Ingegneria Informatica. Prof. Claudio Melchiorri DEIS-Università di Bologna Tel

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1 CONTROLLI AUTOMATICI LS Ingegneria Informatica Sistemi a Dati Campionati Prof. DEIS-Università di Bologna Tel claudio.melchiorri@unibo.it lar.deis.unibo.it/people/cmelchiorri it/people/cmelchiorri

2 Sistemi di controllo digitale Sistemi di controllo digitale Presenza di un calcolatore nel loop di controllo Elaborazione tempo-discreta della legge di controllo Occorrono dispositivi di interfaccia tra il dominio tempo-continuo dell impianto e quello tempo-discreto del regolatore A/D CALCOLAT. DIGITALE D/A attuat. impianto Clock (T) Tempo-discreto trasduttore

3 Convertitore A/D Campiona, con periodo T, il segnale di ingresso x(t) Restituisce in uscita la sequenza dei valori x(kt) codificati e quantizzati 3 A/D Campionatore a impulsi di Dirac: la chiusura dell interruttore è istantanea in uscita produce un impulso di Dirac di area pari a x(kt) A/D

4 Convertitore D/A 4 Fornisce un segnale analogico a partire dalla sequenza di campioni in ingresso La ricostruzione non è univoca a meno di soddisfare il teorema di Shannon (ω s > 2 ω c, ω s = 2 π/t) Ricostruttore di ordine zero (Zero Order Hold) Produce l uscita: Supponendo un campionamento impulsivo:

5 Descrizione di processi a segnali campionati 5 SISTEMI TEMPO-CONTINUI Equazioni differenziali A/D SISTEMI TEMPO-DISCRETI Equazioni alle differenze Trasformata di Laplace D/A Trasformata Z

6 Campionamento dei segnali 6 Si consideri il sistema lineare tempo continuo: U(s) G(s) Y(s) Avendo un ingresso tempo-discreto u(kt), se si inserisce un ricostruttore di ordine zero H (s) e un campionatore ideale di periodo T, si ottiene il seguente sistema tempo discreto: u(kt) u(t) y(t) y(kt) G(s) Il segnale u(t) è continuo a tratti:

7 Campionamento dei segnali 7 Il segnale u(t) è continuo a tratti: u(kt) u(t) Il segnale y(t) campionato con periodo T genera il segnale t.d. y(kt). y(t) 3 2 Segnale y(t) 3 2 Segnale y(kt) y(kt) Tempo (sec) Tempo kt (sec)

8 Campionamento dei segnali 8 u(kt) u(t) y(t) y(kt) G(s) Il comportamento ingresso-uscita del sistema complessivo èquellodi un sistema tempo discreto: U(z) G(z) Y(z)

9 Campionamento dei segnali 9 Esiste un preciso legame tra le matrici (A,B,C) e le matrici (F,G,H). Per ricavarlo occorre risolvere la seguente equazione differenziale nell intervallo [kt, (k+1)t]: Lo stato x(t) che si raggiunge a partire dallo stato iniziale x(kt) all istante t=kt è: Essendo u(t)=u(kt) costante, lo stato x((k+1)t) che si raggiunge all istante t=(k+1)t è quindi:

10 Campionamento dei segnali 1 Operando il seguente cambio di variabile: La matrice G può essere trasformata come segue: L uscita y(kt) si ottiene da y(t) campionando all istante t=kt:

11 Sistema a segnali campionati 11 Il legame fra le matrici (A,B,C), e le matrici (F,G,H) (,, è quindi: Il sistema G(z) che si ottiene da G(s) nel modo descritto èdetto sistema a segnali campionati. Poichè le matrici F e G dipendono dal periodo di campionamento T, analizziamo le proprietà strutturali di raggiungibilità e osservabilità del sistema a segnali campionati al variare di T.

12 Raggiungibilità e osservabilità 12 Essendo la matrice F = e AT sempre invertibile, per un sistema a segnali campionati: la controllabilità è sempre equivalente alla raggiungibilità g la ricostruibilità è sempre equivalente all osservabilità. Per sistemi ad un solo ingresso, vale la seguente proprietà: TEOREMA: Sia dato un sistema (A, b) raggiungibile e sia T il periodo di campionamento. Il corrispondente sistema a segnali campionati è raggiungibile se e solo se, per ogni coppia λ i, λ j di autovalori distinti di A aventi la stessa parte reale si ha:

13 Raggiungibilità e osservabilità 13 Per sistemi ad una sola uscita, vale la seguente proprietà: TEOREMA: Siadatounsistema(A (A, c) osservabile e sia T il periodo di campionamento. Il corrispondente sistema a segnali campionati è osservabile se e solo se, per ogni coppia λ i, λ j di autovalori distinti di A aventi la stessa parte reale si ha: Osservazione: Se la matrice A ha tutti gli autovalori reali, il sistema a segnali campionati conserva sempre, per ogni T >, le stesse caratteristiche strutturali del sistema di partenza (A, b, c).

14 Sistema a segnali campionati 14 Esempio: si calcoli il sistema a segnali campionati corrispondente al seguente sistema tempo continuo: Le matrici (F, G, H) risultano:

15 Sistema a segnali campionati 15 Il corrispondente sistema a segnali campionati è quindi: dove per semplicità si sono indicati: Gli autovalori della matrice A sono:

16 Sistema a segnali campionati Raggiungibilità 16 La matrice di raggiungibilità del sistema a segnali campionati è: Per T=π il sistema non è completamente raggiungibile, infatti: Dal teorema sulla raggiungibilità il sistema a dati campionati è raggiungibile solo se:

17 Sistema a segnali campionati Osservabilità 17 La matrice di osservabilità del sistema a segnali campionati è: Il sistema a dati campionati è osservabile solo se: Il polinomio caratteristico della matrice F è: Gli autovalori della matrice F sono quindi:

18 Sistema a segnali campionati ingr. impulso T = π/2/ T = π/ T = π/2 T = π

19 .6 Sistema a segnali campionati ingr. sinusoide T = π/2 T = π/ All aumentare del periodo di campionamento T, diminuiscono le possibilità di osservare e controllare l evoluzione del sistema! T = π Controlli Automatici LS A.A. 28/29

20 Sistema a segnali campionati F.d.T 2 La funzione di trasferimento G(s) del sistema continuo è: La f.d.t. G(z) del corrispondente sistema a segnali campionati è:

21 Sistema a segnali campionati F.d.T 21 Allo stesso risultato si può giungere discretizzando la funzione G(s) preceduta dal ricostruttore di ordine zero:

22 Sistema a segnali campionati 22 Esempio: si consideri il seguente sistema puramente inerziale di massa unitaria (m=1) sottoposto ad una forza esterna u(t): m u(t) Il vettore di stato è formato da posizione e velocità della massa x L uscita del sistema è la posizione della massa

23 Sistema a segnali campionati 23 Il modello dinamico nello spazio degli stati è: Le matrici F e G del corrispondente sistema a segnali campionati sono:

24 Sistema a segnali campionati 24 Il sistema a segnali campionati ha quindi la seguente forma: Si verifica facilmente che il sistema è raggiungibile ed osservabile Si vuole realizzare un controllo dead-beat: legge di controllo in retroazione dello stato u(k)=k x(k), tale per cui gli autovalori del sistema retroazionato eig(f+gk) siano tutti nulli. Questo implica che il polinomio desiderato del sistema retroazionato sia:

25 Sistema a segnali campionati 25 Sia la matrice di retroazione dello stato. Posto u(k)=k x(k), si ottiene la seguente matrice di sistema: Il polinomio caratteristico di tale matrice è il seguente: Imponendo il polinomio desiderato si ottiene:

26 Sistema a segnali campionati 26 Essendo un controllore dead-beat, la retroazione u(k)=k x(t) è in grado di portare esattamente a zero lo stato generico del sistema x() in soli due passi e con un periodo di campionamento T comunque piccolo.

27 Sistema a segnali campionati 27 L azione di controllo u(k) negli istanti k= e k=1 sarà tanto più elevata quanto piccolo è il periodo di campionamento T. Si ha infatti: La capacità di poter portare a zero lo stato del sistema in un intervallo di tempo 2T non può essere ottenuta nel caso di sistemi tempo continuo. In questo caso, infatti, si tende a zero sempre in modo esponenziale, cioè si giunge esattamente a zero per t ->.

28 Sistema a segnali campionati 28 Schema Simulink t Clock To Workspace1 uo To Workspace6 yd To Workspace14 K*u K*u 1 s K*u y Pulse Generator Kups Zero-Order Hold B Integrator A C To Workspace13 K Zero-Order Hold1 K*u K*u xo To Workspace2 K*u ys C1 To Workspace3

29 Sistema a segnali campionati 29 Ts = 1 sec, x = [5, -2] T, riferimento nullo 6 Andamento yd, y e ys 5 Azione di controllo u(k) Andamento x1 e x Valori ingresso u(k) = -2, 4

30 Sistema a segnali campionati 3 Ts =.5 sec, x = [5, -2] T Ts = 2 sec, x = [5, -2] T 6 Andamento yd, y e ys 6 Andamento yd, y e ys Andamento x1 e x2 6 Andamento x1 e x Azione di controllo u(k) 1 Azione di controllo u(k) Valori ingresso u(k) = -14, 18 Valori ingresso u(k) =.25,.75

31 Sistema a segnali campionati 31 Ts = 1 sec, x = [5, -2] T, riferimento onda quadra A = 1 15 Andamento yd, y e ys 3 Azione di controllo u(k) Andamento x1 e x

32 Sistema a segnali campionati 32 Se lo stato non è misurabile, si può procedere alla sintesi di un osservatore dead-beat: osservatore tale per cui l errore di stima si evolve con una dinamica data da autovalori nulli. Questo implica che gli autovalori di A+LC (o F+LH) siano tutti nulli. G F Esempio: progetto di un osservatore dead-beat di ordine ridotto. Si richiama il progetto di un generico osservatore di ordine ridotto nel caso tempo discreto: il sistema ha già le componenti dello stato note nelle prime q=1 componenti dell uscita. La dinamica dell osservatore risulta quindi:

33 Sistema a segnali campionati 33 Si pongono uguali a zero gli autovalori: La dinamica dell osservatore dead-beat di ordine ridotto assume quindi la forma: da cui e lo stato stimato risulta: La f.d.t. G(s) del sistema tempo continuo è: La f.d.t. G(z) del corrispondente sistema tempo discreto è:

34 Sistema a segnali campionati 34 Schema Simulink t uo Clock To Workspace1 To Workspace6 yd To Workspace14 K*u K*u 1 s K*u y Pulse Generator Kups Zero-Order Hold B Integrator A C To Workspace13 K Zero-Order Hold1 K*u K*u xo To Workspace2 xhat To Workspace4 K*u C. ys To Workspace3 K*u 1 x hat In1 y x hat L In2 u 1 In1 y -1 Z Integer Delay K*u -1/T Subsystem 2-1 Z In2 u Integer Delay1 K*u Ku T/2 N.B. metodo non furbo per implementare in Simulink

35 Sistema a segnali campionati 35 Ts = 2 sec, x = [5, -2] T Ts = 1 sec, x = [5, -2] T 5 Andamento yd, y e ys 5 Andamento yd, y e ys Andamento x1 e x Azione di controllo u(k) Andamento x1 e x Azione di controllo u(k)

36 Sistema a segnali campionati 36 Ts = 2 sec, x = [5, -2] T Ts = 1 sec, x = [5, -2] T 15 Andamento yd, y e ys 15 Andamento yd, y e ys Andamento x1 e x2 2 Andamento x1 e x Azione di controllo u(k) Azione di controllo u(k)

37 CONTROLLI AUTOMATICI LS Sistemi a Dati Campionati FINE Prof. DEIS-Università di Bologna Tel claudio.melchiorri@unibo.it lar.deis.unibo.it/people/cmelchiorri it/people/cmelchiorri