RETI DI TELECOMUNICAZIONE

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1 RETI DI TELECOMUNICAZIONE TEORIA DELLE CODE Teoria delle code Obiettivo Avere uno strumento analitico per determinare le condizioni di funzionamento di una rete in termini prestazionali La teoria delle code consente l analisi di un sistema modellato da una coda al quale arrivano clienti in modo random Si assumono noti: La distribuzione di probabilità dei tempi di interarrivo dei clienti La distribuzione di probabilità dei tempi di servizio Si possono calcolare: Il numero medio di clienti nel sistema In coda o nel servente Il ritardo medio per cliente Tempo di attesa in coda e di servizio CLIENTI BUFFER (o coda) SERVENTE TEORIA DELLE CODE 2 1

2 Teoria delle code Esempio di sistema a coda: Ufficio Postale Clienti Persone che entrano nell ufficio per usufruire di un servizio Pagare un conto corrente Prelevare la pensione Spedire una raccomandata I tempi di arrivo sono casuali Serventi Impiegati dell ufficio postale La durata del servizio dipende dall operazione richiesta e dalla velocità dell impiegato Coda Quando tutti i serventi sono occupati i clienti si dispongono in coda per accedere ordinatamente ai vari serventi Unica coda per tutti i serventi Singola coda per ogni servente TEORIA DELLE CODE 3 Teoria delle code Nodo di rete a commutazione di pacchetto Clienti Pacchetti che arrivano al nodo dai collegamenti in ingresso Serventi Diversi collegamenti in uscita dal nodo La durata del servizio dipende dalla capacità del collegamento e dalla dimensione del pacchetto (T=L/C) Sarà costante se i pacchetti hanno tutti le stesse dimensioni (situazione tipica dei sistemi TDM-SS) Sarà variabile se i pacchetti possono avere dimensione diversa (situazione tipica dei sistemi TDM Continuous) Coda Area di memoria dove vengono memorizzati i pacchetti in attesa che si liberi il collegamento in uscita richiesto Il tempo di attesa in coda dipende dal numero di pacchetti in attesa, dalla politica di gestione della coda (FIFO, LIFO, ) e dalla capacità del collegamento in uscita SISTEMA A PURA ATTESA (buffer infinito) SISTEMA AD ATTESA E PERDITA (buffer finito) TEORIA DELLE CODE 4 2

3 Teoria delle code Nodo di rete a commutazione di circuito Clienti Richiesta di un dato collegamento in uscita verso un altro nodo Serventi Disponibilità del collegamento Per un collegamento TDM-SP il servente è lo slot a disposizione per una specifica chiamata La durata del servizio dipende dalla durata del collegamento Periodo di tempo durante il quale una data chiamata rimane attiva Coda Non esiste (o meglio è di lunghezza 0) Nelle reti a commutazione di circuito deve essere disponibile almeno un servente (time slot nelle reti TDM-SP) affinché la chiamata possa essere attivata e il servizio sia disponibile Il tempo di attesa in coda è quindi sempre 0s SISTEMA A PURA PERDITA TEORIA DELLE CODE 5 Sistemi stazionari ed ergodici -numero clienti- Probabilità che al tempo t ci siano n clienti nel sistema Dato l istante t è una distribuzione discreta TEORIA DELLE CODE 6 3

4 Sistemi stazionari ed ergodici -numero clienti- Il numero medio di clienti nel sistema al tempo t sarà Il sistema si dice STAZIONARIO se TEORIA DELLE CODE 7 Sistemi stazionari ed ergodici -numero clienti- Sia N(t) una funzione di campionamento che rappresenta il numero di clienti nel sistema all istante t. TEORIA DELLE CODE 8 4

5 Il numero medio di clienti nel sistema nel tempo [0, t] può essere espresso come Il sistema si dice ERGODICO se TEORIA DELLE CODE 9 Sistemi stazionari ed ergodici -numero clienti- Sistemi stazionari ed ergodici -ritardo- La distribuzione di probabilità del ritardo del generico cliente k Dato il cliente k è una distribuzione continua (densità di probabilità) TEORIA DELLE CODE 10 5

6 Il valore atteso del ritardo per il generico cliente k sarà Il sistema si dice STAZIONARIO se Il sistema sarà anche ERGODICO se TEORIA DELLE CODE 11 Sistemi stazionari ed ergodici -ritardo- -enunciato- Sia N il numero medio di utenti nel sistema T il ritardo medio di un utente nel sistema λ la frequenza media degli arrivi Allora, per un sistema stazionario ed ergodico vale la relazione TEORIA DELLE CODE 12 6

7 Sia sarà il numero di clienti nel sistema al generico istante t TEORIA DELLE CODE 13 -dimostrazione- -dimostrazione- TEORIA DELLE CODE 14 7

8 Sappiamo che la media temporale di N(t) in [0, t] è l integrale al numeratore è dato dall area tratteggiata della figura, che possiamo scrivere nella forma TEORIA DELLE CODE 15 Quindi -dimostrazione- -dimostrazione- dove rappresenta la MEDIA TEMPORALE DELLA FREQUENZA DEGLI ARRIVI (numero di arrivi su tempo trascorso) TEORIA DELLE CODE 16 8

9 e considerando che per t molto grande sarà si trova che rappresenta la MEDIA DEI TEMPI SPESI DEI CLIENTI NEL SISTEMA (sommatoria dei tempi spesi da ciascun cliente arrivato su numero di clienti arrivati) Quindi. TEORIA DELLE CODE 17. -dimostrazione- -dimostrazione- Nell ipotesi di sistema stazionario ed ergodico sarà per da cui segue la dimostrazione del teorema TEORIA DELLE CODE 18 9

10 La formula può essere applicata a ciascuna delle due parti che compongono il sistema a coda Se sarà Se sarà TEORIA DELLE CODE 19 -applicazione- Throughput di un sistema time-sharing a N terminali TEORIA DELLE CODE 20 10

11 Throughput di un sistema time-sharing a N terminali Sia R il tempo medio di impostazione di un job Sia P il tempo medio di elaborazione di un job Il tempo medio T che un job spende per essere impostato ed eseguito sarà tale che Applicando il teorema di Little si ha che da cui TEORIA DELLE CODE 21 -applicazione- -applicazione- Il troughput è ovviamente limitato dalla capacità di elaborazione, quindi da cui si deduce che TEORIA DELLE CODE 22 11

12 TEORIA DELLE CODE 23 -applicazione- -applicazione- TEORIA DELLE CODE 24 12

13 Nomenclatura per i sistemi a coda Sequenza di 5 simboli A/B/C/D/E (Notazione di Kendall) 1 simbolo (lettera): indica la natura del processo degli arrivi 2 simbolo (lettera): indica la natura della distribuzione di probabilità dei tempi di servizio I primi due simboli assumono tipicamente i valori: M: Memoryless Proccesso di Poisson Distribuzione di probabilità esponenziale G: General D: Deterministic 3 simbolo (numero): indica il numero di serventi 4 simbolo (numero): indica il numero massimo di clienti nel sistema Può essere omesso, in questo caso si assume che il limite sia infinito 5 simbolo (numero): indica la dimensione della popolazione dalla quale possono arrivare i clienti TEORIA DELLE CODE 25 13