Sinusoide a fase aleatoria

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1 Sinusoide a fase aleatoria x(t) = cos(ωt + ϑ) ϑ U(,π) Caratterizzazione di primo ordine. Fisso un istante di tempo arbitrario t. Siccome ω è costante, posso porre ωt = Φ Ottengo la V.. (Variabile leatoria) X che è una trasformazione di ϑ: X = cos(φ + ϑ) = g(ϑ) Calcolo della pdf: Calcolo la pdf col teorema fondamentale: f x (x) = i f ϑ (ϑ i ) g (ϑ i ) = i π g (ϑ i ) ϑ i = Sol[g(ϑ) = x] perché ϑ è una distribuzione uniforme e la sua pdf è: { ϑ U(,π) f ϑ (ϑ i ) = π = π ϑ i π altrimenti X ha valori in un intervallo limitato quindi non ci sono soluzioni ϑ i fuori dell intervallo. llora la pdf è nulla all esterno di [-,] X = cos( ) X + f x (x) = x > Quindi devo ragionare solo sui valori x La derivata è semplice da calcolare: g (ϑ) = D[cos(Φ + ϑ)] = sin(φ + ϑ) g (ϑ) = sin(φ + ϑ) Devo trovare le soluzioni ϑ i in funzione di x: ϑ i = Sol[g(ϑ) = x] g(ϑ i ) = x cos(φ + ϑ i ) = x cos(φ + ϑ i ) = x Sfruttando la relazione fondamentale della trigonometria: ( x ) sin x+cos x = sinx = cos x sin(φ + ϑ i ) = cos (Φ + ϑ i ) = = ( x = g (ϑ) = sin(φ + ϑ) = ) Per cui ottengo:

2 f x (x) = i π ( ) = i x π ( ) x [,] x Devo solo capire quante sono le soluzioni e, quindi, quanto vale i. Le soluzioni, in realtà sono infinite, perché il coseno è una funzione periodica, ma la pdf di ϑ, come visto si annulla identicamente al di fuori dell intervallo [,π]. Nei calcoli, in pratica, abbiamo implicitamente considerato solo le soluzioni interne a quest intervallo, ponendo f ϑ = /π. Le soluzioni in [,π] sono due, una sul tratto discendente [,π] ed una sul tratto ascendente [π,π]: f x (x) = π ( ) = x { π ( x) x altrimenti Calcolo della CDF: Per ottenere la CDF integro la pdf: F X (x) = P(X x) F X (x) = dim x f X (x)dx La pdf è priva di impulsi, quindi la CDF è continua. Inoltre, per x > la pdf è nulla, quindi la CDF sarà costante: { FX ( ) x < F X (x) = F X () x > dove le uguaglianza valgono per la continuità. Ragiono per x : x x F X (x) = f X (u)du = π ( ) du = u π x ( u ) du; Pongo: ( u y = u = y du = dy ) ed effettuo la sostituzione. F X (x) = x π dy = y π [arcsiny] x = [ ( x ] arcsin arcsin( ) = π ) = π [ ( x ( arcsin ) π )] = + ( x ) π arcsin x vrò, ricordando quanto visto in precedenza: F X ( ) = F X (x) x < = F X ( ) = + ( π arcsin ) = =

3 F X (+ ) = F X (x) x > = F X () = + ( ) π arcsin = + = per cui la CDF e, di conseguenza, la pdf che ho trovato sono valide. x < F X (x) = + π arcsin( ) x x x > Caratterizzazione sintetica. Nel calcolo dei momenti, spesso ricorre il calcolo dell integrale del coseno in un intervallo di periodicità. Essendo, il coseno, una funzione pari, l integrale è nullo. Il calcolo, però viene svolto lo stesso, per completezza. Media: µ X (t) = E[X] = E[cos(ωt + ϑ)] = E[cos(Φ + ϑ)] = Uso il teorema fondamentale della media: = + cos(φ + ϑ) f ϑ (ϑ)dϑ = π π cos(φ + ϑ)dϑ = [sin(φ + ϑ)]π π = = π [sin(φ + π) sinφ] = π = = µ X La media non dipende dall istante in cui la si calcola. E costante nel tempo Varianza e VQM: La media è nulla, per cui σ (t) = VR = V QM µ = V QM = V QM Calcolo il valore quadratico medio: Uso le formule di bisezione: X = E[ cos (ωt + ϑ)] = E[cos (Φ + ϑ)] cos x = + cosx Sostituendo ottengo, per linearità: [ + cos(φ + ϑ) X = E cos (Φ + ϑ) = ] = + cos[(φ + ϑ)] E[] + E cos( }{{} Φ +ϑ) = k = { + E [cos(k + ϑ)]} = + E [cos(k + ϑ)] = 3

4 pplico il teorema fondamentale: = + + cos(k+ϑ) f ϑ (ϑ)dϑ = + π cos(k+ϑ)dϑ = 4π + [sin(k + ϑ)]π 8π = = + [sin(k + 4π) sink] = 8π + 8π = = σ nche VQM e varianza sono costanti. Valore efficace (RMS) e deviazione standard: Momenti di ordine. X RMS = V QM = σ = σ = DEV.ST D. = Funzione di autocorrelazione statistica: = r x (t,τ) = E [x(t,ζ) x((t,τ),ζ)] = E[X(t) X(t τ)] = E [cos(ωt + ϑ) cos(ω(t τ) + ϑ)] = E [cos(ωt + ϑ)cos(ωt ωτ + ϑ)] Uso le formule di Werner: cosαcosβ = [cos(α + β)cos(α β)] [ ] r x (t,τ) = E (cos((ωt + ϑ) + (ωt ωτ + ϑ)) + cos((ωt + ϑ) (ωt ωτ + ϑ))) = = = E [cos(ωt + ϑ + ωt ωτ + ϑ) + cos(ωt + ϑ ωt + ωτ ϑ)] = {E [cos(ωt ωτ + ϑ)] + E [cos(ωτ)]} = E cos(ω(t τ) +ϑ) + cos(ωτ) }{{} = k cos(ωτ) + E [cos(k + ϑ)] = cos(ωτ) + = cos(ωτ) = r x(τ) La media di cos(k + ϑ) l avevo già calcolata per la varianza. La funzione di autocorrelazione statistica in tempo-ritardo non dipende dal tempo ma solo dal ritardo. 4

5 Funzione di autocorrelazione statistica: Uso la relazione nota: c x (t,τ) = r x (t,τ) µ X (t)µ X (t τ) = r x (t,τ) µ X = r x (t,τ) La media è nulla, quindi autocorrelazione ed autocovarianza coincidono. E siccome la prima non dipende da t anche la seconda sarà funzione soltanto del ritardo: Stazionarietà. c x (τ) = r x (τ) = cos(ωτ) Stazionarietà del primo ordine: Si ha quando la pdf di primo ordine non varia nel tempo. In pratica, tutte le variabili aleatorie che posso estrarre dal processo sono identicamente distribuite. Ho già visto che: f x (x;t) = π ( ) = f x (x) x per cui, la sinusoide a fase aleatoria è stazionaria del primo ordine. Stazionarietà del secondo ordine: Si dimostra che non vale la stazionarietà del secondo ordine, quindi neanche quelle di ordine superiore. Stazionarietà in senso lato (SSL): non dipendono dal tempo: Un segnale è SSL se la media e l autocovarianza SSL { µx (t) = µ X costante r x (t,τ) = r x (τ) Poiché: µ X (t) = µ X = r x (t,τ) = r x (τ) = cos(ωτ) la sinusoide a fase aleatoria è stazionaria in senso lato. Medie temporali. Ergodicità: La sinusoide a fase aleatoria è ergodica sia per la componente continua che per la potenza. Valgono, cioè, le seguenti condizioni: T T [ T [ lim T + 4T c x (t,τ)dtdτ = lim VR E x(t) ] ] dt = T T T + T T Inoltre, per le proprietà di stazionarietà, la convergenza vale puntualmente anziché in media quadratica. 5

6 Componente continua: cioè fisso un valore di ϑ: Mi basta calcolare la media di una sola realizzazione, x dc = E[x(t)] = x(t) = cos(ωt + ϑ) La media temporale di un segnale periodico coincide con la media calcolata su un solo periodo (T,T + T ): lim T + T T T x(t)dt = T +T x(t)dt = T T x dc = T cos(ωt + ϑ)dt = T cos(ωt + ϑ)dt = T T La sinusoide a fase aleatoria è un segnale puramente alternativo. Potenza e valore efficace: potenza: Un segnale periodico è, in generale, un segnale di P x = x(t) = (cos(ωt + ϑ)) = cos (ωt + ϑ) = T cos (ωt +ϑ)dt = T utilizzo, ancora, le formule di bisezione (vedi Varianza): P x = T T [ + cos[(ωt + ϑ)] dt = T T ] dt + cos[(ωt + ϑ)]dt = T T T dt + T cos[(ωt + ϑ)]dt = T + T cos(ωt + ϑ T T T }{{} )dt = k Pongo: ωt = x t = ω x dx dt = ω = P x = + T cos(x+k)dx = T ω + T cos(x+k)dx = 4ωT + = 4ωT La radice della potenza è il valore efficace: x RMS = P x = = = 6