Teorema di Sostituzione

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1 Teorema i Sostituzione Le Fiure (a) e (b) i seuito riportate, si riferiscono al Teorema i sostituzione che afferma: Una impeenza Z a percorsa a una corrente, può essere sostituita un eneratore i tensione i valore Z a. naloamente, se ai capi i una impeenza Z vi è una tensione, l impeenza può essere sostituita a un eneratore i corrente pari a Z. cza Teorema i sovrapposizione Questo importante teorema riuara le reti overnate a lei lineari in reime stazionario o in reime non stazionario. Esso afferma che, se in una rete lineare aiscono contemporaneamente eneratori i tensione e eneratori i corrente, la tensione totali tra ue noi qualsiasi ella rete (o le correnti nei iversi rami) è la somma elle tensioni (elle correnti) che scorrerebbero se i eneratori fossero attivi uno alla volta o più i uno alla volta. er esempio, la risposta i un eterminato circuito a un senale complesso scomponibile in sinusoii è la somma elle risposte ottenibili a ciascuna i esse, pensate come se aissero inipenentemente.

2 Come esempio, si consieri il seuente circuito e si calcoli la corrente che attraversa 3 Le equazioni i questo circuito sono: 9 3 3i 3i 4,5 3i 3i 3i i 9 6i 3i 4,5 3i 6i Esse ammettono come soluzioni i,5 e i pplicano il rincipio i sovrapposizione, si ha: ; B.5* /3Ω ; B,5*, 5, 5 / 3Ω, 5 i TOT (,5), 5 3

3 Teoremi i Thevenin e Norton. Data una rete lineare a ue terminali e B formata a eneratori inipenenti e resistenze, essa è equivalente a un eneratore ieale (con resistenza interna nulla) con in serie un resistore i valore opportuno i seuito specificato. er quanto attiene al eneratore, la..p. che esso enera è quella che si osserva o si euce ai morsetti e B lasciati aperti, cioè con resistenza i carico infinita. er quanto attiene la resistenza, essa è uuale a quella che si misura o si calcola ai morsetti e B una volta che i eneratori i tensione siano stati isattivati, ovvero una volta che a essi siano state sostituite le loro resistenze interne, nulle o iverse a zero. th può anche essere calcolata faceno il rapporto tra la tensione i Thevenin e la corrente i cortocircuito, assumibile o eucibile ai morsetti e B. /. th th cc Esempio: Si consieri il circuito i fi. e si etermini la corrente che passa sulla resistenza i carico una volta connessa ai morsetti e B. Calcolo ella tensione i Thevenin ai morsetti e B: th B 3

4 Dai morsetti e B, cortocircuitano, si vee una th pari a: th n efinitiva, per quanto riuara la corrente che scorre sulla resistenza i carico, colleata ai morsetti e B si ottiene: i C th th C Teorema i Norton. Questo teorema, ice che una rete lineare attiva costituita a eneratori inipenenti e resistori otata i ue terminali e B, è equivalente a un eneratore i corrente ieale con resistenza interna infinita in parallelo a una eterminata resistenza. er quanto attiene il valore ella corrente el eneratore, essa è quella misurabile o eucibile quano i morsetti e B sono cortocircuitati, mentre la resistenza i Norton coincie con quella i Thevenin. l passaio Norton Thervenin è viceversa immeiato. nfatti, supponiamo i avere a isposizione il circuito equivalente i Norton i una eterminata rete, come illustrato in fi.: 4

5 er verificare l equivalenza, si collehi una resistenza valore ella corrente : C C a entrambi i circuiti e si calcoli il C n n C n C c C th nn n C n C che risultano ovviamente uuali. Teorema i Miller Questo teorema trasforma la rete i fi.a) nella rete i fi. b), lasciano inalterata la tensione ai noi e esprimeno opposizione per le correnti, cioè potesi: supponiamo i conoscere il valore ( ) ( K) Z' Z' Z' K Z K, per quanto attiene la corrente, si ha: ( ) Quini se Z Z' ( K) la corrente nel nuovo circuito sarà la stessa el primo circuito. naloamente: quini: Z Z K ( K ) K Z' Z' Z' K Z K '( ). Con questi valori elle impeenze Z e Z, i ue circuiti sono equivalenti. Questo teorema è applicabile in pratica se è possibile eterminare il valore i K, cioè il rapporto ( ). 5

6 Duale el teorema i Miller Questo teorema trasforma la rete i fi. a) nella rete i fi. b), lasciano inalterata le correnti alle porte e consierano Z Z Z (a) (b) potesi: supponiamo i conoscere il valore ( / ) K, per quanto attiene la tensione, si ha : Z' ( ) Z' ( K) Quini se Z Z (K) la tensione el nuovo circuito sarà la stessa el primo circuito. naloamente: Quini se Z Z (/K ). Z' K ( ) Z' Con questi valori elle impeenze Z e Z, i ue circuiti sono equivalenti. Questo teorema è applicabile in pratica se è possibile eterminare il valore i K, cioè il rapporto ( / ).

7 Teorema el Massimo trasferimento i otenza ttiva. Questo teorema permette i eterminare il valore ell impeenza i carico che in un eterminato circuito consente il massimo trasferimento i potenza attiva. Utilizzano il metoo ei fasori verranno esaminati alcuni casi: a) Si consieri il semplice circuito i fiura, costituito a un eneratore i tensione e a una resistenza e si calcoli il valore ella resistenza i carico che consente il massimo trasferimento i potenza attiva. * * * e B e e B B B er tale circuito sono valie le relazioni: B Da cui si ottiene: ( ) B ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) Se e solo se D altrone: 8 3 < er cui la conizione implica il massimo trasferimento i potenza

8 ( ) Se e solo se: ertanto, il massimo trasferimento i potenza si ha quano la resistenza i carico è uuale al valore assoluto ell impeenza el eneratore.. b) Si consieri ora il caso in cui l impeenza el eneratore sia el tipo: Z e si trovi la conizione i massimo trasferimento i potenza su un carico resistivo : * * B e e ( ) ( ) j ertanto, l espressione ella potenza su un carico resistivo è: ( ) j B

9 se e solo se: Se, infine, si consiera il caso i impeenza i carico con parte reattiva costante, si ha : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) erciò il massimo trasferimento i potenza si ha quano è pari al valore assoluto i tutta l impeenza ella rete. c) Si consieri il caso in cui l impeenza el eneratore sia Z e l impeenza el carico sia Z L. Si ha allora: ( ) ( ) ( ) ( ) j ( ) ( ) L Z e ( ) ( ) ( ) 3 Le conizioni i massimo trasferimento i potenza si ottenono massimizzano rispetto e. Osservano l espressione i si euce facilmente che la conizione relativa a è ata a n tale situazione si ottiene per la potenza attiva l espressione: La secona conizione i massimo relativa a si ottiene consierano: Da cui risulta: n efinitiva le ue conizioni i massimo trasferimento i potenza attiva possono essere esplicitate a: Z Z * Z j B Z L j