Cap. 3. PROCESSI RAPPRESENTATI TRAMITE SERIE TEMPORALI

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1 Cap. 3. PROCESSI RAPPRESENTATI TRAMITE SERIE TEMPORALI 3.1. PROCESSI REALI CON FATTORI ALEATORI Sovente si hanno processi rappresentati tramite una serie temporale infinita di segnali di energia noti, ciascuno dei quali recante una v.a. continua. L esempio più comune è offerto dal tipo di processo reale con fattori aleatori, X(t), con realizzazione che si presenta nella forma: [3.1] x(t) =! k z k p(t-kt), con k variabile intera e T costante, e dove:!z k =z(k) sono le determinazioni delle v.a. continue, Z k, che costituiscono con la loro sequenza, Z(n), un processo discreto reale stazionario;!p(t) è una funzione reale, praticamente limitata nel tempo con durata pratica T p anche molto maggiore di T, avente spettro di energia E pp ( f ) strettamente limitato in banda ed energia: [3.2] E pp =! p 2 (t)dt =! E pp (f)df = C pp (0), dove C pp (") è la funzione di autocorrelazione temporale di p(t), avente per trasformata di Fourier lo spettro di energia E pp (f). Anzitutto, il processo reale discreto stazionario Z(n) risulta caratterizzato (vedi par. 1.6) tramite il valore medio statistico, E{z(k)}=# z, e la sua funzione di autocorrelazione, E{z(k+$)z(k)}=R zz ($). Si ricavano poi la funzione di autocovarianza, K zz ($)=R zz ($)-! z 2, e la potenza, P z = R zz (0)=! z 2 +! z 2, dove! z 2 è la varianza del processo discreto. Ponendo nella [3.1] z k =z ek +# z (con Z ek è indicata la corrispondente v.a. equa, ossia con la stessa caratterizzazione stocastica a meno del valore medio nullo), risulta immediatamente che il processo continuo X(t) comprende l addendo periodico, con periodo T: [3.3] x 0 (t) = # z rep T {p(t)}=# z! k p(t-kt), ed è quindi in generale ciclostazionario, del primo ordine se # z % 0. Come mostrato nella appendice B2, a partire dalla [3.1] e applicando le [1.12] e [2.6] si determinano il valore medio statistico e la funzione di autocorrelazione (privi della dipendenza dal tempo) del processo continuo ciclostazionario X(t): [3.4] # x = 1 T # z! p(t)dt,

2 22 [3.5] R xx (") = 1 T! $ R zz($)c pp ("-$T)= 1 T! 2 zrep T {C pp (")}+ 1 T! $ K zz($)c pp ("-$T). A riguardo del valore medio del processo continuo si osserva che esso si annulla se è nullo quello del processo discreto, ossia se si verifica # z =0; è inoltre possibile ottenere un valore medio nullo anche per # z %0, con opportuna scelta della forma p(t) che comporti l azzeramento del suo integrale. Applicando alla [3.5] la relazione di Wiener-Khintchine (vedi [1.27]), si giunge alla seguente espressione della densità spettrale di potenza del processo continuo: [3.6] P x (f) = 1 T! 2 z! k c k &(f-kf 0 ) + 1 T E - j2 ft pp ( f )! $ K zz ($)e!" = = 1 T! 2 2 z! n E pp (kf 0 )&(f-kf 0 )+ 1 T E # pp (f)! 2! & % z + 2" K zz (")cos(2#"ft)(. $ ' Si noti che nello spettro del processo compaiono:!una serie di componenti discrete a frequenza multipla di f 0 =1 /T, associate alla presenza nel processo dell addendo periodico x 0 (t) (vedi [3.3]), di entità proporzionale al quadrato del valore medio statistico del processo discreto Z(n);! una parte continua, con andamento che dipende sia da quello dello spettro di energia della forma determinata p(t), che dalla funzione entro parentesi quadra nella [3.6], periodica di periodo f 0 =1 /T; tale funzione risulta la somma di una costante, pari alla varianza del processo discreto Z(n), e di una variabile legata alla autocovarianza dello stesso processo per i valori $%0. Grazie alla stazionarietà del processo discreto, la energia media statistica del generico addendo della serie [3.1], separatamente considerato, è invariante con k, ossia è una caratteristica del processo continuo: [3.7] E xt ˆ= E{E kk } =E{! z 2 k p 2 (t-kt)dt} = P ze pp. Nel seguito verranno considerati due casi, assumendo la ipotesi di ortogonalità tra le v.a. Z k, o quella di ortogonalità dei segnali addendi di energia che costituiscono la forma periodica rep T {p(t)}; per entrambi si dimostra che la potenza del processo X(t) può essere espressa tramite la semplice relazione: [3.8] P = E xt x, T ossia la potenza può essere immediatamente calcolata come rapporto tra il comune valore, E xt, della energia media statistica degli elementi della serie e il valore, T, della sua cadenza temporale Caso di ortogonalità delle v.a. del processo discreto " =1

3 23 Se le v.a. Z k del processo discreto sono tutte ortogonali tra loro, ossia la funzione di autocorrelazione del processo R zz ($) è nulla per ogni $%0, mentre per $=0 si ha R zz (0)=P z =! z 2 (# z =0), la [3.5] diviene: [3.9] R xx (") = 1 T R zz(0) C pp (") = 1 T P zc pp (") ; per "=0 e tenendo conto delle [3.2] e [3.7], la potenza del processo X(t) assume la espressione: [3.10] P x = R xx (0)= 1 T P zc pp (0)= 1 T P ze pp = E T xt, per R zz ($) = 0 con $%0. Per trasformazione di Fourier della [3.9] si ottiene inoltre: [3.11] P x ( f ) = 1 T P ze pp (f), ossia l andamento dello spettro di potenza del processo è privo di componenti discrete ed è proporzionale a quello dello spettro di energia della funzione nota p(t) Caso di ortogonalità delle forme traslate nel tempo Se tutte le funzioni determinate p(t-kt), traslate nel tempo, sono tra loro ortogonali, ossia si verifica: # % E [3.12]! p(t-kt)p(t-ht)dt=c pp [(h-k)t] pp,!=0 =C pp (!T)= $, &% 0,! " 0 la [3.5] per "=0 fornisce, a prescindere dalla dipendenza statistica delle v.a. Z k : [3.13] P x = R xx (0) = 1 T R zz(0) E pp = 1 T P ze pp = E T xt, per C pp ($T) = 0 con $%0. È importante rimarcare che, grazie alla menzionata ortogonalità delle forme traslate, la potenza del processo non risente della presenza della intercorrelazione tra le v.a. Z k del processo discreto. Questa si manifesta invece nell andamento della densità spettrale di potenza, per cui vale la forma generale [3.6] PROCESSI CAMPIONATI IN BANDA BASE Quanto esposto nel paragrafo precedente è applicabile ai processi reali continui stazionari con realizzazione rappresentata tramite campioni. Considerato un processo in banda base X(t) con frequenza massima f M e scelto un generico periodo di campionamento T ca '1/2f M, la generica realizzazione ammette la rappresentazione tramite la serie temporale:

4 24 [3.14] x(t) =! k c k sinc t ( T -k ca ), con k variabile intera, e dove:!i campioni c k =x(kt ca ) sono le determinazioni delle v.a. continue C k che costituiscono con la loro sequenza, C(n), un processo reale discreto stazionario;! sinc(t/t ca ) è la nota funzione di campionamento, con energia e spettro di energia date rispettivamente dalle: [3.15] E ss = T ca, [3.16] E ss (f) = T 2 ca rect( f T ca ), e che gode della proprietà di ortogonalità delle forme traslate: [3.17] C ss ($T ca ) = 0, per $%0. Tenuto conto che la funzione sinc(t/t ca ) ha integrale di valore uguale a T ca, in base alla [3.4] risulta immediatamente: [3.18] # x = # c, ossia il valore medio statistico, # x, del processo continuo coincide con quello, # c, del processo discreto costituito dalla sequenza dei campioni aleatori. Servendosi dei risultati del paragrafo precedente e notando che la [3.16] limita lo spettro nell intervallo di frequenza (-1/2T ca ;1/2T ca ), si ricava per la densità spettrale di potenza del processo continuo la espressione: [3.19] P x (f) =! 2 # c &(f) + T ca rect(ft ca )! 2! & % c + 2" K cc (")cos(2#"ft ca )(, $ ' " =1 dove! 2 c e K cc ($) sono rispettivamente la varianza e la funzione di autocovarianza del processo discreto C(n), costituito dalla sequenza delle v.a. aventi per determinazioni i campioni aleatori presi a intervallo T ca. Grazie alla [3.17], la potenza del processo continuo può essere semplicemente ottenuta dividendo per T ca la energia media statistica del generico elemento della serie temporale con cui il processo stesso è formulato; si ha allora dalla [3.7] e dalla [3.15]: [3.20] P x = P c E ss = P c =! c + " c T, ca essendo P c la potenza del processo discreto.

5 25 Tenuto conto che la rappresentazione tramite campioni conserva inalterata la forma del segnale al variare dell'intervallo di campionamento, purché risulti T ca '1/2f M, si hanno le considerazioni seguenti, basate sulla invarianza delle caratteristiche sintetiche del processo continuo con realizzazione [3.14], in particolare di # x, P x e di P x (f) per le quali risultano le [3.18], [3.19] e [3.20]. In base alle [3.18] e [3.20], la sequenza dei campioni aleatori mantiene invariate le grandezze del primo ordine, ossia # c,! 2 c e P c, al variare del periodo di campionamento T ca ; risulta invece diversa la energia media statistica, E xtca =P x T ca, del generico elemento della serie temporale. Tenendo conto della [3.19], risulta anche diversa la funzione di autocovarianza, K cc ($), per ogni $%0. In particolare si evince che, essendo per ipotesi P x ( f )=0 per f>f M, i diversi campioni aleatori sono incorrelati (ossia risulta K cc ($)=0 per $%0) se, e solo se, il processo continuo ha densità spettrale costante da f m =0 + a f M =B: [3.21] P x (f)= P! f $ rect# &, 2f M " 2f M % e inoltre il periodo di campionamento assume il valore massimo: T ca =1/2f M =1/2B, ossia è uguale all'intervallo di Nyquist. In tale particolare caso il processo continuo si denomina un processo bianco in banda base PROCESSI COMPLESSI CON FATTORI ALEATORI Si consideri un processo continuo reale ciclostazionario non in banda base e il relativo processo inviluppo complesso rappresentativo X(t), con realizzazione (vedi [2.7]) che si suppone formulata in termini della serie temporale: [3.22] x(t)= x c (t)+jx s (t) =! k (a k +jb k )p(t - kt), dove al solito k è una variabile intera e:! a k e b k sono le determinazioni delle v.a. continue, A k e B k, che costituiscono con le loro sequenze, A(n) e B(n), una coppia di processi reali discreti stazionari;! p(t) è una funzione reale, praticamente limitata con durata pratica T p anche molto maggiore di T, avente spettro di energia E pp ( f ) strettamente limitato in banda base. A partire dalla [2.10] e con simbologia e procedimento analoghi a quelli usati per giungere alla [3.6] si ottengono la funzione di autocorrelazione e la densità spettrale di potenza del processo continuo X(t): [3.23] R xx (") = 1 T! ${[R aa ($)+R bb ($)]C pp ("-$T)-jR ab ($)[C pp ("- $T) - C pp ("+$T)]} [3.24] P x (f)= 1 2 T (! 2 a +! b2 )! k E pp (kf 0 )&(f-nf 0 )+ 1 T E pp (f)(! 2 a +! b2 )+

6 26 # + 2 T E pp (f){ $ K aa (!) + K bb (!) cos(2"! f T) -! $ K ab($)sin(2($ft)},! =1 in cui compare anche la covarianza, K ab ($), dei due processi discreti. Nella valutazione della potenza P x del processo inviluppo complesso non ha invece alcun effetto la dipendenza statistica tra i due processi discreti, come si nota immediatamente dalla [3.23] per "=0 tenendo conto che la autocorrelazione, C pp (u), è una funzione pari dell'argomento u; ciò è in accordo con il legame di semplice somma (vedi [2.13]) tra la potenza P x e quelle, P c e P s, dei due processi reali X c (t) e X s (t). Rammentando le [2.4.27] e [3.7], la energia media statistica del generico elemento della serie temporale [3.22] assume la espressione: { } = (P a + P b )E pp = (! a! [3.25] E xt =E a 2 2! ( k +b k )p 2 (t-kt)dt b +! 2 +! b2 ) E pp. Sia nel caso di ortogonalità delle v.a. A k e B k (R aa ($)=R bb ($)=0 per ogni $%0), che in quello di ortogonalità delle forme traslate (vedi [3.12]) seppure in presenza di correlazione tra le v.a., si ottiene dunque per la potenza del processo considerato: a [3.26] P x = ExT = 1 T T (P a+p b )E pp. La analisi svolta può essere utilizzata nel caso di un processo continuo, in generale ciclostazionario, strettamente limitato in una banda B e con frequenza minima f m %0. Adottando per la realizzazione la rappresentazione con doppia sequenza di campioni e assumendo A k =C ck, B k =C sk, T=1/B e p(t)=sinc(t/t), e quindi anche E pp =T (vedi seconda delle [3.15]), dalla [3.26] si ricava la potenza del processo inviluppo complesso rappresentativo: 2 [3.27] P x =!! 2 2 +!! Cc + Cs 2 Cc + Cs, con ovvio significato dei simboli. Grazie alla [2.13], si ottiene infine la potenza del processo considerato, che è semplicemente la metà di quella fornita dalla [3.27]. Si lascia al lettore il compito di dimostrare che se il processo è stazionario i valori medi statistici dei campioni aleatori sono nulli (# Cc =# Cs =0) e per le loro varianze risulta: Cc Cs [3.28]! =! = P = P 2 in armonia con la [2.28]. x x PROCESSO SOMMA DI PROCESSI REALI CON FATTORI ALEATORI Si consideri un particolare tipo di processo continuo X(t), con realizzazione che sia rappresentabile nella forma:

7 27 [3.29] x(t) =! k [a k p 1 (t-kt)+b k p 2 (t-kt)], con k variabile intera e dove:! a k e b k sono le determinazioni delle v.a. continue, A k e B k, che costituiscono con le loro sequenze, A(n) e B(n), una coppia di processi reali discreti stazionari;! p 1 (t) e p 2 (t) sono funzioni reali, con energie E 11 e E 22, praticamente limitate nel tempo con durata pratica anche molto maggiore di T, e che rispettano la condizione: [3.30]! p i (t-kt)p j (t-ht)dt=c ij [(h-k)t] =C ij (!T)=0, per #% $ &%!=0 e i " j! " 0 Con simbologia e procedimento analoghi a quelli usati per giungere alla [3.23] si ottiene la funzione di autocorrelazione del processo continuo considerato: [3.31] R xx (")= 1 T! ${R aa ($)C 11 ("-$T)+R bb ($)C 22 ("-$T)}+ 1 T! $ R ab($)[c 12 ("-$T)+C 21 ("+$T)].. Lasciando al lettore l esercizio di calcolare la densità spettrale di potenza e dimostrare che essa risente della intercorrelazione tra i processi discreti, ci si limita a verificare che invece la potenza del processo continuo è indipendente da R ab ($). Infatti, tenuto conto delle [3.33], la [3.31] fornisce per "=0: [3.32] P x = R xx (0) = 1 T [R aa(0) E 11 + R bb (0) E 22 ] = 1 T (P ae 11 + P b E 22 ) = E T xt, dove P a e P b sono al solito le potenze dei processi discreti e E xt è la energia media statistica del generico elemento della serie temporale, come risulta dalla espressione generale: 2 [3.33] E xt =E a k p 1 (t-kt)+b k p 2 (t-kt) dt che si riduce alla: [3.34] E xt = P a E 11 + P b E 22, {! [ ] } = P ae 11 + P b E R ab (0)C 12 (0), in virtù della ortogonalità delle due forme note (vedi [3.30]). Quanto sopra, e in particolare il semplice calcolo della potenza del processo continuo tramite la energia media statistica del generico elemento della serie temporale, è applicabile al caso più ampio di processo con N realizzazioni addende, ossia: N! k i =1 [3.35] x(t) =! a ik p i (t - kt), sempre che sia verificata la [3.30]. Si ottiene allora: [3.36] P x = E T xt = 1 P T! ai E ii. N i =1