Potenze nei sistemi trifase

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1 58 L espressione generale della potenza istantanea per un sistema trifase a quattro fili è immediatamente deducibile da quella del quadripolo: p(t) = v 1 (t) i 1 (t) + v 2 (t) i 2 (t) + v 3 (t) i 3 (t) In tale espressione, le tensioni v k (t) sono riferite al quarto morsetto (ad es. il neutro), assunto quindi come riferimento. In questo caso, in generale, la somma delle correnti di linea i k (t) non è nulla, Σ i k 0. In termini di fasori si ha: S = S 1 + S 2 + S 3 = V 1 I 1 * + V 2 I 2 * + V 3 I 3 * S = P + jq = (P 1 + P 2 + P 3 ) + j(q 1 + Q 2 + Q 3 ) (Teor. di Boucherot) Nel caso di un sistema trifase a tre fili, la condizione Σ i k = 0 consente di poter esprimere la potenza con le tensioni riferite ad un nodo qualsiasi, interno o esterno il sistema trifase in oggetto. Ad esempio, scegliendo come riferimento uno dei tre morsetti, si ottiene per la potenza una forma binomia (si veda il Teorema di Aron nel successivo corso di Misure Elettriche ).

2 59 Con riferimento ad un sistema di impedenze collegate a stella, utilizzando le tensioni stellate di fase e k (t), si ha: p(t) = e 1 (t) i 1 (t) + e 2 (t) i 2 (t) + e 3 (t) i 3 (t) Sulla base del teorema di addittività delle potenze si ha: S = S 1 + S 3 + S 3 = E 1 I 1 * + E 2 I 2 * + E 3 I 3 * S = P + jq = (P 1 + P 2 + P 3 ) + j (Q 1 + Q 2 + Q 3 ) P k = E k I k cos ϕ k, Q k = E k I k sen ϕ k Nel caso di sistema simmetrico ed equilibrato si ha: E 1 I 1 * = E 2 I 2 * = E 3 I 3 * S 1 = S 2 = S 3 S = 3 S k = 3 E k I k *, S = 3P k + j 3Q k P k = E I cos ϕ P = 3E I cos ϕ = 3V I cos ϕ Q k = E I sen ϕ Q = 3E I sen ϕ = 3V I sen ϕ

3 60 E possibile esprimere la potenza istantanea p(t) introducendo gli andamenti sinusoidali di tensioni e correnti: e k (t) = 2 E k cos (ωt+ϑ k ), i k (t) = 2 I k cos (ωt+ϑ k ϕ k ) p(t) = Σ e k(t) i k (t) = Σ 2 E k I k cos (ωt+ϑ k ) cos (ωt+ϑ k ϕ k ) p(t) = Σ [E k I k cos ϕ k + E k I k cos (2ωt +2ϑ k ϕ k )] = P + Σ E k I k cos (2ωt +2ϑ k ϕ k ) Evidenziando per ogni fase le potenze attive e reattive istantanee si possono ottenere le corrispondenti grandezze istantanee trifase complessive: p(t) = Σ [ p ak(t) + p rk (t) ] = Σ p ak (t) + Σ p rk (t) = p a (t) + p r (t) p a (t) = Σ [E k I k cos ϕ k + E k I k cos ϕ k cos (2ωt +2ϑ k )] p r (t) = Σ [E k I k sen ϕ k sen (2ωt +2ϑ k )]

4 61 p a (t) = P + Σ [E k I k cos ϕ k cos (2ωt +2ϑ k )] p r (t) = Σ [E k I k sen ϕ k sen (2ωt +2ϑ k )] La potenza attiva istantanea complessiva p a (t) ha un valor medio pari alla potenza attiva complessiva P, ed una componente sinusoidale a frequenza doppia, data dalla somma dei corrispondenti contributi delle tre fasi. La potenza istantanea reattiva complessiva p r (t) ha un valor medio nullo, ed una componente sinusoidale a frequenza doppia, data dalla somma dei corrispondenti contributi delle tre fasi. E interessante osservare che nel caso simmetrico ed equilibrato la potenza istantanea attiva complessiva è costante e pari alla potenza attiva complessiva P, mentre la potenza istantanea reattiva complessiva è nulla. Infatti, entrambe le componenti sinusoidali a frequenza doppia costituiscono una terna simmetrica; la loro somma è pertanto nulla:

5 62 Sistema simmetrico ed equilibrato: E k I k cos ϕ k = E I cos ϕ E k I k sen ϕ k = E I sen ϕ ϑ k = 0, -120, -240 p a (t) = P + E I cos ϕ Σ [ cos (2ωt +2ϑ k)] = P p r (t) = E I sen ϕ Σ [sen (2ωt +2ϑ k)] = 0 p(t) = P In tal caso il palleggio di energia corrispondente alle oscillazioni delle potenze istantanee avviene tra le fasi, bilanciandosi complessivamente. Sul sistema di alimentazione fluisce quindi una potenza costante. Attenzione: sulle singole fasi si ha comunque uno sfasamento tra tensione e corrente, e restano ovviamente definite le componenti attive e reattive delle correnti istantanee e dei corrispondenti fasori.

6 Sistemi trifase: fattore di potenza 63 Nei sistemi simmetrici ed equilibrati è possibile parlare di cos ϕ in quanto le per le tre fasi si ha lo stesso angolo di sfasamento tra le correnti e le corrispondenti tensioni: ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ. Il fattore di potenza, FP, è sempre definito come il rapporto tra la potenza attiva e quella apparente complessive: FP = P/S = P/ (P 2 +Q 2 ) FP = cos ϕ (sistema simmetrico ed equilibrato, regime sinusoidale) Nei sistemi dissimmetrici e/o squilibrati si hanno in generale 3 diversi angoli di sfasamento: ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3. E possibile in questo caso definire un cosfì convenzionale, cos Φ, utilizzando la stessa espressione del fattore di potenza: cos Φ = FP = P/S = P/ (P 2 +Q 2 ), ovvero: tg Φ = Q/P

7 Sistemi trifase: fattore di potenza 64 Da tale relazione risulta che il cos Φ è una media pesata dei cos ϕ k : P E 1 I1 E2I2 E3I3 cos Φ = = cos ϕ1 + cos ϕ2 + cos ϕ 3 S S S S E possibile dimostrare che l angolo Φ così definito corrisponde all angolo del quale si deve ruotare rigidamente la terna delle correnti rispetto quella delle tensioni per ottenere la massima potenza attiva. Dimostrazione Si consideri la potenza P ottenuta ruotando rigidamente la terna delle correnti dell angolo Φ: P = Σ E k I k cos (ϕ k Φ) = Σ E k I k [cos ϕ k cos Φ + sen ϕ k sen Φ] P = P cos Φ + Q sen Φ, la P risulta massima quando dp /dφ = 0 : dp /dφ = P sen Φ+ Q cos Φ = 0 tg Φ = Q/P, ovvero: cos Φ = P/S.

8 65 Il rifasamento di un sistema trifase presenta le stesse finalità e modalità di quello già descritto per i sistemi monofase. L unica differenza operativa consiste nel fatto che si impiegano in questo caso tre condensatori (solitamente uguali), con possibilità di collegamento a stella o a triangolo. Con riferimento ad un sistema simmetrico ed equilibrato, dapprima si stabilisce la potenza reattiva Q C necessaria per il rifasamento. Questa si ottiene come differenza della potenza reattiva complessiva che si vuole realizzare, Q, e di quella originaria del sistema trifase che si vuole rifasare, Q : Q C = Q Q (solitamente Q C < 0 rifasamento con condensatori) Q C = P [ tg ϕ tg ϕ ] Sistemi trifase: rifasamento Si distingue ora tra i casi di collegamento a stella ed a triangolo dei condensatori. Sempre con riferimento ad un sistema simmetrico si ha:

9 66 Collegamento a stella: Q C = 3 V Y 2 / X C = 3 ωc Y E 2 essendo: V Y = E C Y = Q C /(3 ωe 2 ). Collegamento a triangolo: Q C = 3 V 2 / X C = 3 ωc V 2 essendo: V = V C = Q C /(3 ωv 2 ). Sistemi trifase: rifasamento Dalla relazione V = 3 E si desume che C Y = 3C (come risulta anche dalla trasformazione stella/triangolo delle reattanze), mentre V = 3 V Y. Nota: considerazioni sulla scelta del collegamento Y/