Esercizi svolti di Elettrotecnica

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1 Marco Gilli Dipartimento di Elettronica Politecnico di Torino Esercizi svolti di Elettrotecnica Politecnico di Torino TOINO Maggio 2003

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3 Indice Leggi di Kirchhoff 5 2 Legge di Ohm e partitori 5 3 esistenze equivalenti 2 4 Metodo dei nodi 33 5 Sovrapposizione degli effetti 53 6 Circ eq di Thevenin e Norton 6 7 Fasori 7 8 eti dinamiche 75 3

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5 Capitolo Leggi di Kirchhoff Esercizio Si consideri il circuito di Fig, ove sono indicati i valori che alcune tensioni e correnti assumono ad un istante t 0 Sfruttando le leggi di Kirchhoff delle tensioni e delle correnti, si determinino i valori delle altre tensioni e correnti al medesimo istante t 0 Siano dati V 4 = 7 V, V 5 = 9 V, V 6 = 8 V, I 3 = 6 A, I 5 = 8 A ed I 6 = 7 A V I B V 5 V 3 I 5 C I 3 D I 4 V 2 V 4 V 6 I 2 I 6 A Figura : Circuito dell esercizio Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni rispettivamente alla maglia di sinistra, alla maglia di destra ed alla maglia esterna si ottiene 5

6 6 CAPITOLO LEGGI DI KICHHOFF V 2 = V 5 V 4 = 9 V 7 V = 2 V V 3 = V 4 V 6 = 7 V 8 V = V V = V 2 V 6 = 2 V 8 V = 0 V Applicando la legge Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi B, C e D si ottiene I 4 = I 5 I 3 = 8 A 6 A = 4 A I = I 6 I 5 = 7 A 6 A = A I 2 = I I 5 = A 8 A = 7 A

7 7 Esercizio 2 Con riferimento al circuito di Fig 2 e facendo uso della legge di Kirchhoff delle correnti, si calcolino le correnti incognite Siano dati I a = 8 A, I b = 2 A, I c = 5 A, I d = 6 A, I e = 8 A, ed I f = 0 A A I I e I d B I 2 I a C I Ib c I f Figura 2: Circuito dell esercizio 2 Applicando la legge Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi C e B si ottiene I 2 = I a I b I c = 8 A 2 A 5 A = A I = I 2 I d I e I f = A ( 6) A 8 A 0 A = 25 A

8 8 CAPITOLO LEGGI DI KICHHOFF Esercizio 3 Con riferimento al circuito di Fig 3 e facendo uso della legge di Kirchhoff delle correnti, si calcolino le correnti incognite Siano dati I a = 4 A, I b = 3 A, I c = 2 A, I d = 5 A ed I e = 6 A I 2 I I a Ie A I d B I c Ib Figura 3: Circuito dell esercizio 3 Applicando la legge Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi A e B si ottiene I = I a I b I c = 4 A ( 3) A 2 A = 9 A I 2 = I d I e I = 5 A ( 6) A 9 A = 0 A

9 9 Esercizio 4 Con riferimento al circuito di Fig 4 e facendo uso della legge di Kirchhoff delle correnti, si calcolino le correnti incognite Siano dati I a = 3 A, I b = 5 A, I c = A ed I d = 5 A I a A I c I I b B I 3 C I 4 I 2 D I d Figura 4: Circuito dell esercizio 4 Applicando la legge Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi A, B, D e C si ottiene I = I a I c = 3 A A = 2 A I 2 = I I b = 2 A 5 A = 3 A I 3 = I 2 I d = 3 A 5 A = 2 A I 4 = I 3 I c = 2 A A = 3 A

10 0 CAPITOLO LEGGI DI KICHHOFF Esercizio 5 Dato il circuito di Figura calcolare le tensioni V, V 2 e V 3 Siano dati V a = 8 V, V b = V, V c = 0 V, V d = 4 V e V e = 5 V V c V d V b V 3 B V e V a A V 2 C V Figura 5: Circuito dell esercizio 5 Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni rispettivamente alle maglie B, A e C si ottiene: V 3 = V d V c = 4 V 0 V = 4 V V 2 = V 3 V b V a = 4 V V 8 V = 5 V V = V d V e V 2 = 4 V 5 V 5 V = 4 V

11 Esercizio 6 Dato il circuito di Fig 6, calcolare le correnti I, I 2 ed I 3 I a = 2 ma, I b = 8 ma ed I c = 9 ma Siano dati A I a I I b B I 2 I 3 C I c D Figura 6: Circuito dell esercizio 6 Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi A, C e D si ottiene: I = I b I a = 8 ma 2 ma = 4 ma I 2 = I c I b = 9 ma 8 ma = ma I 3 = I c I a = 9 ma 2 ma = 3 ma Volendo si può scrivere un ulteriore equazione come verifica dei calcoli appena svolti: la somma delle correnti entranti nel nodo B deve essere uguale a zero I I 2 I 3 = 4 ma ma ( 3 ma) = 0

12 2 CAPITOLO LEGGI DI KICHHOFF Esercizio 7 Dato il circuito di Fig 7, calcolare le correnti I, I 2 ed I 3 I a = A, I b = 2 A, I c = 0 A ed I d = 3 A Siano dati A I a I b B I c I I 2 C I 3 D I d Figura 7: Circuito dell esercizio 7 Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi A, B e C si ottiene: I = I b I c I a = 2 A 0 A A = A I 2 = I b I d I a = 2 A 3 A A = 4 A I 3 = I I c = A 0 A = A Volendo si può scrivere un ulteriore equazione come verifica dei calcoli appena svolti: la somma delle correnti entranti nel nodo D deve essere uguale a zero I 2 I 3 I d = 4 A A 3 A = 0

13 3 Esercizio 8 Dato il circuito di Fig 8, calcolare le tensioni V, V 2 e V 3 V a = 20 V, V b = 25 V, V c = 0 V e V d = 5 V Siano dati V d V b V c B V 2 V a A V C V 3 Figura 8: Circuito dell esercizio 8 Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni rispettivamente alle maglie A, B e C si ottiene: V = V a V b V c = 20 V 25 V 0 V = 35 V V 2 = V d V c = 5 V 0 V = 5 V V 3 = V V 2 = 35 V 5 V = 30 V

14 4 CAPITOLO LEGGI DI KICHHOFF Esercizio 9 Dato il circuito di Fig 9, calcolare le tensioni V, V 2 e V 3 E = 0 V, E 2 = 2 V e E 3 = 0 V Siano dati V E V 2 V 3 E 3 E 2 Figura 9: Circuito dell esercizio 9 Osservando la maglia di destra si vede subito che V 3 = E 3 = 0 V Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni rispettivamente alla maglia esterna ed alla maglia di sinistra si ottiene V = E E 2 E 3 = 24 V 2 V 0 V = 2 V V 2 = V E = 2 V 24 V = 22 V Come verifica dei calcoli appena svolti si può scrivere l equazione delle tensioni alla maglia centrale V 3 = E 2 V 2 = 2 V ( 22 V ) = 0 V che è lo stesso valore ottenuto in precedenza

15 Capitolo 2 Legge di Ohm e partitori Esercizio 2 Dato il circuito di Fig 2, calcolare la corrente I, la potenza dissipata dal resistore e le potenze fornite dai singoli generatori Siano dati V a = 0 V, V b = 2 V, V c = 8 V ed = 3 Ω V b V a V c I V Figura 2: Circuito dell esercizio 2 Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni all unica maglia presente nel circuito si ottiene V a V b V c I = 0 da cui I = V a V b V c 0 V 2 V 8 V = = 2 A 3 Ω Essendo la potenza dissipata da un resistore pari alla corrente per la tensione ai sui capi (nella convenzione di utilizzatore), si ha che la potenza dissipata da è pari a P = V I = I 2 = 3 Ω (2 A) 2 = 2 W 5

16 6 CAPITOLO 2 LEGGE DI OHM E PATITOI La potenza fornita dai generatori è ancora pari al prodotto della tensione ai capi del generatore per la corrente che lo attraversa, ma nelle convenzioni di utilizzatore, per cui si ottiene P a = V a I = 0 V ( 2 A) = 20 W P b = V b I = 2 V ( 2 A) = 24 W P c = V c I = 8 V ( 2 A) = 6 W Si verifica infine che la somma algebrica delle potenze fornite dai generatori al circuito è uguale a alla somma algebrica delle potenze dissipate dai resistori del circuito P a P b P c = 20 W 24 W 6 W = 2 W = P

17 7 Esercizio 22 Dato il circuito di Fig 22, trovare i valori di i, i 2, i 3 e i 4 = 60 Ω, 2 = 40 Ω, 3 = 80 Ω, 4 = 20 Ω e J = 0 A Siano dati 4 i 4 3 i 3 i 2 i 2 J Figura 22: Circuito dell esercizio 228 Le quattro resistenze sono in parallelo Per calcolare le correnti incognite basta applicare la regola del partitore di corrente Ω 80 Ω 20 Ω i = J ( ) = 0 A 60 Ω(40 Ω 80 Ω 20 Ω) = 6 A Ω 80 Ω 20 Ω i 2 = J 2 ( 3 4 ) = 0 A 40 Ω(60 Ω 80 Ω 20 Ω) = 24 A Ω 40 Ω 20 Ω i 3 = J 3 ( 2 4 ) = 0 A 80 Ω(60 Ω 40 Ω 20 Ω) = 2 A Ω 40 Ω 80 Ω i 4 = J 4 ( 2 3 ) = 0 A 20 Ω(60 Ω 40 Ω 80 Ω) = 48 A

18 8 CAPITOLO 2 LEGGE DI OHM E PATITOI Esercizio 23 Dato il circuito di Fig 23, trovare i valori di i 0 e V 0 Siano dati = 70 Ω, 2 = 30 Ω, 3 = 40 Ω, 4 = 0 Ω e E = 58 V E i V 2 i 0 i 3 3 V 0 4 Figura 23: Circuito dell esercizio 23 Le resistenze ed 2 sono in parallelo, così come 3 ed 4 La tensione incognita V 0 si calcola con la regola del partitore di tensione 3 4 V 0 = E ( 2 ) ( 3 4 ) = 58 V 40 Ω 0 Ω (70 Ω 30 Ω) (40 Ω 0 Ω) = 6 V Per trovare il valore di i 0 bisogna prima calcolare il valore di i ed i 3 i = E V 0 = 58 V 6 V 70 Ω = 06 A i 3 = V 0 3 = 6 V 40 Ω = 04 A da cui i 0 = i i 3 = 06 A 04 A = 02 A

19 9 Esercizio 24 Dato il circuito di Fig 24, trovare i valori di i 0 e V 0 Siano dati = 80 Ω, 2 = 20 Ω, 3 = 30 Ω, 4 = 60 Ω, 5 = 0 Ω e E = 20 V i 0 5 E V 0 Figura 24: Circuito dell esercizio 232 La resistenza è in corto circuito, quindi la corrente i 0 è uguale alla corrente erogata dal generatore di tensione i 0 = E 2 ( 3 4 ) = 20 V 20 Ω (30 Ω 60 Ω) = 05 A Visto che sulla resistenza 5 non scorre corrente, la tensione V 0 è uguale alla tensione sul parallelo tra 3 ed 4 V 0 = i 0 ( 3 4 ) = 05 A (30 Ω 60 Ω) = 0 V

20 20 CAPITOLO 2 LEGGE DI OHM E PATITOI

21 Capitolo 3 esistenze equivalenti Esercizio 3 Dato il circuito di Fig 3, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b a b Figura 3: Circuito dell esercizio 3 La resistenza è in parallelo ad un corto circuito, quindi ab = 0 2

22 22 CAPITOLO 3 ESISTENZE EQUIVALENTI Esercizio 32 Dato il circuito di Fig 32, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b a b Figura 32: Circuito dell esercizio 32 ab = ( ) ( ) = 2 2 =

23 23 Esercizio 33 Dato il circuito di Fig 33, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b a b Figura 33: Circuito dell esercizio 33 ab = ( ) ( ) = (2) (2) =

24 24 CAPITOLO 3 ESISTENZE EQUIVALENTI Esercizio 34 Dato il circuito di Fig 34, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b a b 3 Figura 34: Circuito dell esercizio 34 ab = [( ) ] (3) = ( ) 2 (3) =

25 25 Esercizio 35 Dato il circuito di Fig 35, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b a b 2 3 Figura 35: Circuito dell esercizio 35 ab = (3) (2) () = 3 2 = 6

26 26 CAPITOLO 3 ESISTENZE EQUIVALENTI Esercizio 36 Dato il circuito di Fig 36, calcolare la corrente I e la resistenza eq vista ai capi del generatore di tensione E Siano dati E = 0 V, = 3 Ω, 2 = 4 Ω, 3 = 2 Ω, 4 = 6 Ω, 5 = Ω ed 6 = 2 Ω E I eq Figura 36: Circuito dell esercizio 36 Per il calcolo della resistenza equivalente vista dal generatore di tensione conviene prima calcolare la resistenza La eq è ora data da = ( 6 5 ) 4 = (2 Ω Ω) (6 Ω) = 2 Ω eq = [ ( 3 ) 2 ] = [(2 Ω 2 Ω) (4 Ω)] 3 Ω = 5 Ω La corrente I è la corrente erogata dal generatore di tensione e vale I = E eq = 0 V 5 Ω = 2 A

27 27 Esercizio 37 Dato il circuito di Fig 37, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b Siano dati = 60 Ω, 2 = 0 Ω, 3 = 30 Ω ed 4 = 60 Ω a b Figura 37: Circuito dell esercizio 37 I terminali a e b appartengono allo stesso nodo, quindi ab = 0

28 28 CAPITOLO 3 ESISTENZE EQUIVALENTI Esercizio 38 Dato il circuito di Fig 38, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b Siano dati = 5 Ω, 2 = 4 Ω, 3 = 5 Ω, 4 = 6 Ω, 5 = 20 Ω, 6 = 0 Ω, 7 = 8 Ω, 8 = 4 Ω, 9 = 5 Ω, 0 = 9 Ω ed = Ω a b Figura 38: Circuito dell esercizio 38 0 Per semplicità conviene calcolare ed = ( 0 ) 9 8 = ( Ω 9 Ω) (5 Ω) (4 Ω) = 2 Ω = ( 7 ) 6 5 = (2 Ω 8 Ω) (0 Ω) (20 Ω) = 4 Ω La resistenza vista tra i due morsetti vale ab = [ ( 4 ) 3 ] 2 = [(4 Ω 6 Ω) (5 Ω)] 4 Ω 5 Ω = 5 Ω

29 29 Esercizio 39 Dato il circuito di Fig 39, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b Siano dati = 70 Ω, 2 = 30 Ω, 3 = 60 Ω 4 = 20 Ω ed 5 = 40 Ω a 2 b Figura 39: Circuito dell esercizio 39 ab = ( 2 ) ( 3 4 ) 5 = (70 Ω 30 Ω) (60 Ω 20 Ω) 40 Ω = 76 Ω

30 30 CAPITOLO 3 ESISTENZE EQUIVALENTI Esercizio 30 Dato il circuito di Fig 30, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b Siano dati = 8 Ω, 2 = 30 Ω, 3 = 20 Ω, 4 = 40 Ω, 5 = 60 Ω, 6 = 4 Ω, 7 = 0 Ω, 8 = 50 Ω, 9 = 70 Ω, 0 = 80 Ω ed = 6 Ω a b Figura 30: Circuito dell esercizio 30 Le resistenze 7, 8, 9 ed 0 non intervengono nel calcolo della ab perché sono in parallelo ad un corto circuito La resistenza vista tra i due morsetti vale quindi ab = ( 2 3 ) ( 4 5 ) 6 = = 8 Ω (30 Ω 20 Ω) (40 Ω 60 Ω) 4 Ω 6 Ω = 54 Ω

31 3 Esercizio 3 Dato il circuito di Fig 3, determinare la resistenza equivalente ab tra i morsetti a e b Siano dati = 5 Ω, 2 = 6 Ω, 3 = 0 Ω 4 = 8 Ω, 5 = 20 Ω ed 6 = 3 Ω 2 3 a b Figura 3: Circuito dell esercizio 3 ab = ( 5 ) ( 2 6 ) 3 4 = = (5 Ω 20 Ω) (6 Ω 3 Ω) 0 Ω 8 Ω = 24 Ω

32 32 CAPITOLO 3 ESISTENZE EQUIVALENTI

33 Capitolo 4 Metodo dei nodi Esercizio 4 Dato il circuito di Fig 4, trovare i valori di V e V 2 utilizzando il metodo dei nodi Siano dati = 00 Ω, 2 = 50 Ω, 3 = 20 Ω, 4 = 40 Ω, J = 6 A e J 2 = 3 A 3 J V V J 2 Figura 4: Circuito dell esercizio 4 Scriviamo le equazioni delle correnti uscenti dai nodi di V e V 2 : V V 2 V V 2 3 J = 0 V 2 4 V 2 V 3 J J 2 = 0 33

34 34 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI Le uniche due incognite sono V e V 2 iordinando il sistema e ponendolo in forma matriciale si ha: V J = V 2 J J Sostituendo i valori numerici e risolvendo il sistema si ottiene: 00 Ω 50 Ω 20 Ω 20 Ω V 6 A 20 Ω 20 Ω = V 2 6 A 3 A 40 Ω da cui V = 0 e V 2 = 20 V

35 35 Esercizio 42 Dato il circuito di Fig 42, trovare il valore di V 0 utilizzando il metodo dei nodi Siano dati = 40 Ω, 2 = 60 Ω, 3 = 20 Ω, E = 2 V ed E 2 = 0 V V 0 E 2 E 2 3 Figura 42: Circuito dell esercizio 42 Prima di procedere con i calcoli si trasformano i rami contenenti generatori di tensione in serie a resistenze nei loro equivalenti Norton: V 0 J J con J = E = 300 ma, J 2 = E 2 3 = 500 ma, = = 40 Ω e 3 = 3 = 20 Ω Scrivendo l equazione delle correnti uscenti dal nodo di V 0 si ha: V 0 isolvendo l equazione si ottiene V 0 V J J 2 = 0 V V

36 36 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI Esercizio 43 Dato il circuito di Fig 43, trovare i valori di V e V 2 utilizzando il metodo dei nodi Siano dati = 0 Ω, 2 = 20 Ω, 3 = 40 Ω, 4 = 80 Ω, E = 40 V, E 2 = 20 V e J = 5 A J V 2 V E E 2 Figura 43: Circuito dell esercizio 43 Prima di procedere con i calcoli si trasformano i rami contenenti generatori di tensione in serie a resistenze nei loro equivalenti Norton: J V 2 V 2 J J con J = E = 4 A, J 2 = E 2 = 250 ma, = = 0 Ω e 4 = 4 = 4 80 Ω Impostando il sistema in forma matriciale nelle incognite V e V 2 si ha:

37 Sostituendo i valori numerici si ottiene: 0 Ω 20 Ω 20 Ω 20 Ω 20 Ω 40 Ω 80 Ω Il sistema di equazioni ha come soluzioni V V 2 J J = J J 2 V V 2 4 A 5 A = 5 A 025 A V 42 V e V V

38 38 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI Esercizio 44 Dato il circuito di Fig 44, trovare i valori di V, V 2 e V 3 utilizzando il metodo dei nodi Siano dati G = S, G 2 = 2 S, G 3 = 4 S, G 4 = 8 S, E = 3 V e J = A G 2 V 2V 2 G V 2 4 V 3 J G G 3 E Figura 44: Circuito dell esercizio 44 I nodi di V e V 2 vanno considerati come un unico supernodo Inoltre bisogna aggiungere al sistema l equazione costitutiva del generatore dipendente di tensione ed il valore di V 3 che è noto Le equazioni del sistema sono: V G (V V 3 )G 2 V 2 G 3 (V V 3 )G 4 = J V V 2 = 2V 2 V 3 = E iordinando i termini e ponendo il tutto in forma matriciale si ottiene: G G 2 G 3 G 4 G 2 G V V 2 V 3 = J 0 E

39 39 Sostituendo i valori numerici si ottiene: S 2 S 4 S 8 S 2 S 8 S V V 2 V 3 = A 0 3 V Il sistema di equazioni ha come soluzioni V 87 V V V V 3 = 3 V

40 40 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI Esercizio 45 Dato il circuito di Fig 45, trovare il valore di I 0 utilizzando il metodo dei nodi Siano dati = 4 Ω, 2 = 0 Ω, 3 = 2 Ω, 4 = 8 Ω ed E = 30 V I 0 V 3 3 V 2 V 2 E 3I 0 4 Figura 45: Circuito dell esercizio 45 Alle equazioni dei nodi di V, V 2 e V 3 bisogna aggiungere l equazione del generatore dipendente di corrente in funzione delle altre variabili: I 0 = V V 3 Il sistema risultante è il seguente: V V 2 V 3 I 0 = E 0 0 0

41 4 Sostituendo i valori numerici si ottiene: Ω 0 Ω 3 2 Ω 2 Ω 4 Ω 0 Ω 4 Ω 2 Ω 8 Ω Ω 4 Ω V V 2 V 3 I 0 = 30 V Il sistema di equazioni ha come soluzioni V = 30 V V V V V I A

42 42 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI Esercizio 46 Dato il circuito di Fig 46, trovare i valori di V e V 2 utilizzando il metodo dei nodi Siano dati = Ω, 2 = 4 Ω, 3 = 8 Ω, 4 = Ω, E = 6 V e J = 3 A 3 V J V 2 V0 E 2 4 5V 0 Figura 46: Circuito dell esercizio 46 Scriviamo le equazioni delle correnti uscenti dai nodi di V e V 2 : V E V 2 V V 2 3 J = 0 V 2 V 3 V 2 5V 0 4 J = 0 A queste due equazioni bisogna aggiungere l equazione costitutiva del generatore dipendente di tensione in funzione dei potenziali ai nodi: V 0 = E V Mettendo insieme le tre equazioni e riordinando i termini si ottiene il seguente sistema: V V 2 V 0 = E J J E

43 43 Sostituendo i valori numerici e risolvendo il sistema si ottiene: Ω 4 Ω 0 6 V 8 Ω 8 Ω V 8 Ω 8 Ω Ω 3 A 5 Ω Ω V 2 = 3 A V V da cui V = 0 V V 2 = 24 V V 0 = 6 V

44 44 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI Esercizio 47 Dato il circuito di Fig 47, trovare i valori di V, V 2 e V 3 utilizzando il metodo dei nodi Siano dati G = 2 S, G 2 = S, G 3 = 4 S, G 4 = 4 S, G 5 = S, G 6 = 2 S, J = 4 A e J 2 = 8 A G 3 3I 0 V G 2 V 2 G 5 V 3 I 0 J G J G 4 G 6 2 Figura 47: Circuito dell esercizio 47 Considerando le equazioni delle correnti uscenti dai nodi di V, V 2 e V 3, e tenendo conto che la corrente che pilota il generatore dipendente vale I 0 = V 2 G 4 si ottiene il seguente sistema: G G 2 G 3 G 2 G 3 3 G 2 G 2 G 4 G 5 G 5 0 G 3 G 5 G 3 G 5 G G 4 0 V V 2 V 3 I 0 = J 0 J 2 0

45 45 Sostituendo i valori numerici e risolvendo il sistema si ottiene: 2 S S 4 S S 4 S 3 S S 4 S S S 0 4 S S 4 S S 2 S S 0 V V 2 V 3 I 0 = 4 A 0 8 A 0 da cui V = 25 V V 2 = 075 V V 3 = 325 V I 0 = 3 A

46 46 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI Esercizio 48 Dato il circuito di Fig 48, trovare i valori di V 0 ed I 0 utilizzando il metodo dei nodi Siano dati = 0 Ω, 2 = 20 Ω, 3 = 40 Ω, 4 = 80 Ω, E = 0 V ed E 2 = 2 V 3 E 2 E I 0 V 2 V 2 4V 0 2I 4 0 V 0 Figura 48: Circuito dell esercizio 48 Si nota subito che V 0 = V 2 Scriviamo quindi le equazioni delle correnti uscenti dai nodi di V e V 2 : V E V 4V 2 2 V V 2 E 2 3 = 0 V 2 4 V 2 V E 2 3 2I 0 = 0 Le equazioni sono 2 ma le incognite sono 3, bisogna perciò aggiungere un altra equazione: I 0 = V V 2 E 2 3

47 47 Mettendo insieme le tre equazioni e riordinando i termini si ottiene il seguente sistema: 4 E E V V 2 I 0 = E 2 3 E 2 3 Sostituendo i valori numerici e risolvendo il sistema si ottiene: 0 Ω 20 Ω 40 Ω 40 Ω Ω V 40 Ω 40 Ω 2 80 Ω V 2 = I 0 40 Ω 40 Ω da cui V = 688 V V 2 = V 0 = 344 V I 0 = 056 A 0 V 0 Ω 2 V 40 Ω 2 V 40 Ω 2 V 40 Ω

48 48 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI Esercizio 49 Dato il circuito di Fig 49, trovare i valori di V, V 2 e V 3 utilizzando il metodo dei nodi Siano dati = 4 Ω, 2 = Ω, 3 = Ω, 4 = 4 Ω, 5 = 2 Ω, E = 5 V e J = A 2 V0 4I 0 2V 0 V V 2 V 3 I 0 J E Figura 49: Circuito dell esercizio 49 Come prima operazione conviene trasformare il ramo di destra nel suo equivalente Norton: 2 V0 4I 0 2V 0 V V 2 V 3 I 0 J J dove J = E 5 = 25 A ed 5 = 5 Considerando il ramo contenente il generatore dipendente di tensione come un unico supernodo, ed aggiungendo le equazioni che legano le incognite V 0 ed I 0 alle tensioni nodali, si giunge al seguente sistema:

49 49 V V V 3 3 V 2 2 2V 0 J = 0 V 3 V V 3 V 2V 0 J = 0 3 V 2 V = 4I 0 V 0 = V V 3 I 0 = V 3 4 iordinando i termini e ponendo il tutto in forma matriciale si ottiene: V V 2 V 3 V 0 I 0 = J 0 J 0 0 Sostituendo i valori numerici e risolvendo il sistema si ottiene: 4 Ω Ω Ω Ω Ω 0 Ω 4 Ω 2 Ω Ω 0 V V 2 V 3 V 0 I 0 = A 0 25 A 0 0

50 50 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI da cui V 2545 V V V V V V V I ma

51 5 Esercizio 40 Dato il circuito di Fig 40, trovare i valori di V, V 2 e V 3 Siano dati = 5 Ω, 2 = 8 Ω, E = 0 V, E 2 = 2 V, E 3 = 20 V e J = A E E 3 J E 2 2 V V 2 V 3 Figura 40: Circuito dell esercizio 40 Dall analisi del circuito si vede immediatamente che V = E 2 E = 2 V V 2 = E 2 = 2 V V 3 = E 2 E 3 = 8 V

52 52 CAPITOLO 4 METODO DEI NODI

53 Capitolo 5 Sovrapposizione degli effetti Esercizio 5 Dato il circuito di Fig 5, trovare il valore di i x e la potenza P x dissipata su 2 usando il metodo della sovrapposizione degli effetti Siano dati = 24 Ω, 2 = 20 Ω, 3 = 80 Ω, E = 30 V e J = 2 A E i x 2 3 J Figura 5: Circuito dell esercizio 47 Per calcolare la i x dovuta al generatore di tensione E si spegne il generatore di corrente J Il circuito risultante è il seguente E V x i x

54 54 CAPITOLO 5 SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Per il calcolo di i x conviene prima trovare la tensione ai capi del parallelo tra 2 ed 3 da cui 2 3 x = E ( 2 3 ) = 30 V 20 Ω 80 Ω 24 Ω (20 Ω 80 Ω) = 2 V V i x = V x 2 = 2 V 20 Ω = 06 A Per calcolare la i x dovuta al generatore di corrente J si spegne il generatore di tensione E Il circuito risultante è il seguente i x 2 3 J Il valore di i x è dato da un semplice partitore di corrente i 3 x = J 2 ( 3 ) = 2 A 24 Ω 80 Ω 20 Ω (24 Ω 80 Ω) = 096 A Mettendo insieme i due risultati si ha i x = i x i x = 06 A 096 A = 036 A e P x = 2 i 2 x = 20 Ω ( 036 A) 2 = 2592 W

55 55 Esercizio 52 Dato il circuito di Fig 52, trovare il valore di i x e la potenza P x dissipata su 3 usando il metodo della sovrapposizione degli effetti Siano dati = 4 Ω, 2 = 2 Ω, 3 = 6 Ω, 4 = 8 Ω, E = 40 V, E 2 = 32 V e J = 2 A E 2 i x 3 J 4 E 2 Figura 52: Circuito dell esercizio 42 Primo effetto i E 2 4 i x 3 Per calcolare i x conviene prima calcolare i : i = E [( 2 3 ) 4 ] = 40 V 4 Ω [(2 Ω 6 Ω) 8 Ω] = 5 A Il valore di i x si ricava facendo un partitore di corrente: i 4 8 Ω x = i = 5 A Ω 6 Ω 8 Ω = 25 A

56 56 CAPITOLO 5 SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Secondo effetto 2 J 4 i x 3 Il parallelo delle resistenze e 4 è in serie ad 3, quindi i x si trova con un partitore di corrente: i 2 x = J 2 3 ( 4 ) = 2 A 2 Ω 2 Ω 6 Ω (4 Ω 8 Ω) = 0375 A Terzo effetto i 4 2 i x 3 4 E 2 Per calcolare i x conviene prima calcolare i 4 : i 4 = E 2 4 [( 3 2 ) ] = 32 V 8 Ω [(6 Ω 2 Ω) 4 Ω] = 3 A Il valore di i x si ricava facendo un partitore di corrente: i 4 Ω x = i 4 = 3 A Ω 2 Ω 6 Ω = A

57 57 Complessivo La corrente i x vale i x = i x i x i x = 25 A 0375 A A = 875 A mentre P x vale P x = 3 i 2 x 2 W

58 58 CAPITOLO 5 SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Esercizio 53 Dato il circuito di Fig 53, trovare il valore di i 0 usando il metodo della sovrapposizione degli effetti Siano dati = 8 Ω, 2 = 20 Ω, 3 = 6 Ω, 4 = 4 Ω, 5 = 0 Ω, E = 24 V, J = 4 A e J 2 = 2 A J i 0 3 E J 2 Figura 53: Circuito dell esercizio 43 Primo effetto i 0 3 E La corrente i 0 è la corrente erogata dal generatore di tensione E i 0 = E [ 2 ( )] = 24 V 8 Ω [20 Ω (6 Ω 4 Ω 0 Ω)] 33 A Secondo effetto Calcoliamo prima i x con un partitore di corrente 3 i x = J ( 2 ) = 4 A 6 Ω 6 Ω 4 Ω 0 Ω (8 Ω 20 Ω) 093 A

59 59 J i i x 5 da cui i 2 0 = i x = 093 A 20 Ω 2 20 Ω 8 Ω 067 A Terzo effetto i i y 5 J 2 Calcoliamo prima i y con un partitore di corrente 5 i y = J ( 2 ) = 2 A 0 Ω 0 Ω 4 Ω 6 Ω (8 Ω 20 Ω) 078 A da cui i 2 0 = i y = 078 A 20 Ω 2 20 Ω 8 Ω 055 A Complessivo La corrente i 0 vale i 0 = i 0 i 0 i 0 = 33 A 067 A 055 A 0 A

60 60 CAPITOLO 5 SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

61 Capitolo 6 Circuiti equivalenti di Thevenin e Norton Esercizio 6 Dato il circuito di Fig 6, trovare il circuito equivalente di Thevenin tra i morsetti a e b Siano dati = Ω, 2 = Ω, 3 = 2 Ω, 4 = 2 Ω, 5 = Ω, 6 = Ω, E = 3 V, E 2 = 2 V e J = 5 A 3 a E b E J 5 6 Figura 6: Circuito dell esercizio 448 esistenza equivalente Spegnendo i generatori di corrente e di tensione e trasformando in triangolo la stella costituita dai resistori, 5 ed 6, si ha 6

62 62 CAPITOLO 6 CIC EQ DI THEVENIN E NOTON 3 a 2 4 b b c a dove a = b = c = 3 Ω, da cui ab = a [( b 2 ) ( 3 4 c )] = 3 Ω [(3 Ω Ω) (2 Ω 2 Ω 3 Ω)] = Ω Tensione a vuoto Il metodo più veloce consiste nel trasformare il gruppo 3-4 -E 2 nel suo equivalente Thevenin: a E 2 eq eq i 2 A b E J B i dove eq = 3 4 = 2 Ω 2 Ω = Ω E eq = E = V

63 63 La tensione a vuoto V ab è data da V ab = 2 i 2 eq i 6 E eq Per calcolare le correnti incognite conviene applicare il teorema di Millman ai nodi A e B: E V AB = 2 J E eq eq 6 2 = 3 V 5 eq 6 da cui i 2 = E V AB 2 = 0 A i 6 = V ABE eq eq 6 = 3 V V Ω Ω = 2 A e quindi V ab = 2 i 2 eq i 6 E eq = V Circuito equivalente di Thevenin ab V ab a b

64 64 CAPITOLO 6 CIC EQ DI THEVENIN E NOTON Esercizio 62 Dato il circuito di Fig 62, trovare il circuito equivalente di Thevenin tra i morsetti a e b, e tra i morsetti b e c Siano dati = 4 Ω, 2 = 6 Ω, 3 = 8 Ω, 4 = 0 Ω, 5 = 2 Ω, E = 48 V e J = 2 A 2 5 a E 3 b 4 J c Figura 62: Circuito dell esercizio 435 esistenze equivalenti Spegnendo i generatori di corrente e di tensione si ha ab = ( 2 4 ) 3 5 = (4 Ω 6 Ω 0 Ω) 8 Ω 2 Ω 77 Ω bc = ( 2 3 ) 4 = (4 Ω 6 Ω 8 Ω) 0 Ω 643 Ω Tensioni a vuoto Per semplificare i conti conviene trasformare il gruppo 4 -J nel suo equivalente Thevenin: dove eq = 4 = 0 Ω E eq = J 4 = 20 V La tensione a vuoto V ab è data da 3 8 Ω V ab = (E E eq ) = (48 V 20 V ) 3 2 eq 8 Ω 4 Ω 6 Ω 0 Ω = 8 V

65 a E 3 eq E eq b c mentre la tensione V bc è data da V bc = E 2 3 E eq = 30 V Circuito equivalente di Thevenin tra i morsetti a e b ab V ab a b Circuito equivalente di Thevenin tra i morsetti b e c bc V bc b c

66 66 CAPITOLO 6 CIC EQ DI THEVENIN E NOTON Esercizio 63 Dato il circuito di Fig 63, trovare il circuito equivalente di Norton tra i morsetti a e b Siano dati = Ω, 2 = 4 Ω, 3 = 2 Ω, E = 4 V e J = 3 A J 3 a E 2 b Figura 63: Circuito dell esercizio 439 esistenza equivalente Spegnendo i generatori di corrente e di tensione si ha ab = ( 2 ) 3 = ( Ω 4 Ω) 2 Ω = 28 Ω Corrente di corto circuito Il circuito diventa: J A 3 i 3 a E B 2 i cc b La corrente di corto circuito è data da i cc = i 3 J

67 67 Per calcolare la corrente i 3 conviene applicare il teorema di Millman tra i nodi A e B: E V AB = J V 3 da cui e quindi i 3 = V AB 3 = 057 V 2 Ω = 0285 A i cc = i 3 J = 0285 A 3 A = 3285 A Circuito equivalente di Norton a i cc ab b

68 68 CAPITOLO 6 CIC EQ DI THEVENIN E NOTON Esercizio 64 Dato il circuito di Fig 64, trovare i circuiti equivalenti di Thevenin e Norton tra i morsetti a e b Siano dati = Ω, 2 = 5 Ω, 3 = 2 Ω, 4 = 4 Ω e J = 8 A J 3 a b V 2 2 V 4 4 Figura 64: Circuito dell esercizio 448 esistenza equivalente Spegnendo il generatore di corrente J si ha eq = ( 3 ) ( 2 4 ) = ( Ω 2 Ω) (5 Ω 4 Ω) = 225 Ω Tensione a vuoto La tensione a vuoto V ab è data da V ab = V 2 V 4 inoltre Ω4 Ω V 2 = 2 J = 5 Ω 8 A Ω5 Ω2 Ω4 Ω = 20 V 2 Ω5 Ω V 4 = 4 J = 4 Ω 8 A Ω5 Ω2 Ω4 Ω = 6 V e quindi V ab = V 2 V 4 = 20 V 6 V = 4 V

69 69 J 3 i a b i 2 icc 2 4 Corrente di corto circuito Il circuito diventa così La corrente i cc è data da dove i cc = i i 2 i = J 3 3 = 8 A 2 Ω 2 Ω Ω 533 A i 2 = J = 8 A 4 Ω 4 Ω5 Ω 355 A da cui i cc = i i 2 = 533 A 355 A 78 A Circuito equivalente di Thevenin eq V ab a b Circuito equivalente di Norton

70 70 CAPITOLO 6 CIC EQ DI THEVENIN E NOTON a i eq cc b

71 Capitolo 7 Fasori Esercizio 7 Calcolare i numeri complessi risultanti dalle seguenti espressioni ed esprimerli in forma cartesiana (a) j4 j2 (b) 8 ( 20 ) (2 j)(3 j4) 0 5 j2 (c) 0 (8 50 )(5 j2) (d) 2 3 j4 5 j8 (e) 4 ( 0 ) j2 3 6 (f) ( 20 ) (a) j4 j2 = 06 j06 3 j4 j2 = 042 j297 j2 = 042 j497 (b) 8 ( 20 ) (2 j)(3 j4) j274 = 03 j07 = 5 j2 0 j5 = 07 j j07 = 04 j063 7

72 72 CAPITOLO 7 FASOI (c) 0(8 50 )(5 j2) = 0(54j63)(5 j2) = j307 = = 0925 j307 (d) 2 3 j4 = 2 09 j049 = 8 j049 5 j8 (e) 4 ( 0 ) j2 3 6 = 394 j069 j2 298 j03 = = 394 j j07 = 42 j39 (f) ( 20 ) 788 j j j = = 56 j j306 0 j58 = = 05 j224

73 73 Esercizio 72 Calcolare le sinusoidi corrispondenti a ciascuno dei seguenti fasori (a) V = 60 5, (b) V 2 = 6 j8, (c) I = 28e jπ/3, ω = rad/s ω = 40 rad/s ω = 377 rad/s (d) I 2 = 05 j2, ω = 000 rad/s (a) v = 60 cos(t 5 ) V (b) V 2 = 6 j8 = 0 53 v 2 = 0 cos(40t 53 ) V (c) I = 28e jπ/3 = 28 ( 60 ) i = 28 cos(377t 60 ) A (d) I 2 = 05 j2 = 3 ( 26 ) i 2 = 3 cos(000t 26 ) A

74 74 CAPITOLO 7 FASOI Esercizio 73 Calcolare le seguenti espressioni utilizzando i fasori (a) 3 cos(50t 0 ) 5 cos(50t 30 ) (b) 40 sin 30t 30 cos(30t 45 ) (c) 20 sin 00t 0 cos(00t 60 ) 5 sin(00t 20 ) (a) Passando ai fasori si ha ( 30 ) = 295j j25 = 38j302 = e quindi 3 cos(50t 0 ) 5 cos(50t 30 ) = 332 cos(50t 4 ) (b) Passando ai fasori si ha j4030 ( 45 ) = j4022 j22 = 22 j62 = 6478 ( 709 ) e quindi 40 sin 30t 30 cos(30t 45 ) = 6478 cos(30t 709 ) (c) Passando ai fasori si ha j ( 0 ) = j205j8667j47 = 944 ( 447 ) e quindi 20 sin 00t0 cos(00t60 ) 5 sin(00t 20 ) = 944 cos(00t 447 )

75 Capitolo 8 eti dinamiche Esercizio 8 Dato il circuito di Fig 8, trovare il valore di I 0 Siano dati Z = 4 Ω, Z 2 = j4 Ω, Z 3 = j8 Ω, Z 4 = j4 Ω, Z 5 = 4 Ω e J = 5 A J Z I Z 2 Z 3 Z 4 I 0 Z 5 Figura 8: Circuito dell esercizio 938 Con un primo partitore di corrente si calcola la corrente I : Z 2 I = J Z 2 Z 3 (Z 4 Z 5 ) = 5 A j4 Ω j4 Ω j8 Ω ( j4 Ω 4 Ω) = 2 j A e con un secondo partitore si trova la corrente I 0 : Z 4 I 0 = I = ( 2 j) A j4 Ω Z 4 Z 5 j4 Ω 4 Ω = 5 j05 A 75

76 76 CAPITOLO 8 ETI DINAMICHE Esercizio 82 Dato il circuito di Fig 82, trovare il valore di Z Siano dati Z = 2 Ω, Z 2 = j4 Ω, Z 3 = j8 Ω, E = 0 ( 90 ) V e V 0 = 4 0 V Z Z E Z 2 Z 3 V0 Figura 82: Circuito dell esercizio 944 Prima di procedere con i calcoli conviene trasformare il lato sinistro del circuito nel suo equivalente Thevenin: Z eq Z E eq Z 3 V0 con V eq = E Z 2 = 0 ( 90 j4 Ω ) V = ( 3 j) V Z Z 2 2 Ω j4 Ω Z eq = Z Z 2 = 2 Ω ( j4 Ω) = (2 j36) Ω A questo punto basta scrivere una relazione che leghi la tensione V 0 agli gli altri parametri del circuito: V 0 = V eq Z 3 Z eq Z Z 3 da cui Z = Z 3 V eq V 0 Z eq Z 3 = (08 j04) Ω

77 77 Esercizio 83 Dato il circuito di Fig 83, trovare il valore di Z eq Siano dati Z = (2j6) Ω, Z 2 = (2 j2) Ω, Z 3 = j0 Ω e Z 4 = (2 j4) Ω Z 2 Z Z 4 Z eq Z 3 Figura 83: Circuito dell esercizio 947 Le quattro impedenze sono tutte in parallelo tra di loro: Z eq = = (2 j) Ω Z Z 2 Z 3 Z 4

78 78 CAPITOLO 8 ETI DINAMICHE Esercizio 84 Dato il circuito di Fig 84, calcolare i valori di Z e di I Siano dati Z = 2 Ω, Z 2 = 4 Ω, Z 3 = j6 Ω, Z 4 = 3 Ω, Z 5 = j4 Ω ed E = 60 0 V E I Z Z Z 3 2 Z 4 Z 5 Z Figura 84: Circuito dell esercizio 949 Il valore di Z è dato da: Z = Z (Z 2 Z 3 ) (Z 4 Z 5 ) = 2 Ω(4 Ω j6 Ω) (3 Ωj4 Ω) = (683j094) Ω Il valore di I è invece dato da: I = E Z = 60 0 V = (867 j036) A (683 j094) Ω

79 79 Esercizio 85 Dato il circuito di Fig 85, calcolare lo scostamento di fase tra ingresso ed uscita, determinare se lo scostamento di fase è in anticipo o in ritardo (uscita rispetto ingresso), e calcolare il valore dell uscita se l ingresso V i vale 60 V Siano dati Z = 20 Ω, Z 2 = j0 Ω, Z 3 = 40 Ω, Z 4 = j30 Ω, Z 5 = 30 Ω e Z 6 = j60 Ω Z V i Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 6 Vo Figura 85: Circuito dell esercizio 96 Il circuito è un filtro passa-alto Attraverso una serie di partitori di tensione si può giungere ad una relazione che lega V o a V i : [ ] [ ] [ ] Z 2 (Z 3 Z 4 (Z 5 Z 6 )) Z 4 (Z 5 Z 6 ) Z 6 V o = V i Z Z 2 (Z 3 Z 4 (Z 5 Z 6 )) Z 3 Z 4 (Z 5 Z 6 ) Z 5 Z 6 sostituendo i valori numerici si ha: V o V i = (0206 j0328)(0249 j0367)(08 j04) = 08 j0098 Lo scostamento di fase è dato dall argomento del numero complesso appena calcolato: ( ) 0098 ϕ = arctan = Questo scostamento di fase è positivo, quindi è in anticipo Per calcolare il valore dell uscita con un ingresso di 60 V si utilizza la relazione calcolata in precedenza: V o = V i ( 08 j0098) = 60 V ( 08 j0098) = V