Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento

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1 Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento 1. Dati i segnali x(t) = rect[(t-2)/2] e y(t) = 2rect[(t+3)/2], si calcoli il prodotto di convoluzione tra x(t) e y(t), 2. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale s(t) = rect[(t-1)/2]cos(2πf 0 t). (3 punti) 3. Il segnale s(t) = sinc 2 (200t 10) viene campionato alla minima frequenza di campionamento in grado di evitare aliasing. Supponendo che ogni campione venga rappresentato mediante 12 bit, si determini il numero di bit necessari a memorizzare 15 minuti del segnale s(t). (3 punti) 5. Dati due segnali a energia finita x(t) e y(t), si dimostri che la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione x(t) y(t) è pari al prodotto delle trasformate dei due segnali. (3 punti) 7. Data una variabile aleatoria X avente densità di probabilità f X (x) = 3e -3x u(x), si calcoli la probabilità che X-2 >1. (3 punti) 8. Dato un processo x(k,t) = (A+3)cos(2πf 0 t - θ), dove A e θ sono 2 variabili aleatorie indipendenti aventi densità di probabilità distribuite uniformemente rispettivamente tra 1 e 3, e 0 e 2π, se ne studi la 9. Si consideri il segnale aleatorio x(k,t) = Σ k A k rect((t - kt - τ)/t), costituito da una sequenza di impulsi di durata T e di ampiezza casuale A k. Le ampiezze A k, espresse in volt, assumono solo i valori (-3, -1, +1,+3) e possono essere assimilate a variabili aleatorie indipendenti caratterizzate dalle probabilità: P(-3) = 0.2, P(-1) = 0.2, P(+1) = 0.4, P(+3) = 0.2. La sequenza di impulsi non è sincronizzata e il ritardo τ rispetto tra 0 e T. Sapendo che τ è indipendente da A k k, si calcoli la densità spettrale di potenza media del processo e la percentuale di potenza contenuta nella componente in continua. 10. Si considerino due segnali aleatori indipendenti e stazionari s 1 (k,t) e s 2 (k,t). Il primo segnale è un passa basso ideale avente banda 2B, mentre il secondo è un passa banda con densità spettrale di potenza media costante nell intervallo [f 0-4B, f 0 +4B], con f 0 >> B. A partire da s 1 (k,t) e s 2 (k,t) si costruisca un nuovo segnale y(k,t) = s 1 (k,t)s 2 (k,t). Sapendo che la densità spettrale di potenza media all interno della banda dei due segnali è costante e uguale a N 0, si chiede di verificare la stazionarietà in senso lato di y(k,t) e di calcolarne la densità spettrale di potenza media e la potenza media.

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3 Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento (b) 1. Dati i segnali x(t) = 2rect[(t-3)/4] e y(t) = rect[(t+4)/4], si calcoli il prodotto di convoluzione tra x(t) e y(t), 2. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale s(t) = rect[(t+1)/3]sen(2πf 0 t). (3 punti) 3. Il segnale s(t) = sinc 2 (20t +100) viene campionato alla minima frequenza di campionamento in grado di evitare aliasing. Supponendo che ogni campione venga rappresentato mediante 9 bit, si determini il numero di bit necessari a memorizzare 20 minuti del segnale s(t). (3 punti) 5. Dati due segnali a energia finita x(t) e y(t), si dimostri che la trasformata di Fourier del prodotto x(t)y(t) è pari al prodotto di convoluzione delle trasformate dei due segnali. (3 punti) 7. Data una variabile aleatoria X avente densità di probabilità f X (x) = 4e -4x u(x), si calcoli la probabilità che X-3 >2. (3 punti) 8. Dato un processo x(k,t) = (B-2)sen(2πf 0 t - θ), dove B e θ sono 2 variabili aleatorie indipendenti aventi densità di probabilità distribuite uniformemente rispettivamente tra 2 e 4, e 0 e 2π, se ne studi la 9. Data una variabile aleatoria X avente densità di probabilità f X (x) = 3λe -6 λ X (λ > 0), si calcoli la densità di probabilità della variabile aleatoria Y = 4 X e se ne disegni l andamento grafico. 10. Si consideri il segnale aleatorio x(k,t) = Σ k A k rect((t - 2kT - τ)/2t), costituito da una sequenza di impulsi di durata 2T e di ampiezza casuale A k. Le ampiezze A k, espresse in volt, assumono solo i valori (-6, -2, +2,+6) e possono essere assimilate a variabili aleatorie indipendenti caratterizzate dalle probabilità: P(-6) = 0.3, P(-2) = 0.1, P(+2) = 0.3, P(+6) = 0.3. La sequenza di impulsi non è sincronizzata e il ritardo τ rispetto tra 0 e 2T. Sapendo che τ è indipendente da A k k, si calcoli la densità spettrale di potenza media del processo e la percentuale di potenza contenuta nella componente in continua. Vecchio ->

4 Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento (c) 1. Dati i segnali x(t) = rect[(t-3)/2] e y(t) = 2rect[(t+2)/2], si calcoli il prodotto di convoluzione tra x(t) e y(t), 2. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale s(t) = tr[(t+4)/4]cos(πf 0 t). (3 punti) 3. Il segnale s(t) = sinc 2 (50t 4) viene campionato alla minima frequenza di campionamento in grado di evitare aliasing. Supponendo che ogni campione venga rappresentato mediante 16 bit, si determini il numero di bit necessari a memorizzare 20 minuti del segnale s(t). (3 punti) 5. Dato un sistema lineare tempo invariante, si mostri che la relazione che lega l uscita y(t) del sistema al segnale x(t) posto al suo ingresso è data da y(t) = x(t) h(t), dove h(t) è la risposta impulsiva del sistema. (3 punti) 7. Data una variabile aleatoria X avente densità di probabilità f X (x) = 2e -2x u(x), si calcoli la probabilità che 3-X >1. (3 punti) 8. Dato un processo x(k,t) = (A+5)cos(2πf 0 t - θ π/6), dove A e θ sono 2 variabili aleatorie indipendenti aventi densità di probabilità distribuite uniformemente rispettivamente tra 4 e 6, e 0 e 2π, se ne studi la 9. Data una variabile aleatoria X avente densità di probabilità f X (x) = λe -2 λ X (λ > 0), si calcoli la densità di probabilità della variabile aleatoria Y = -2 X e se ne disegni l andamento grafico. 10. Si consideri il segnale aleatorio x(k,t) = Σ k A k rect((t - 2k - τ)/2), costituito da una sequenza di impulsi di durata T e di ampiezza casuale A k. Le ampiezze A k, espresse in volt, assumono solo i valori (-3, -1, +1,+3) e possono essere assimilate a variabili aleatorie indipendenti caratterizzate dalle probabilità: P(-3) = 0.2, P(-1) = 0.2, P(+1) = 0.2, P(+3) = 0.4. La sequenza di impulsi non è sincronizzata e il ritardo τ rispetto tra 0 e T. Sapendo che τ è indipendente da A k k, si calcoli la densità spettrale di potenza media del processo e la percentuale di potenza contenuta nella componente in continua. Vecchio ->

5 Prova scritta di Teoria dei Segnali: nuovo ordinamento (d) 1. Dati i segnali x(t) = rect[(t-5)/4] e y(t) = 4rect[(t+4)/4], si calcoli il prodotto di convoluzione tra x(t) e y(t), 2. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale s(t) = tr[(t+5)/4]sen(6πf 0 t). (3 punti) 3. Il segnale s(t) = sinc 2 (500t + 50) viene campionato alla minima frequenza di campionamento in grado di evitare aliasing. Supponendo che ogni campione venga rappresentato mediante 8 bit, si determini il numero di bit necessari a memorizzare 30 minuti del segnale s(t). (3 punti) 5. Si enunci e si dimostri il teorema di Parseval per segnali determinati a energia finita. (3 punti) 7. Data una variabile aleatoria X avente densità di probabilità f X (x) = 0.5e -x/2 u(x), si calcoli la probabilità che 4-X >2. (3 punti) 8. Dato un processo x(k,t) = (B+6)sen(2πf 0 t - θ + π/5), dove B e θ sono 2 variabili aleatorie indipendenti aventi densità di probabilità distribuite uniformemente rispettivamente tra -10 e 4, e 0 e 2π, se ne studi la 9. Data una variabile aleatoria X avente densità di probabilità f X (x) = λe -2 λ X (λ > 0), si calcoli la densità di probabilità della variabile aleatoria Y = -4 X e se ne disegni l andamento grafico. 10. Si consideri il segnale aleatorio x(k,t) = Σ k A k rect((t - 2kT - τ)/2t), costituito da una sequenza di impulsi di durata 2T e di ampiezza casuale A k. Le ampiezze A k, espresse in volt, assumono solo i valori (-3, -1, +1,+3) e possono essere assimilate a variabili aleatorie indipendenti caratterizzate dalle probabilità: P(-3) = 0.2, P(-1) = 0.4, P(+1) = 0.2, P(+3) = 0.2. La sequenza di impulsi non è sincronizzata e il ritardo τ rispetto tra 0 e 2T. Sapendo che τ è indipendente da A k k, si calcoli la densità spettrale di potenza media del processo e la percentuale di potenza contenuta nella componente in continua. Vecchio ->