RETI DI TELECOMUNICAZIONE

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1 RETI DI TELECOMUNICAZIONE CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE Definizioni Sia dato un processo stocastico x(t) che può assumere valori discreti appartenenti ad un insieme se accade che il processo è una catena di Markov tempo continua CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 2 1

2 Equazione di Chapman-Kolmogorov Si consideri la matrice di transizione tempo continua fra gli istanti s e t con s<t per l equazione di Chapman-Kolmogorov sarà e anche per qualunque intervallo t CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 3 Matrice delle frequenze di transizione In un tempo nullo non si avrà possibilità di transizione di stato quindi sarà con I n matrice identica Si ottiene quindi CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 4 2

3 Matrice delle frequenze di transizione Facendo tendere si trova Dove la matrice Q(t) è detta matrice delle frequenze (dei tassi) di transizione. Il generico elemento in posizione ij si può ottenere a partire dalle probabilità di transizione al tempo t dalle relazioni CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 5 Matrice delle frequenze di transizione Si trova che La soluzione dell equazione èdel tipo considerando che CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 6 3

4 Matrice delle frequenze di transizione Inoltre la somma per riga degli elementi della matrice sarà nulla: L elemento in posizione i,i sarà l opposto della somma di tutti gli altri elementi CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 7 Vettore delle probabilità di stato Il vettore delle probabilità di stato sarà tempo continuo della forma Ogni singolo elemento è una funzione che rappresenta la probabilità che il processo al tempo t si trovi in quello stato Analogamente alle catene discrete sarà dove Π(0) è la distribuzione delle probabilità di stato all origine dei tempi (t=0) CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 8 4

5 Vettore delle probabilità di stato Nota la matrice Q(t) delle frequenze di transizione sarà La cui soluzione è data dal sistema di equazioni differenziali (nota la condizione iniziale) CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 9 Matrice delle frequenze di transizione per catene di Markov omogenee Nel caso di catene tempo continue omogenee la probabilità di transizione non dipende dagli istanti assoluti di tempo ma esclusivamente dalla durata dell intervallo Sarà quindi costante la matrice Q CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 10 5

6 Vettore delle probabilità di stato per catene di Markov omogenee L evoluzione del vettore di probabilità di stato sarà legata quindi all equazione Che ha per soluzione CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 11 Vettore delle probabilità di stato per catene di Markov omogenee e stazionarie Nel caso di catena stazionaria si trova che devono valere le relazioni CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 12 6

7 Tempi di soggiorno e ricorrenza per catene di Markov omogenee e stazionarie Tempi di soggiorno Variabili casuali distribuite esponenzialmente Il tempo medio di permanenza nello stato i sarà CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 13 Esercizio Data la catena di Markov omogenea tempo continua il cui diagramma delle frequenze di transizione è dato in figura, determinare la matrice dei tassi di transizione Q e la probabilità che a regime il sistema si trovi nello stato 0. CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 14 7

8 Catene di nascita e morte tempo continuo Il diagramma dei tassi di transizione diviene Gli elementi della matrice Q CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 15 Catene di nascita e morte tempo continuo Come nel caso continuo si può trovare la soluzione della catena in termini di probabilità di stato a regime a partire dal bilanciamento dei flussi La trattazione è del tutto analoga alle catene di nascita e morte tempo discrete CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 16 8

9 Catene di nascita e morte tempo continuo Quando la sommatoria al denominatore converge Gli stati sono tutti ricorrenti non nulli Le Π i trovate costituiscono la distribuzione stazionaria delle probabilità di stato La catena di nascita e morte è ergodica Condizione sufficiente per la convergenza è che Quando la sommatoria al denominatore non converge La catena di nascita e morte non è ergodica CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 17 Catene di nascita e morte tempo continuo state independent Frequenza state-independent I tassi di nascita e di morte sono costanti per ogni stato quindi Posto sarà CATENE DI MARKOV TEMPO CONTINUE 18 9