Stazionarietà. IDENTIFICAZIONE dei MODELLI e ANALISI dei DATI. Lezione 3: Processi Stocastici 3-1

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1 IDENTIFICAZIONE dei MODELLI e ANALISI dei DATI Lezione 3: Processi Stocastici Motivazioni Esempi Definizione Dualitá Stazionarietà 3-1

2 Motivazioni In molti settori scientifici sia tecnologici che economico-sociali (ad es.: biologia, economia, fisica, ingegneria, medicina, sociologia) si incontrano segnali (cioé evoluzioni temporali di grandezze misurate) x(t), contraddistinti dalle seguenti caratteristiche: irregolarità - complessità incertezza - non riproducibilità impredicibilità Allo stesso tempo si avverte che i segnali prodotti da un certo fenomeno hanno caratteristiche comuni che li distinguono dai segnali prodotti da un fenomeno diverso. Ha perciò senso cercare di descrivere non il singolo segnale x(t) ma l insieme dei segnali {x(t)} prodotti da un certo fenomeno. 3-2

3 Esempi La vibrazione di una struttura meccanica La portata di un fiume La temperatura in una certa località La posizione di un aereo in volo Lo EEG di un paziente L indice di borsa Il numero di pacchetti circolanti su una rete di telecomunicazione La richiesta di potenza elettrica di una certa città L errore di misura di un sensore 3-3

4 Definizione Fra i tanti strumenti matematici, quello piú utilizzato per descrivere famiglie di segnali incerti é la Teoria della Probabilitá. Su di essa si basa la definizione di Processo Stocastico: Definizione - Un Processo Stocastico X é una collezione di Variabili Aleatorie X(t) contraddistinte da un indice temporale t appartenente all insieme dei tempi T. X. = {X(t), t T } (1) Classificazione T = R: processo tempo continuo (t.c.) T = I: processo tempo-discreto (t.d.) t = ktc, k I, Tc passo di campionamento: processo a dati campionati X(t) R: processo a valori reali X(t) I: processo a valori discreti (processo di conteggio) 3-4

5 Dualità (1/2) Dalla definizione precedente risulta che un processo stocastico è contemporaneamente una famiglia di segnali (o realizzazioni) su un comune insieme dei tempi e una famiglia di variabili aleatorie su un comune spazio di probabilità. In sostanza ad ogni istante t il valore assunto dal processo è descritto da un meccanismo casuale. In che modo bisogna caratterizzare le variabili aleatorie X(t) al fine di inferire le proprietá delle realizzazioni? Teorema (Kolmogorov) - Un processo stocastico X è caratterizzato (come famiglia di realizzazioni) quando é assegnata la densità di probabilitá congiunta di un generico numero finito n di v.a. X(t1),..., X(tn) del processo: ft1,...,tn (x 1,..., xn), (2) 3-5

6 per ogni possibile scelta degli istanti t1,..., tn.

7 Dualitá (2/2) Esempi: Processo indipendente e identicamente distribuito (i.i.d.) n ft1,...,tn(x1,..., xn) = f(xi) (3) Tutte le variabili aleatorie del processo hanno la stessa densità e sono fra loro indipendenti. i=1 Sinusoide con fase casuale X(t) = A sin(ωt + Φ) (4) dove la fase Φ è una v.a. distribuita in maniera uniforme nell intervallo [0, 2π]. Problema: 1. Quali sono le realizzazioni del processo i.i.d.? 2. Quali sono le distribuzioni di probabilitá del processo sinusoide con fase casuale? 3-7

8 Stazionarietà Una prima semplificazione dell insieme dei processi stocastici la si ottiene considerando i processi stazionari; quelli in cui le densità di probabilità non dipendono dagli istanti temporali delle v.a. considerate. Formalmente: Definizione - Un processo è stazionario (in senso forte) se ft1,...,tn (x 1,..., xn) = f t 1+τ,...,tn+τ(x1,..., xn), (5) per ogni possibile scelta del ritardo τ. In altri termini un processo è stazionario se le famiglie di densità congiunte sono invarianti per traslazioni temporali. Conseguenza - Le v.a. di un processo stazionario hanno la stessa densità di probabilità marginale. 3-8