9.4 Modello massimamente piatto (Maximally Flat Design)

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1 9.4 Modello massimamente piatto (Maximally Flat Design) Nel capitolo 8, sono stati studiati i modello dei filtri IIR di Butterworth, che nei casi di passa-basso e passa-alto sono massimamente piatti alla frequenza 0 (in cc) e alla frequenza di Nyquist, ciò comporta che: le derivate di H'(ω) risultano nulle in ω=0 e in ω=π. Naturalmente, nel caso di: filtro passa-basso, H'(0)=1 e H'(π) =0, e nel caso di filtro passa-alto H'(0)=0 e H'(π) =1. M. Usai Circuiti digitali 9_3 1

2 Si è anche visto che i filtri di Butterworth passa-alto e passa-basso dello stesso ordine e con la stessa frequenza di taglio sono complementari di potenza e come nel caso in cui la frequenza di taglio sia in corrispondenza di ω c =π/ (metà banda), si ottiene una perfetta ricostruzione (non causale) di coppie di filtri QMF (quadrature-mirror filter) che sono di grande interesse nel progetto di banchi di filtri e onde. Risulta quindi possibile progettare bene filtri massimamente piatti FIR, e coppie di perfetta ricostruzione QMF. Inoltre i filtri FIR possono essere resi facilmente causali e quindi sono più adatti per applicazioni pratiche. M. Usai Circuiti digitali 9_3

3 In base a queste considerazioni è possibile definire una procedura per dimensionare filtri massimamente piatti Si definisce una funzione di autocorrelazione r(n)=h(n)*h(-n) per h(n) reale, la cui trasformata S(z) é: S(z)=H(z)H(z -1 ) (9.4.1) alla quale corrisponde lo spettro di potenza: S'(ω)= H'(ω). (9.4.) Come esempio si consideri il filtro passa-basso con il guadagno unitario, di primo ordine: H 1 (z)=(1+z -1 )/ (9.4.3) M. Usai Circuiti digitali 9_3 3

4 per esso la trasformata S(z) della funzione di autocorrelazione r(n)= : ( z + 1) ( ( ) 1 ) 1 1+ z (1 + z ) (1 + z ) (1 + z) S1( z) = H(z)H(z ) = = (1 + z+ z + z ) (1+ z+ z + 1) 1 ( 1 = = = z+ + z ) = z + z+ 1 1 = = (9.4.4) 4 z 4 z che ha un doppio zero in z=-1 e uno spettro di potenza massimamente piatto. La derivata prima di S 1 (ω) S 1 '(ω)=1/(1+cos ω)=cos ω/ (9.4.5) M. Usai Circuiti digitali 9_3 4

5 Cioè la derivata prima di S 1 '(ω) è nulla in ω =0 e anche per ω =π, ma la derivata seconda di S 1 non lo é.quindi S 1 '(ω) ha tangenza del primo ordine per ω = 0 e anche per ω=π. Chiaramente, questo è l'unico filtro FIR del primo ordine con H'(0)=1 e H'(π)=0, come si voleva. Il filtro H 1 (z) passa-basso e il filtro passa-alto associato H (z)=h 1 (-z) sono complementari di potenza e quindi formano una perfetta ricostruzione della coppia QMF. Ciò è facilmente dimostrabile infatti: H -1-1 (z)=(1-z )/, ed essendo S (z)=h(-z)h(-z ) (9.4.6) 1 1 z -z ( z-1) S (z)= (-z+-z )= - =- (9.4.7) 4 4 z 4 z 1 S '(ω)= (1-cosω)=sin ω/, (9.4.8) M. Usai Circuiti digitali 9_3 5

6 e quindi, dalla (9.4.4) e (9.4.7) S1( z) + S( z) = ( z+ + z ) + ( z+ z ) = 1 (9.4.9) 4 4 e poiché la condizione H (z)=h 1 (-z), è equivalente alla proprietà della perfetta ricostruzione PR (Perfect-Reconstruction), si ha che: essendo S ( ) H(z)H(z -1 ) S (z)=h(-z)h(-z -1 1 z = ) H 1 (z)h 1 (z -1 )+H 1 (-z)h 1 (-z -1 )=1 (9.4.10) Si noti che anche lo spettro-passa alto S '(ω) ha tangenti del primo ordine in ω=0 e ω=π. M. Usai Circuiti digitali 9_3 6

7 Per progettare filtri FIR di ordine alto con la proprietà di massimamente piatto, si utilizzano i polinomi di interpolazione di Hermite come originariamente proposti da Herrman [9], che sono anche chiamati filtri sharpening da Kaiser e da Hanning [93]. L'idea consiste nel trasformare gli spettri elementari S 1 '(ω) e/o S '(ω) che hanno tangenti del primo ordine per ω=0 e per ω= π in uno spettro passa-basso (o passa-alto) di ordine più alto per ω=0 e/o π. Per esempio poniamo che x rappresenti lo spettro passa-alto: x=s '(ω) (9.4.11) con lo spettro passa-basso complementare : 1-x=S 1 '(ω) (9.4.1). M. Usai Circuiti digitali 9_3 7

8 Il semplice polinomio x p con tangenza di ordine (p-1) per x=0 corrisponde allo spettro passa-alto [S '(ω) ] P con tangenza nella banda di attenuazione di ordine (p-1) per ω=0, perché x ω /4 per ω piccolo. Equivalentemente, [S '(ω) ] P ha p zeri per z=1, quindi la tangenza passa-banda di [S '(ω) ] P per ω=π è ancora del primo ordine. Allo stesso modo (1-x) q implica che lo spettro passa-basso [S 1 '(ω) ] q abbia tangenza nella banda di attenuazione di ordine (q-1) in ω=π, che corrisponde a q zeri in [S 1 '(ω) ] P per z = -1. M. Usai Circuiti digitali 9_3 8

9 Come prima quindi la tangente stop-banda del [S 1 '(ω) ] P per ω=0 è solamente del primo ordine. Chiaramente i termini passa-basso e passa-alto possono essere scambiati sostituendo i polinomi di potenza complementare (1-x p ) e 1-(1-x) q rispettivamente per x p e (1-x) q. Si noti nella espressione successiva che: 1-x p =(1-x)(1+x+x + +x p-1 ). (9.4.13) M. Usai Circuiti digitali 9_3 9

10 La classe generale dei polinomi di ordine (p+q-1) P pq (x) per i quali P pq (0)=1, con p,q 1, tangente di ordine (p-1) per x=0, e tangente di ordine (q-1) per x=1, sono i polinomi di interpolazione Hermitiani: Ppq ( x) = (1 x) k = Per esempio P 1q (x)=(1-x) q e usando la (9.4.13), P p1 (x)=1-x p. Il corrispondente spettro passa basso di ordine: S p 1 1 pq ( ω) 1 = k = 0 q p 1 0 q + k 1 x k (9.4.14)*** ha tangenti passa-basso di ordine (p-1) per ω=0 e tangenti di ordine (q-1) per ω=π, con p, q 1. S pq è definita nello stesso modo. k. q + k 1 k [ '1 ] q [ '1 S ( ω) S ( ω) ] (9.4.15) *** n = k n! k!( n k)! M. Usai Circuiti digitali 9_3 10

11 Si noti che S pq (z)e S pq (-z) sono complementari di potenza, cioè, S pq (z)= 1-S qp (-z). Il caso di p=q è particolare perché S pp (ω) è halfband ( con frequenza di taglio pari a π/ o ½ se la scala delle frequenza è normalizata), e S pp (z) e S pp (-z) sono complementari di potenza. In particolare S 11 (z) è semplicemente un halfband elementare dello spettro passa-basso S 1 (z) nella (9.4.4). Gli spettri massimamente piatti del sesto ordine S 13 (ω),s (ω) e S 31 (ω) sono illustrati in figura Figura 9.18 Risposte delle ampiezze al quadrato di filtri massimamente piatti FIR del sesto ordine M. Usai Circuiti digitali 9_3 11

12 Come per i filtri reali si hanno due possibilità per realizzarli. Si può implementare la trasformata stessa di ordine (p+q-1) come filtro (ritardando di (p+q-1) campioni per essere causale) con lo scopo di avere risposte lineari di fase. Questo è stato l intento originale di Hermann s. In quel caso, ovviamente, S pq (ω) corrisponde alla risposta in frequenza del filtro. Si noti che S pq (z) ha q zeri per z= -1 e (p-1) zeri (off) al di fuori del cerchio unitario in coppie reciproche. Alternativamente, si può scegliere l implementazione con fattore spettrale di ordine (p+q-1) H pq (z) di S pq (z), cioè: S pq = H pq ( z) H ( z) pq (9.4.16) come è stato fatto nel caso IIR Butterworth. M. Usai Circuiti digitali 9_3 1

13 Quindi la risposta in frequenza risultante H pq (ω) non può essere in generale a fase lineare. Specificamente, H pq (z) avrà q zeri per z = -1 e p = -1 al di fuori (off) del cerchio unitario. Per esempio, prendendo p-1 zeri di S pq (z) all interno del cerchio unitario, H pq (ω) sarà a fase minore, mentre se alterniamo zeri all interno e all esterno del cerchio unitario H pq (ω) si avrà approssimativamente fase lineare. Nel caso speciale di p=q, H pp (z) e H pp (-z) formano una coppia QMF-PR perché: H pp (z) H pp (z-1)+ H pp (-z) H pp (-z-1)=1. (9.4.17) I banchi di filtri relativi a questi filtri massimamente piatti (maximally flat) QMF sono le basi delle ben note onde Daubechies, che hanno una speciale proprietà Smoothness (regularity) dovuta ai p zeri di H pp (z) per z=-1. M. Usai Circuiti digitali 9_3 13