METODO DEL POTENZIALE AI NODI

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Adriano Vaccaro
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1 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) l metodo del potenziale ai nodi consente di risolvere una rete avente l lati risolvendounsistema di dimensioni minori di l. Consideriamo un circuito avente n nodi e scegliamone uno di riferimento; l obiettivo è quello di calcolare le tensioni tra gli n- nodi ed il nodo di riferimento, fatto questo possiamo determinare qualsiasi tensione d interesse. Le n- tensioni si possono calcolare risolvendo un sistema di n- equazioni ottenute applicando la LKC agli n- nodi. passi da seguire per applicare correttamente il metodo in esame sono i seguenti: - scegliere un nodo come riferimento ed indicare con,, n- le tensioni esistenti tra gli n- nodi ed il nodo di riferimento; - rappresentare tutti i bipoli della rete che non sono puramente resistivi tramite il circuito equivalente di Norton. Se ci sono n e lati in cui è presente solamente un generatore di tensione aggiungere n e equazioni al sistema; - scrivere un sistema di n-n e equazioni ottenute come segue: n- applicando la LKC agli n- nodi ed n e identità, una per ogni generatore di tensione presente da solo sul lato. Di seguito vedremo un esempio di applicazione del metodo. 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

qualsiasi tensione d interesse. Le n- tensioni si possono calcolare risolvendo un sistema di n- equazioni ottenute applicando la LKC agli n- nodi.

2 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) Consideriamo il circuito in figura, esso ha n nodi, scegliamone uno come riferimento ad esempio il nodo. Lo scopo è quello di calcolare le tensioni,,e traglin-nodiedilnodo di riferimento. Dalla conoscenza di queste n- tensioni possiamo determinare qualsiasi tensione d interesse. Le n- tensioni si possono ricavare risolvendo un sistema di n- equazioni ottenute applicando la LKC agli n- nodi. 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

Dalla conoscenza di queste n- tensioni possiamo determinare qualsiasi tensione d interesse.

3 Corso di Laurea: 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected] NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) Scriviamo un sistema di n- equazioni ottenute applicando la LKC ai nodi, otterremo: Esprimiamo le correnti dei lati,,, in funzione dei potenziali ai nodi, e,otterremo: ) ) R R ) R R

4 Corso di Laurea: 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected] NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) Sostituendo i valori delle correnti sui lati ed ordinando rispetto ai potenziali, e otteniamo Risolvendo il sistema si ottengono le tensioni dei tre nodi, e rispetto al nodo di riferimento. Conoscendo le tensioni, e si possono calcolare tutte le tensioni e correnti della rete. ) 0 ) )

5 Corso di Laurea: 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected] NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) La matrice è detta matrice delle conduttanze ed ha dimensioni n-) * n-). Per generalizzare possiamo riscrivere il sistema in forma matriciale 0

6 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) Riscrivendo tutto in forma matriciale genericamente otteniamo: M n ) M n)... M... n M n) n) M n M n dove ii è detta auto-conduttanza del nodo i e si calcola come somma col segno positivo) di tutteleconduttanzechefannocapoalnodoi. ij è detta mutua conduttanza tra i nodi i e j e si calcola considerando col segno negativo le conduttanze presenti tra i nodi i e j. Se tra i nodi i e j non ci sono resistenze ij 0. La matrice delle conduttanze è simmetrica. i è la tensione incognita tra il nodo i ed il nodo preso a riferimento. j i è la somma algebrica di tutte le correnti impresse al nodo i positive se entranti al nodo) 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

ij è detta mutua conduttanza tra i nodi i e j e si calcola considerando col segno negativo le conduttanze presenti tra i nodi i e j. Se tra i nodi i e j non ci sono resistenze ij 0.

7 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) Prendiamo ad esempio il circuito in figura: se sostituiamo ai lati dove sono presenti i generatori di tensione il circuito equivalente di Norton ad esempio per il lato contenente E ed R si ha R N R, N E /R ), potremo scrivere il seguente sistema di tre equazioni che risolto ci consente di ottenere i valori di, e. 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

8 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) Matrice delle conduttanze ettore delle tensioni incognite 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

9 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S TENSON E MATRCE D NCDENZA TENSON E MATRCE D NCDENZA Consideriamo un grafo avente n nodi ed l lati vogliamo determinare il legame esistente tra le ltensionideilati i e le n- tensioni e i esistentitran-nodiedunnododiriferimentodanoi individuato. Se prendiamo come nodo di riferimento il nodo avremo: e tensione tra il nodo ed il nodo, e tensione tra il nodo ed il nodo e tensione tra il nodo ed il nodo Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

10 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S TENSON E MATRCE D NCDENZA TENSON E MATRCE D NCDENZA Analizzando il grafo otterremo le seguenti equazioni che rappresentano il legame tra le tensioni di lato i e le tensioni di nodo e i : e -e e -e -e e -e 5 e 6 -e Questo sistema scritto in forma matriciale diventa M * E i coefficienti della matrice sono i coefficienti delle e i del sistema) e e e 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

11 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S TENSON E MATRCE D NCDENZA TENSON E MATRCE D NCDENZA Si può facilmente verificare che M A rt dove A rt è la matrice di incidenza ridotta trasposta introdotta nella lezione n. senza il nodo tre), quindi A r T * E n conclusione: Sia per scrivere le equazioni sulle correnti, sia per scrivere le equazioni sulle tensioni è importante determinare la matrice di incidenza ridotta. 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

12 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S ESERCZ RSOLT ESERCZO RSOLTO ESERCZO RSOLTO. Dato il circuito in figura calcolare la tensione ai capi di R utilizzando il metododeipotenzialiai nodi. 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

13 Corso di Laurea: 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected] NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S ESERCZ RSOLT l nodo scelto come riferimento è il nodo D; applicando la LKC ai nodi A B e C si ottiene. ESERCZO RSOLTO o equivalentemente in forma matriciale 6 5 i i i i i i i i 6 5 ) ) ) ) C C A B B A C A B A A A C B A Risolvendo il sistema si ottiene il vettore delle tensioni A, B e C

14 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S ESERCZ RSOLT ESERCZO RSOLTO ESERCZO RSOLTO. Dato il circuito in figura calcolare tutte le correnti mediante il metodo deipotenzialiainodi. E 0, E 70, E - 0, R 0 Ω, R 5 Ω, R Ω, R Ω, R 5 Ω. 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

E 0, E 70, E - 0, R 0 Ω, R 5 Ω, R Ω, R Ω, R 5 Ω.

15 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S ESERCZ RSOLT ESERCZO SOLTO l circuito ha n nodi quindi dobbiamo impostare un sistema di due equazioni in due incognite, la matrice delle conduttanze avrà dimensioni x. Scegliamoilnodocomeriferimentoesostituiamoailaticontenentiigeneratoriditensioneil circuito equivalente di Norton otteniamo: E R E R E R /R, 5 sono le conduttanze dei lati. Ricavate le tensioni e si possono ricavare tutte le grandezze. N.B.: Se avessimo risolto l esercizio utilizzando le LKT e LKC avremmo dovuto impostare un sistema di cinque equazioni in cinque incognite. Risposta: A, 6 A, 5 A, 5 A, 5 0 A. 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

Ricavate le tensioni e si possono ricavare tutte le grandezze. N.B.

16 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S ESERCZ PROPOST ESERCZO PROPOSTO : Per il circuito in figura determinare la corrente Suggerimento: spostare il generatore E prima di applicare il metodo dei potenziale ai nodi 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

17 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S ESERCZ PROPOST l circuito che si ottiene dopo lo spostamento del generatore E è riportato in figura : Sostituiamo alla serie dei due generatori di tensione un unico generatore dato dalla somma algebrica tra E e E Risposta 5 A 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

18 NENERA NFORMATCA E DELL'AUTOMAZONE D.M. 70/0) /S ESERCZ PROPOST ESERCZO PROPOSTO : Dato il circuito in figura, calcolare le correnti in tutti i rami applicando il metodo dei potenziali ai nodi. E 50, 0.75 A, R 800 Ω, R 80Ω, R 0Ω, R 50Ω, R 5 00 Ω. Risposta 0,96 A, - ma, 0, A, - 0,8 A, 0,68 A, 5 0,66 A 007 Università degli studi e-campus - ia simbardi Novedrate CO) - C.F Tel: 0/ Fax: 0/ [email protected]

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