Analisi di sospensioni attive e passive con Matlab-Simulink

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1 Analisi di sospensioni attive e passive con Matlab-Simulink Appunti di Controlli Automatici Versione 1.0 Ing. Alessandro Pisano

2 Miglioramento del comfort Iniziamo analizzando una sospensione passiva. Riferiamoci alla modellazione quarter-car a massa singola. La rappresentazione del modello è la seguente Xr k Figura 1. Sospensione passiva. Modello quarter car a massa singola. Il modello matematico è + + = + (1) dove, quota relativa della massa sospesa, è definita come segue = = (2) La funzione di trasferimento tra (ingresso) e (uscita) è la seguente = = (3) Impostiamo in Matlab i seguenti valori per i parametri % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE Mb=250; % massa 1/4 del veicolo [kg] c=8000; % smorzamento viscoso del damper [Ns/m] k=70000; % costante elastica dell ammortizzatore [N/m] Il file Simulink associato (Passiva1.mdl) è rappresentato nella seguente figura 2

3 Figura 3. File Passiva1.mdl. Modello Simulink di sospensione passiva (modello quarter car a massa singola). Nella parte sinistra vediamo i due blocchi in serie Signal Builder e Filtro del riferimento che generano un profilo per Xr associato ad un dosso stradale alto 25 centimetri. Figura 4. Il profilo stradale. La variabile riproduce abbastanza fedelmente il profilo della strada. Figura 5. La quota relativa della massa sospesa con sospensioni passive. 3

4 Mostriamo il grafico della accelerazione verticale, che mostra punte positive e negative di circa 2g nella fase di salita e circa 1g nella discesa dal dosso. Il motivo della asimmetria è la diversa pendenza del dosso in ingresso e in uscita. Figura 6. L accelerazione verticale della massa sospesa con sospensioni passive. Ora consideriamo la sospensione attiva. Riferiamoci sempre al modello quarter car single mass Lo schema a blocchi è SOSP. ATTIVA Xb Mb k F(t) Xr Figura 7. Sospensione attiva. Modello quarter car a massa singola. Il modello matematico è + = + (4) dove, quota relativa della massa sospesa, è definita sempre dalla (2). L attuatore, assunto ideale, viene pilotato con la seguente legge di controllo in retroazione = = (5) 4

5 La funzione di trasferimento tra (ingresso) e (uscita) è la seguente = = = 1 (6) Impostiamo in Matlab i seguenti valori per i parametri % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE attiva Mb=250; % massa 1/4 del veicolo [kg] c1=8000; % smorzamento viscoso nella legge di controllo [Ns/m] k=70000; % costante elastica dell ammortizzatore [N/m] m1=250; % feedback di accelerazione Lo schema Simulink (attiva1.mdl) è il seguente Figura 8. File Attiva1.mdl. Modello Simulink di sospensione attiva (modello quarter car a massa singola). L unica differenza dallo schema della sospensione passiva è il numeratore della funzione di trasferimento. La variabile riproduce ancora abbastanza fedelmente il profilo della strada (v. Figura 9). 5

6 Figura 9. La quota relativa della massa sospesa con sospensioni attive. L accelerazione verticale risulta pero circa dimezzata rispetto alle sospensioni passive (Figura 10), a conferma delle migliori prestazioni delle sospensioni attive in termini di miglioramento del comfort. Figura 10. L accelerazione verticale della massa sospesa con sospensioni attive. 6

7 Handling Ora consideriamo i modelli quarter-car che includono la forza verticale disturbante sulla massa sospesa d(t). Ripartiamo dalla sospensione passiva. Il modello matematico che include il disturbo d(t) è il seguente = + (7) Per convenzione, una forza disturbante positiva tende a schiacciare il veicolo sulla sede stradale. La Trasformata di Laplace dell uscita risulta espressa come segue = (8) Abbiamo due contributi distinti, la FdT relativa al profilo stradale (analoga a prima) e la FdT dovuta al disturbo. Impostiamo i seguenti valori dei parametri. % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE Mb=250; % massa 1/4 del veicolo [kg] c=8000; % smorzamento viscoso [Ns/m] k=70000; % costante elastica dell ammortizzatore [N/m] Lo schema Simulink (Passiva2_Handling.mdl) che realizza il legame descritto nella (8) è riportato nella Figura seguente. Figura 11. File Passiva2_Handiling.mdl. Modello Simulink di sospensione passiva (modello quarter car a massa singola) con disturbo esterno. Come profilo stradale si utilizza lo stesso dosso riportato in Figura 4. Si introduce una forza disturbante d(t) sinusoidale con valor medio pari a 1000 N, ampiezza della oscillazione 500 N, e frequenza 1 rad /sec (Figura 12) 7

8 Figura 12. Il disturbo esterno d(t) nelle prove di handling La posizione verticale della massa sospesa e la sua accelerazione sono riportati nelle due figure seguenti 13 e 14. Figura 13. La quota relativa della massa sospesa con sospensioni passive nella prova di Handling. Figura 14. L accelerazione verticale della massa sospesa con sospensioni passive nella prova di Handling Ora analizziamo i risultati corrispondenti alla sospensione attiva con la retroazione integrale. Il modello matematico che include il disturbo d(t) è il seguente + = + (9) Si considera la seguente legge di controllo in retroazione per l attuatore. == + = La legge di controllo (10) include anche l azione integrale, che abbiamo visto essere molto importante per quanto concerne l handling [1]. Uno schema a blocchi del sistema (9)-(10) è il seguente (10) 8

9 Figura 15. Sospensione attiva con regolatore integrale Lo schema a blocchi in Figura 15 è implementato nel seguente schema Simulink (Attiva2_Handling.mdl) Figura 16. File Attiva2_Handiling.mdl. Modello Simulink di sospensione attiva (modello quarter car a massa singola) con disturbo esterno e retroazione integrale. Sia il profilo stradale che il disturbo esterno sono scelti come nella prove precedente (Figure 4 e 12). Impostiamo i seguenti valori dei parametri. % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE ATTIVA CON AZIONE INTEGRALE Mb=250; % massa 1/4 del veicolo [kg] c1=8000; % smorzamento viscoso nella legge di controllo[ns/m] k=70000; % costante elastica dell ammortizzatore [N/m] m1=250; % feedback di accelerazione ki=500000; % guadagno dell azione integrale 9

10 Il valore del guadagno integrale ki è scelto sulla base delle seguenti considerazioni. Il valore critico per il guadagno integrale oltre il quale il sistema a ciclo chiuso viene destabilizzato è stato ricavato come segue (cfr. [1], eq (65)) = (11) Considerando i valori scelti per i parametri si ha = (12) Si è scelto pertanto per il guadagno integrale ki un valore (500000) sufficientemente al di sotto della soglia di instabilità. La posizione verticale della massa sospesa e la sua accelerazione sono riportati nelle due figure seguenti 17 e 18. Figura 17. La quota relativa della massa sospesa con sospensioni attive nella prova di Handling. Figura 18. L accelerazione verticale della massa sospesa con sospensioni attive nella prova di Handling Il confronto tra le figure 14 e 18 mostra come le accelerazioni verticali del veicolo siano anche stavolta dimezzate nel caso attivo rispetto al caso passivo. L azione integrale non interferisce pertanto con le proprietà di miglioramento del comfort. Il confronto tra le figure 13 e 17 mostra come la sospensione attiva con azione integrale mantenga la quota assoluta del veicolo pressoché costante. Il passeggero sperimenta quindi una traslazione verticale di ampiezza estremamente ridotta. La sospensione ha assorbito quasi completamente la variazione di quota della sede stradale. Consideriamo ancora i grafici della quota verticale della massa sospesa per il sistema con sospensione passiva e attiva (Figure 13 e 17), e facciamo per entrambi uno zoom sugli ultimi 10 secondi di simulazione per poter analizzare meglio come venga compensato il disturbo di forza d(t) dopo che il dosso è stato superato. I risultati sono mostrati nelle Figure 19 e 20. Il miglioramento delle prestazioni delle sospensioni attive è evidente. 10

11 Figura 19. La quota relativa della massa sospesa con sospensioni passive nella prova di Handling. Zoom a regime. Figura 20. a quota relativa della massa sospesa con sospensioni attive nella prova di Handling. Zoom a regime Spunti per ulteriori analisi Il lettore può ripetere i test implementando il modello quarter car a due masse (cfr [1], cap. 4). Si veda anche [2, par 19.3]. Si utilizzi per l elasticità del pneumatico il valore kt= N/m. [1] A. Pisano Modellistica, analisi e controllo di sospensioni attive per autoveicoli. Dispensa per gli studenti disponibile all indirizzo sezione Didattica->Controlli automatici [2] P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni, Fondamenti di controlli automatici, terza edizione, McGraw Hill,