Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati

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1 Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Sistemi di controllo (già analizzati) Tempo continuo (trasformata di Laplace / analisi in frequenza) C(s) controllore analogico impianto attuatori sensori y(t) t=variabile continua (=tempo) Corso Progettazione SistemidiControllo Tempo discreto (trasformata zeta) r(k) controllore digitale G(z) processo discreto y(k) k=variabile intera (=numero di intervalli di campionamento)

2 Tempo discreto vs. tempo continuo Il processo da controllare è (quasi sempre) di tipo tempocontinuo: Descritto da un modello ad equazioni differenziali (spesso lineari) I segnali agli attuatori (es: tensioni elettriche ai motori) e le grandezze di (es: temperature, pressioni, posizioni) variano con continuità nel tempo Il controllore che viene implementato è (quasi sempre) di tipo tempodiscreto: Più economico da implementare rispetto alla forma analogica (es. meno costoso delle reti elettriche RCOp.Amp.) Più economico da riprogrammare (es: firmware centralina auto) Possibilità di timesharing (più controllori, stesso hardware) Più versatile (es: leggi di controllo non lineari, discontinue, ecc.) Sistemi di controllo a dati campionati (sampleddata control systems) È quindi fondamentale analizzare il comportamento di un processo continuo in anello chiuso con un controllore digitale clock A/D D/A controllore digitale impianto attuatori sensori y(t)

3 Legame fra variabili TC/TD clock A/D D/A controllore digitale impianto attuatori sensori y(t) Il controllore digitale agisce con un tempo di campionamento T: legame fra le variabili tempocontinue e le variabili tempodiscrete,, t t Pro e contro del controllo digitale Controllo a tempo discreto Controllo a tempo continuo A/D y(t) D/A y(t) C(s) Svantaggi Segnali di controllo soltanto costanti a tratti Retroazione dall soltanto agli istanti di campionamento Possibile instabilità se T è troppo lungo Vantaggi Retroazione continua dall ( reazione tempestiva nei confronti di disturbi sull ) Segnali di controllo non necessariamente costanti a tratti Vantaggi Economicità, versatilità Svantaggi Più difficili da implementare, meno versatili

4 Sistemi di controllo a dati campionati clock (sampleddata control systems) A/D D/A controllore digitale impianto attuatori sensori y(t) Possibilità di analisi: 1. Trattare il sistema come fosse un sistema a tempodiscreto, ignorando il comportamento nell intersampling (punto di vista del controllore) Analisi nel discreto 2. Modellare il controllore digitale come controllore a tempocontinuo (punto di vista del processo) Analisi nel continuo 3. Analisi puramente simulativa per via numerica (es: Simulink) (con le dovute cautele nell interpretazione dei risultati) Analisi nel discreto Campionamento esatto y(t), y(k), 1

5 Campionamento esatto (Review) Campionamento esatto (Review) In Matlab: sys=ss(a,b,c,d); sysd=c2d(sys,t); [Ab,Bb,Cb,Db]=ssdata(sysd);

6 Analisi a tempo discreto Avendo trasformato il sistema nel suo equivalente a tempodiscreto G(z) abbiamo ricondotto l analisi del sistema ad anello chiuso a dati campionati all analisi di un anello di retroazione a tempo discreto ( modello stroboscopico ): r(k) controllore digitale G(z) equivalente a dati campionati del processo y(k) NB: l analisi di stabilità/prestazione/simulazione non tiene conto di cosa accade al processo fra un tempo di campionamento e l altro (intersampling) clock Analisi a tempo continuo A/D D/A controllore digitale impianto attuatori sensori y(t) Vogliamo analizzare il comportamento dell anello chiuso a tempo continuo: Capire il comportamento anche durante l intersampling Analisi nel dominio della frequenza (es: comportamento nei confronti di rumori additivi sull )

7 Modello matematico del mantenitore Mantenitore di ordine zero (Zero Order Holder, ZOH) Consideriamo il mantenimento di un impulsivo unitario: δ(t ) La funzione impulso rettangolare di ampiezza T è data da t g(t) T t clock Campionatore i(t)r C la cui trasformata di Laplace risulta essere Risposta in frequenza dello ZOH ZOH Filtro ideale Oltre ad attenuare anche in banda passante, lo ZOH introduce un ritardo di fase Lo ZOH è un filtro passabasso (non ideale) ω s 2ω s ω s ω s 2 0 ω s 2 ω s 2ω s 3ω s

8 Modello matematico del mantenitore Calcoliamo il legame esistente fra i campioni e : passando alle trasformate di Laplace: dove Essendo è la trasformata zeta dei campioni., si ottiene: dove è la trasformata zeta dei campioni. Richiami sul teorema di Shannon Segnale originale Segnale campionato Segnale ricostruito Campionatore ricostruzione di Shannon =e(kt s ) Claude E. Shannon ( )

9 Effetto del campionamento continuo e * (t) campionamento Modello matematico del controllore Calcoliamo il guadagno in continua dello ZOH: Nel caso in cui 1, dovrà essere 1, quindi il campionatore dovrà avere guadagno in continua pari a 1/T. In conclusione: (Ricorda: il risultato vale per E(jω) 0 per ω π/t)

10 Analisi in frequenza controllore digitale processo y(t) Possiamo adesso analizzare il sistema a dati campionati mediante strumenti del dominio della frequenza (per studiare ad esempio la sensitività rispetto al rumore). Appendice: Modello matematico ZOH

11 Appendice: Modello matematico ZOH A/D Segnale originale Segnale campionato Segnale ricostruito Campionatore filtro passa basso ideale =e(kt) Appendice: Modello matematico ZOH δ*(t) Portante e*(t) Segnale modulato Segnale digitalizzato e h (t) e * (t) e h (t) Interpretazione: δ(kt) rappresenta la corrente impulsiva che scorre nel circuito elettrico di sampling durante la chiusura dell interruttore

12 Appendice: Modello matematico ZOH Segnale da campionare δ*(t) Portante e*(t) Segnale modulato Segnale digitalizzato e h (t) e * (t) e h (t) Modello matematico del mantenitore Segnale da campionare δ*(t) Portante e*(t) Segnale modulato Segnale digitalizzato e h (t) e * (t) e h (t) δ(t ) t g(t) T t