare v o ðtþ per t > Calcolare la funzione di traferimento V o =V per il circuito di Figura i 0.5 F H 6u(t) Ω H 2 H H 2 Ω v o v 2i 3 Ω Figura 7.68 Per il Problema v o Figura 7.65 Per il Problema Nel circuito con traformatore ideale di Figura 7.66, determinare i o ðtþ Ripetere il problema precedente per V o =I Nel circuito di Figura 7.69, determinare: (a) I =V (b) I 2 =V x Ω i o i i 2 3 Ω 2 H 0e t u(t) V : F 8 Ω v v x 0.5 F 4v x Figura 7.66 Per il Problema Paragrafo 7.4 Funzioni di traferimento 7.30 La funzione di traferimento di un certo itema è 2 3 þ Determinare l ucita del itema quando l ingreo è 4e t=3 uðtþ. Figura 7.69 Per il Problema Con riferimento alla rete in Figura 7.70, i determinino le eguenti funzioni di traferimento: (a) H ðþ V o ðþ=v ðþ (b) H 2 ðþ V o ðþ=i ðþ (c) H 3 ðþ I o ðþ=i ðþ (d) H 4 ðþ I o ðþ=v ðþ i Ω Η i o 7.3 Quando l ingreo di un certo itema è lafunzione gradino unitario, la ripota è 0co2tuðtÞ. Calcolarela funzione di traferimento del itema. v F F Ω v o 7.32 Si a che un certo circuito ha funzione di traferimento þ 3 2 þ 4 þ 5 Determinare l ucita del circuito quando: (a) l ingreo è la funzione gradino unitario (b) l ingreo è 6te 2t uðtþ Quando ad un certo itema viene applicato un gradino unitario in t 0, la ua ripota è yðtþ 4 þ 2 e 3t e 2t ð2co4t þ 3in4tÞ uðtþ Quale è la funzione di traferimento del itema? 7.34 Per il circuito in Figura 7.67, determinare V o ðþ=v ðþ, upponendo nulle le condizioni iniziali. Figura 7.70 Per il Problema Calcolare il guadagno V o =V nel circuito con operazionale di Figura 7.7. v R v o C Figura 7.7 Per il Problema Con riferimento al circuito RL di Figura 7.72, determinare: (a) la ripota all impulo hðtþ del circuito Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

34 34 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace (b) la ripota al gradino unitario del circuito. L v R v o Figura 7.72 Per il Problema Unareteharipotaall impulohðtþ 2e t uðtþ. Determinare la ua ucita quando viene applicato il egnale di ingreo v i ðtþ 5uðtÞ Calcolare la ripota all impulo del itema decritto dalla equazione differenziale 2 dy þ yðtþ xðtþ dt dove xðtþ è l ingreo e yðtþ l ucita Ricavare le equazioni di tato per il Problema Ricavare le equazioni di tato per il Problema Ricavare le equazioni di tato per il circuito motrato in Figura *7.49 Ricavare le equazioni di tato per la eguente equazione differenziale. d 2 yðtþ dt 2 þ 5 dyðtþ dt 6yðtÞ dzðtþ dt þ zðtþ *7.50 Ricavare le equazioni di tato per la eguente equazione differenziale. d 3 yðtþ dt 3 þ 6 d2 yðtþ dt 2 þ dyðtþ dt þ 6yðtÞ zðtþ *7.5 Dato la eguente equazione di tato, riolverla ripetto a yðtþ. _x 4 4 x þ 0 uðtþ yðtþ ½ 0Šx 7.52 Data la eguente equazione di tato, riolvere ripetto a y ðtþ e y 2 ðtþ. 2 _x x þ uðtþ uðtÞ 2 2 y x þ 2 0 uðtþ 0 0 2uðtÞ 4 F H Paragrafo 7.6 Applicazioni v (t) v o (t) 2 Ω v 2 (t) 7.53 Motrare che il circuito RLC parallelo di Figura 7.76 è tabile. I o I R C L Figura 7.73 Per il Problema Scrivere le equazioni di tato per il circuito motrato in Figura H v (t) 2 F v o (t) 4 Ω i (t) Figura 7.74 Per il Problema Scrivere le equazioni di tato per il circuito motrato in Figura Figura 7.76 Per il Problema Un itema è cotituito dal collegamento in cacata di due itemi come motrato in Figura Si a che la ripota all impulo dei itemi componenti è h ðtþ 3e t uðtþ; h 2 ðtþ e 4t uðtþ (a) Calcolare la ripota all impulo del itema compleivo. (b) Verificare e il itema compleivo è tabile. v i h (t) h 2 (t) Figura 7.77 Per il Problema v o i (t) 4 F i 2 (t) H 7.55 Determinare e il circuito con operazionale di Figura 7.78 è tabile. v (t) 2 Ω v 2 (t) C C Figura 7.75 Per il Problema Ricavare le equazioni di tato per la eguente equazione differenziale. d 2 yðtþ dt 2 þ 4 dyðtþ dt 3yðtÞ zðtþ R R v v o Figura 7.78 Per il Problema Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

35 PROBLEMI Si deidera realizzare la funzione di traferimento V 2 ðþ V ðþ 2 2 þ 2 þ 6 uando il circuito di Figura Scegliere R k e determinare L e C. uando la topologia di Figura Si ponga Y =R, Y 2 =R 2, Y 3 C, Y 4 C 2.Sicelga R k e i determinino C, C 2 e R 2. Y Y 2 Y 4 R V o v L C v 2 V in Y 3 Figura 7.79 Per il Problema Realizzare la funzione di traferimento V o ðþ V i ðþ 5 2 þ 6 þ 25 uando il circuito di Figura Scegliere R 4 e R 2, e determinare L e C. Figura 7.82 Per il Problema Paragrafo 7.7 Calcolo con MATLAB 7.60 Tracciare i diagrammi di Bode per la eguente funzione di traferimento uando MATLAB. þ 2 þ 5 þ 6 R L 7.6 Tracciare i diagrammi di Bode per la eguente funzione di traferimento uando MATLAB. v i (t) C R 2 v o (t) þ 4 3 þ 6 2 þ þ 6 Figura 7.80 Per il Problema Realizzare la funzione di traferimento V o ðþ V ðþ þ 0 uando il circuito di Figura 7.8, ponendo Y C, Y 2 =R, Y 3 C 2.ScegliereR k e determinare C e C 2. Y Y Tracciare i diagrammi di Bode per la eguente funzione di traferimento uando MATLAB. þ 2 þ 0:5 þ 7.63 Data la eguente funzione di traferimento, determinarne la ripota all ingreo gradino unitario uando MATLAB. þ 2 2 þ 4 þ Data la eguente funzione di traferimento, determinarne la ripota all ingreo 0e t uðtþ uando MATLAB. V Y 3 V o 4 2 þ 5 þ Data la eguente funzione di traferimento, determinarne la ripota all ingreo ð þ 3e 2t ÞuðtÞ uando MATLAB. Figura 7.8 Per il Problema Sintetizzare la funzione di traferimento V o ðþ V in ðþ þ 00 þ þ 6 2 þ þ Data la eguente funzione di traferimento, determinarne la ripota all ingreo 5e 3t uðtþ uando MATLAB. 2 þ þ 4 Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)

36 36 Capitolo 7 Applicazioni della traformata di Laplace PROBLEMI DI RIEPILOGO 7.67 Eprimere la funzione di traferimento del circuito con operazionale in Figura 7.83 nella forma V o ðþ V i ðþ a 2 þ b þ c dove a, b e c ono cotanti, e calcolare le cotanti. v i 0 kω µf 0.5 µf 0 kω v o Figura 7.83 Per il Problema Un certa rete ha ammettenza di ingreo Y ðþ. L ammettenza ha un polo in 3, uno zero in e Y ðþ 0:25 S. (a) Determinare Y ðþ. (b) Una batteria da 8 V viene collegata alla rete attravero un interruttore. Se l interruttore i chiude in t 0, determinare la corrente iðtþ che attravera YðÞ uando la traformata di Laplace Un giratore è un dipoitivo utilizzato per imulare un induttore in un circuito. Un emplice circuito giratore è motrato in Figura Nel calcolare V i ðþ=i o ðþ, motrare che l induttanza prodotta dal giratore è L CR 2. R R R v i Figura 7.84 Per il Problema C R i o Charle K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright McGraw-Hill Education (Italy)