di Heaveside: ricaviamo:. Associamo alle grandezze sinusoidali i corrispondenti fasori:, Adesso sostituiamo nella

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1 Equazione di Ohm nel dominio fasoriale: Legge di Ohm:. Dalla definizione di operatore di Heaveside: ricaviamo:. Associamo alle grandezze sinusoidali i corrispondenti fasori:, dove Adesso sostituiamo nella legge di Ohm le espressioni di in termini di fasori e otteniamo:. Per il teorema di Kennelly-Steinmetz ogni legge in corrente continua vale anche in alternata, ponendo: e otteniamo:. In base alla linearità dell operatore parte reale, possiamo eliminare da entrambi i membri, quindi:. Ancora in base alla linearità ricaviamo Conduttanza: Il campo elettrico generato dal cilindro vale: e sfruttando la sua conducibilità elettrica, possiamo scrivere la densità elettrica come:, con eguagliando troviamo che:. Definendo la potenza come: possiamo dedurre: Potenza Sinusoidale: Per dimensionare opportunamente conduttori e generatori si utilizza la potenza apparente o di dimensionamento. Definiamo la potenza complessa dove è lo sfasamento tra tensione ed intensità di corrente, allora dove è la potenza media o attiva e è la potenza reattiva. Quando la potenza reattiva è positiva, si ha un fenomeno magnetico e quindi il comportamento è di tipo induttivo; invece, nel caso di potenza reattiva negativa, si ha un fenomeno dielettrico con comportamento della potenza di tipo capacitivo. Energia immagazzinata nell induttore:, dove i è la corrente che scorre nell induttore e L l induttanza. L energia immagazzinata nell induttore è uguale alla quantità di lavoro richiesta per ottenere la corrente che scorre in esso, e quindi, per generare il campo magnetico. Teorema di Norton: un bipolo attivo lineare equivale agli effetti esterni ad un bipolo lineare di tipo parallelo avente per la corrente fra i due nodi posti in cortocircuito, e per impedenza quella vista ai suoi morsetti una volta reso passivo. Dimostrazione: Ipotizziamo di avere una rete dinamica R. Applicando il principio di sovrapposizione, il carico può essere sostituito da un generatore di tensione. Utilizzando il principio di sovrapposizione, dividiamo la rete R in due contributi: la rete attiva A e la rete passiva P. E evidente che. Definiamo la corrente in cortocircuito e ricordando la legge di Ohm, è possibile scrivere. Pertanto il carico Z vede la rete a monte come il parallelo di un generatore equivalente e di un impedenza equivalente. Questi due elementi rappresentano l equivalente di Norton della rete R.

2 Corollario di Millman: In una rete lineare costituita da n rami in parallelo, la tensione V AB ai capi del parallelo è data da: Principio di sovrapposizione delle cause e degli effetti: La risposta di una rete lineare alla sollecitazione di più generatori indipendenti può essere ottenuta considerando ciascun generatore separatamente attivo e sommando le rispettive risposte di rete: Forza f(t) agente sull ancora dedotta con il PLV: Il lavoro speso per spostare l ancora di un infinitesimo ds è pari alla variazione infinitesima di energia accumulata. Utilizzando il principio dei lavori virtuali, tenendo conto che il traferro δ è la variabile lagrangiana del sistema, la forza F esercitata sull ancora è:, Pertanto Teorema di Kennelly-Steinmetz: Qualunque problema relativo alle correnti sinusoidali si può risolvere assumendo la formula risolutiva dello stesso problema per correnti continue e sostituendo i simboli complessi di correnti e tensioni ai simboli reali, le impedenze e le ammettenze (complesse) dei singoli elementi alle resistenze e alle conduttanze. Ogni legge in corrente continua vale anche in alternata, ma ponendo la tabella: f k k p Lavoro Elettrico erogato dal generatore di corrente in un intervallo di tempo T: Sfasamento di rispetto a : Tensione Magnetica: maglia nella rete magnetica) Flusso: Forza f (sull ancora) a regime raggiunto: (tensione sulla spira, per ricavare la tensione magnetica sulle riluttanze si fa la legge alla (è l equivalente della corrente per la rete magnetica) Potenza Complessa: Q >0 fenomeno magnetico e quindi il comportamento è di tipo induttivo; Q<0 fenomeno dielettrico con comportamento della potenza di tipo capacitivo. Regime Sinusoidale: Parte reale: )=2 ( + ) dove Stella Triangolo: Stella Triangolo: Campo magnetico: Principio di Le Chatelier un corpo cerca la sua stabilità tendendo al minimo di energia potenziale. Se faccio passare la corrente nelle spire, le calamite si orienteranno come le correnti, e per diminuire la U dovranno massimizzare l energia cinetica.

3 Amplificatore invertente: il circuito è retro azionato attraverso, allora l amplificatore lavora in zona lineare (solo se c è un corto circuito virtuale si ha e una compresa tra ). Dall analisi della maglia di ingresso: ; dall equilibrio alla maglia con : la corrente circolante è quindi data da: fattore. Dall analisi alle correnti al nodo A si ha:. La tensione di uscita è quindi amplificata da un detto guadagno dell amplificatore e cambiata di segno (caratteristica contenuta nel termine invertente ). Amplificatore non invertente: circuito retro azionato tramite si ritiene che l amplificatore lavori in zona lineare, che e che si realizzi con una tensione di uscita compresa tra. Dall analisi alla maglia costituita da e si ha: ; per l equilibrio al nodo A si ha:. La maglia costituita da può essere vista come un partitore di tensione resistivo alimentato da una sorgente di tensione di valore pari a. Allora è data da:. Il guadagno può assumere solo valori positivi e maggiori di 1 solo nel caso in cui nel ramo di retroazione ci sia un cortocircuito ( ). In questo caso il circuito è inseguitore di tensione in quanto e svolge la funzione di adattatore di impedenza. Sommatore invertente: esso non è altro che la formulazione a più ingressi dell amplificatore invertente. Si ipotizzi che funzioni in zona lineare. Dalla relazione di equilibrio delle correnti al nodo comune si ha:. Per l ipotesi di funzionamento in zona lineare si ha:. Questo circuito opera dunque una somma pesata dei segnali di ingresso; per avere un sommatore puro (tutti i segnali di ingresso vengono sommati con lo stesso peso) è necessario che tutte le resistenze in serie alle sorgenti di tensione abbiano il medesimo valore; da queste resistenze ho:. Sommatore non invertente: esso non è altro che la formulazione a più ingressi dell amplificatore non invertente. Si ipotizzi che l amplificatore operazionale funzioni in zona lineare. Si calcoli la tensione equivalente dei rami in parallelo sul morsetto positivo:. Dall analisi alla maglia costituita da si verifica che:. Per l equilibrio delle correnti al nodo A, si ha. La maglia costituita da può essere perciò vista come un partitore di tensione resistivo alimentato da una sorgente di tensione di valore pari a. La tensione. Dalla relazione si ricava la caratteristica di trasferimento:.questo circuito opera dunque una somma dei segnali di ingresso. Integratore invertente: la tipologia è simile a quella dell amplificatore invertente, l unica differenza è l elemento sul circuito di retroazione. Si ipotizzi che funzioni in zona lineare. Dall analisi alla maglia di ingresso si ha: ; l equilibrio alla maglia costituita da : ; la corrente in questa maglia è: ; dall analisi delle correnti al nodo si ha:. Posto si ha la caratteristica di trasferimento: ingresso è periodico si ha: ; nel caso in cui il segnale di. Questo circuito presenta problemi con segnali a bassa frequenza, a causa dell elevato valore di guadagno; l ampiezza del segnale di uscita può portare l amplificatore operazionale in saturazione. Per evitare ciò basta inserire una resistenza in parallelo alla capacità: così si trasforma l integratore puro in un filtro passa basso del 1 ordine. Con frequenze minori a quella di taglio ( ) il comportamento del circuito è di tipo amplificatore invertente, mentre per frequenze superiori il comportamento è di tipo integratore. Comparatore o rilevatore di soglia: Se il valore della tensione applicato è superiore al valore della tensione di riferimento, allora l amplificatore va in saturazione positiva; se è minore va in saturazione negativa: Nelle applicazioni si verifica che il valore di riferimento è costituito da un valore di tensione costante in questo caso si parla di rilevatore di soglia, se il terminale invertente è collocato al potenziale di riferimento il rilevatore si chiama rilevatore di zero.

4 Derivatore Invertente: Il derivatore invertente si comporta in modo inverso rispetto all integratore invertente, anche il circuito si ottiene invertendo gli elementi del ramo di ingresso e del ramo in retroazione rispetto al circuito dell integratore invertente. Si ipotizzi che l amplificatore operazionale funzioni in zona lineare, in questa configurazione la differenza di potenziale tra morsetto invertente e non invertente è nulla; essendo il terminale non invertente collegato direttamente al riferimento, risulta che anche il potenziale del morsetto invertente è a potenziale di riferimento. Dall analisi alla maglia di ingresso si ha che: ; L equilibrio alla maglia costituita da V d, V R, V out si ha che: in quanto la tensione differenziale è nulla. La corrente circolante in questa maglia è quindi data da: ; Dall analisi delle correnti al nodo 1, siccome l amplificatore operazionale ideale dai morsetti di ingresso non assorbe corrente, si ha che ; Sostituendo al posto delle correnti le espressioni ricavate precedentemente nelle quali compaiono le tensioni di ingresso e uscita si ricava l espressione della caratteristica di trasferimento: caratteristica di trasferimento come:. Amplificatore Differenziale: Questo tipo di amplificatore è chiamato così perché consente di avere in uscita un segnale uguale alla differenza dei due segnali applicati in ingresso. Il differenziale è un sistema lineare. Per studiare il suo funzionamento utilizziamo il principio della sovrapposizione degli effetti: 1 Passo: Mettendo il generatore V 1 in corto avremo la resistenza R 1 direttamente collegata a massa. Otterremo così una configurazione non invertente, secondo la quale:, dove è la tensione che si genera sulla resistenza R 3, che forma un partitore di tensione con la resistenza R 2 e il generatore V 2. sarà quindi:. Sostituendola nella formula di prima si ottiene: ; Posto τ = RC si può riscrivere la. 2 Passo: Mettendo il generatore V 2 in corto circuito avremo la resistenza R 2 direttamente collegata a massa. Sulle resistenze R 2 ed R 3, non può circolare corrente in quanto, la corrente che arriva dal generatore V 1 è zero a causa della resistenza d ingresso dell amplificatore che è infinita. Non potendosi creare nessuna differenza di potenziale sulle due resistenze R 1 ed R 2, esse non causano nessun effetto. Otterremo così una configurazione invertente, secondo la quale:. 3 Passo: Sommando gli effetti avremo che: e cioè:. Se costruissimo il circuito con tutte le resistenze uguali tra di loro, la formula del differenziale diventerebbe:. Guardando questa formula, si nota che il segnale in uscita è la differenza dei due segnali applicati in entrata. Amplificatore operazionale: si compone di due morsetti di ingresso, un morsetto di uscita e due morsetti di alimentazione. L alimentazione è necessaria per poter erogare la potenza richiesta in uscita, quindi la tensione di uscita rimarrà sempre compresa tra due valori, cioè quelli di alimentazione. La massima e minima tensione di uscita, funzione della tensione di ingresso, prendono il nome di tensione di saturazione. Costruzione del circuito equivalente: in un amplificatore operazionale reale si identificano le seguenti grandezze: corrente i+ e i- assorbite dai terminali invertenti e non invertenti; la differenza di potenziale tra il morsetto non invertente e quello invertente, definita tensione di ingresso differenziale ; la tensione di uscita, dipende dalla differenza di potenziale tra i morsetti di ingresso e della tensione di alimentazione e può essere approssimata: in zona lineare, in zona saturazione. L elemento ideale ha queste caratteristiche: correnti i+ e i- pari a 0; guadagno in anello aperto (=A) infinito. Quest ultima condizione implica che la tensione di uscita possa variare nell intervallo solo nel caso in cui si realizzi la condizione sugli ingressi di corto circuito virtuale, ovvero che i morsetti siano allo stesso potenziale. Quindi la tensione di uscita può assumere un qualunque valore compreso tra in presenza di tensione differenziale nulla; se la tensione differenziale è positiva, la tensione di uscita si porta al valore di ; se la tensione differenziale è negativa, la tensione di uscita si porta al valore di. Funzionamento in anello aperto: si verifica quando il valore dell uscita non viene riportato dai circuiti di retroazione su uno dei morsetti di ingresso. In questo caso, il comportamento è di tipo amplificatore differenziale, esso si porterà a lavorare in zona di saturazione a seconda dei livelli di tensione a cui si portano gli ingressi. Funzionamento in anello chiuso: il valore dell uscita è riportato da circuiti di retroazione su uno dei morsetti di ingresso. In questo caso, cerca di adeguare la tensione di uscita in modo da realizzare la condizione di corto circuito virtuale. Se la tensione di uscita è fra, allora lavorerà in zona lineare, altrimenti in zona di saturazione. Espressione Induttanza Equivalente: Riluttanza:. Poniamo Analisi ai nodi: [A]=matrice incidenza:

5 Analisi agli anelli: Condensatore a facce piane parallele e Energia accumulata nel condensatore: Nel condensatore vi è un fenomeno di dispersione della corrente elettrica, perché anche l aria polarizza. Tuttavia, ammettiamo che la distanza d sia così modesta che il contributo dell aria sia trascurabile. Allora vale: ; In seguito, pongo tra le due facce un materiale: dove indica di quante volte il contributo dielettrico aumenta il contributo del vuoto. (grafico) accumulata per unità di volume:. Ora posso calcolare l energia Teorema di Thevenin: Un bipolo attivo lineare equivale agli effetti esterni ad un bipolo lineare di tipo serie avente per fem la sua tensione a vuoto e per impedenza quella vista ai suoi morsetti una volta reso passivo. Dimostrazione: Ipotizziamo di avere una rete dinamica R, cui è connesso un carico Z, che assorbe la corrente a e la cui caduta di tensione è V: Applicando il principio di sovrapposizione delle cause e degli effetti, il carico può essere sostituito da un generatore di corrente Utilizzando il principio di sovrapposizione, dividiamo la rete R in due contributi: la rete attiva (A) e la rete passiva (P). La rete A contiene tutti i generatori ed è a vuoto: ai morsetti AB si misura la tensione a ; la rete P si ottiene annullando i generatori ed è collegata al generatore di corrente a. Tra i morsetti AB si misura la caduta di tensione : il numero totale di generatori si conserva. La tensione v si ottiene dalla somma dei due contributi descritti:. Definiamo la tensione a vuoto, e ricordando la legge di Ohm è possibile scrivere. Pertanto il carico Z vede la rete a monte come la serie di un generatore equivalente e di un impedenza equivalente. Questi due elementi rappresentano l equivalente di Thevenin della rete R.

6 Teorema di Ferraris: Consideriamo 3 bobine percorse da corrente, sfasate di. Definiamo uno spazio vettoriale per rappresentare spazialmente:, definendo otteniamo. Si possono ricavare in modo univoco. Analizzando il campo magnetico del traferro di una bobina (considerando ) otteniamo un campo magnetico. Facendo la serie di Fourier al primo termine otteniamo campo magnetico:. Scriviamo un fasore spaziale anche per il 3 correnti simmetriche ed equilibrate (sfasate temporalmente di e dello stesso valor medio):,,, si ottiene ma quindi. Consideriamo le cioè un fasore rotante di pulsazione e ampiezza. Da 3 bobine fisse ma attraversate da corrente alternata, sfasate temporalmente e spazialmente di abbiamo ottenuto un campo magnetico rotante nello spazio.