Teorema del Massimo trasferimento di Energia.

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Norberto Grosso
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1 Teorema del Massimo trasferimento di Eneria. Questo teorema consente di determinare il valore dell impedenza di carico che in un determinato circuito consente il massimo trasferimento di potenza. Esamineremo alcuni casi: a) Si consideri il semplice circuito di fiura, costituito da un eneratore di tensione e da una resistenza e si calcoli il valore della resistenza di carico che consente il massimo trasferimento di potenza. + AB + A AB ( + ) P ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) dp d B se e solo se d altronde: dp 8 3 d < 0 cioè: la condizione implica il massimo trasferimento di potenza. b) Si consideri ora il caso in cui l impedenza del eneratore sia del tipo: Z + ix e si trovi la condizione di massimo trasferimento di potenza su un carico resistivo : + + jx ( ) + + X Pertanto, l espressione della potenza sul carico è: P ( ) + + X

massimo trasferimento di potenza. + AB + A AB ( + ) P ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) dp d 4 4 0 B se e solo se d altronde: dp 8 3 d < 0 cioè: la condizione implica il massimo trasferimento di potenza.

2 dp d + X 0 ( ) X + + se e solo se: + X Pertanto, il massimo trasferimento di potenza si ha quando la resistenza di carico è uuale al valore assoluto dell impedenza del eneratore. sia Z L : si ha allora: c) Si consideri il caso in cui l impedenza del eneratore sia Z e l impedenza del carico ( ) + + j X + X ( + ) + ( X + X) P ( + ) + ( X + X) Se si ritiene costante, la condizione di massimo trasferimento di potenza è X X e, in tale circostanza, la potenza sul carico vale: P MAX L ( + L) * Se si considera variabile, la condizione di massimo è e X X, quindi Z Z. Se, infine, si considera il caso di impedenza di carico con parte reattiva costante, si ha: P se e solo se: + ( X + X ) ( + ) + ( X+ X) ( ( + ) ) ( + ) + ( X + X) dp X X 0 d Perciò il massimo trasferimento di potenza si ha quando è pari al valore assoluto di tutta l impedenza della rete. L

condizione di massimo trasferimento di potenza è X X e, in tale circostanza, la potenza sul carico vale: P MAX L ( + L) * Se si considera variabile, la condizione di massimo è e X X, quindi Z Z.

3 Teorema della compensazione Le Fiure (a) e (b) di seuito riportate, si riferiscono al Teorema di compensazione che afferma: Una impedenza Z a percorsa da una corrente, può essere sostituita un eneratore di tensione di valore Z a. Analoamente, se ai capi di una impedenza Z vi è una tensione, l impedenza può essere sostituita da un eneratore di corrente pari a Z. cza Teorema di sovrapposizione Questo importante teorema riuarda le reti overnate da lei lineari in reime stazionario o in reime non stazionario. Esso afferma che, se in una rete lineare aiscono contemporaneamente eneratori di tensione e eneratori di corrente, la tensione totali tra due nodi qualsiasi della rete (o le correnti nei diversi rami) è la somma delle tensioni (delle correnti) che scorrerebbero se i eneratori fossero attivi uno alla volta o più di uno alla volta. Per esempio, la risposta di un determinato circuito a un senale complesso scomponibile in sinusoidi è la somma delle risposte ottenibili da ciascuna di esse, pensate come se aissero indipendentemente. 3

cza Teorema di sovrapposizione Questo importante teorema riuarda le reti overnate da lei lineari in reime stazionario o in reime non stazionario.

4 Come esempio, si consideri il seuente circuito e si calcoli la corrente che attraversa 3 Le equazioni di questo circuito sono: i + 3i 4,5 3i + 3i + 3i i 9 6i + 3i 4,5 3i + 6i Esse ammettono come soluzioni i,5 A e i 0 Applicando il Principio di sovrapposizione, si ha: A ; AB.5* /3Ω A A ; AB,5*, 5, 5 / 3Ω 0, 5A i TOT ( + 0,5) A, 5A 3 4

3i + 6i Esse ammettono come soluzioni i,5 A e i 0 Applicando il Principio di

5 Teoremi di Thevenin e Norton. Data una rete lineare a due terminali A e B formata da eneratori indipendenti e resistenze, essa è equivalente ad un eneratore ideale (con resistenza interna nulla) con in serie un resistore di valore opportuno di seuito specificato. Per quanto attiene al eneratore, la d.d.p. che esso enera è quella che si osserva o si deduce ai morsetti A e B lasciati aperti, cioè con resistenza di carico infinita. Per quanto attiene la resistenza, essa è uuale a quella che si misura o si calcola ai morsetti A e B una volta che i eneratori di tensione siano stati disattivati, ovvero una volta che ad essi siano state sostituite le loro resistenze interne, nulle o diverse da zero. th può anche essere calcolata facendo il rapporto tra la tensione di Thevenin e la corrente di cortocircuito, assumibile o deducibile ai morsetti A e B. /. th th cc Esempio: Si consideri il circuito di fi. e si determini la corrente che passa sulla resistenza di carico una volta connessa ai morsetti A e B. Calcolo della tensione di Thevenin ai morsetti A e B: th AB + 5

valore opportuno di seuito specificato. Per quanto attiene al eneratore, la d.d.p. che esso enera è quella che si osserva o si deduce ai morsetti A e B lasciati aperti, cioè con resistenza di carico infinita.

6 Dai morsetti A e B, cortocircuitando, si vede una th pari a: th + n definitiva, per quanto riuarda la corrente che scorre sulla resistenza di carico, colleata ai morsetti A e B si ottiene: i C th + th C Teorema di Norton. Questo teorema, dice che una rete lineare attiva costituita da eneratori indipendenti e resistori dotata di due terminali A e B, è equivalente ad un eneratore di corrente ideale con resistenza interna infinita in parallelo ad una determinata resistenza. Per quanto attiene il valore della corrente del eneratore, essa è quella misurabile o deducibile quando i morsetti A e B sono cortocircuitati, mentre la resistenza di Norton coincide con quella di Thevenin. l passaio Norton- Thervenin è viceversa immediato. nfatti, supponiamo di avere a disposizione il circuito equivalente di Norton di una determinata rete, come illustrato in fi.: 6

Questo teorema, dice che una rete lineare attiva costituita da eneratori indipendenti e resistori dotata di due terminali A e B, è equivalente ad un eneratore di corrente ideale con resistenza

7 Per verificare l equivalenza, si collehi una resistenza valore della corrente : C C ad entrambi i circuiti e si calcoli il C n n C n + C c C th nn n + C n + C che risultano ovviamente uuali. Teorema di Miller Questo teorema trasforma la rete di fi.a) nella rete di fi. b), lasciando inalterata la tensione ai nodi ed esprimendo opposizione per le correnti, cioè potesi: supponiamo di conoscere il valore ( ) ( K) Z' Z' Z' K Z K, per quanto attiene la corrente, si ha: ( ) Quindi se Z Z' ( K) la corrente nel nuovo circuito sarà la stessa del primo circuito. Analoamente: quindi: Z Z K ( K ) K Z' Z' Z' K Z K '( ). Con questi valori delle impedenze Z e Z, i due circuiti sono equivalenti. Questo teorema è applicabile in pratica se è possibile determinare il valore di K, cioè il rapporto ( ). 7

b), lasciando inalterata la tensione ai nodi ed esprimendo opposizione per le correnti, cioè potesi: supponiamo di conoscere il valore ( ) ( K) Z' Z' Z' K Z K, per quanto attiene la corrente, si ha:

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