COMPITI DI RETI DI TELECOMUNICAZIONI Prof. Giovanni Poggi. ultima revisione

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1 COMPITI DI RETI DI TELECOMUNICAZIONI Prof. Giovanni Poggi ultima revisione In un hard-discount, nell ora di punta, i clienti arrivano alla cassa secondo un processo di Poisson al ritmo di 1 al minuto, ed hanno tempi di servizio che sono v.a.i.i.d. esponenziali con media pari a 54 secondi. Supponendo di essere a regime, calcolare il tempo medio T di permanenza in coda di un generico cliente, e il numero medio N Q di clienti in attesa in coda. Per migliorare il servizio viene aggiunto un secondo cassiere, con caratteristiche uguali al primo, per servire la singola coda di clienti in uscita. Come cambiano in questo caso T ed N Q? 2. Una cella di un sistema di telefonia cellulare copre un area di 0.3 km 2 in una zona in cui gli utenti generano 10 Erlang/km 2 di traffico telefonico. Sapendo che il traffico ha caratteristiche memoryless, e che si desidera garantire una probabilità di blocco del 6%, dire quanti canali deve avere a disposizione la stazione radio base. 3. Una linea di trasmissione a 64 kb/s è utilizzata contemporaneamente da due applicazioni, un videogioco su rete (A) e un browser web (B). Queste generano flussi di pacchetti Poisson indipendenti con tassi λ A =10 pkt/s e λ B =2 pkt/s, con pacchetti che hanno lunghezza costante e pari a 500 byte nel primo caso, esponenziale con media pari a 1000 byte nel secondo. Stabilire il tempo di attesa in coda dei pacchetti dell applicazione B nel caso in cui non si usi alcuna priorità, e nel caso si usi una strategia con priorità non-preemptive a favore dei pacchetti dell applicazione A. 4. In un ufficio ci sono quattro impiegati che si possono schematizzare come una rete Jacksoniana di code M/M/1. Gli utenti arrivano con tasso λ = 64 e vanno con uguale probabilità nelle quattro code (q si = 0.25). All uscita da una coda gli utenti con uguale probabilità escono dal sistema oppure entrano nella coda successiva (q id = q i,i+1 = 0.5) eccetto quelli della quarta coda che escono certamente dal sistema (q 4d = 1). Sapendo che il tasso di servizio in ogni coda è µ = 40 determinare 1. il tempo medio di permanenza nel sistema; 2. la probabilità che un cliente in uscita dall ufficio provenga dalla coda 1; 3. la probabilità che ci siano lo stesso numero di clienti nelle code 1 e 4; 4. la probabilità che ci siano più clienti nella coda 1 che nella Un gestore di telefonia deve installare una piccola centrale che gestirà 5 Erlang di traffico memoryless. Sapendo che il gestore ricava 5 keuro/giorno per ogni Erlang di traffico servito, che i costi fissi sono di 5 keuro/giorno, e che un canale telefonico costa 2 keuro/giorno, determinare il numero di canali ottimo e il corrispondente guadagno del gestore. Ripetere il calcolo nell ipotesi che il gestore debba garantire per legge una probabilità di blocco minore del 10%. 6. Il pomeriggio del giovedi un professore riceve studenti che arrivano secondo un processo di Poisson, al ritmo di 3 all ora, e chiedono spiegazioni con durate che sono v.a.i.i.d. X k esponenziali 1

2 con media di 10 minuti, indipendenti dagli arrivi. Quando non ci sono studenti, il professore corregge i compiti scritti e la correzione di un compito richiede un tempo aleatorio distribuito uniformemente fra 0 e 6 minuti. Se poi arrivano studenti durante la correzione il professore può operare secondo le due strategie: 1. interrompe la correzione per riprenderla quando non c è nessuno; 2. completa la correzione in corso prima di dare spiegazioni. Qual è il tempo medio di attesa in coda degli studenti nei due casi? 7. In un quartiere di Baghdad, un ufficio registra i nuovi elettori, e per ognuno impiega un tempo esponenziale con media pari 2 minuti. Gli elettori arrivano con uguale probabilità da soli oppure coppie (quelli sposati), e fra un arrivo e l altro passa un tempo esponenziale con media pari 8 minuti. Sapendo che tutte le vv.aa.coinvolte sono indipendenti, determinare la probabilità che in un istante qualsiasi ci siano più di due elettori nell ufficio. 8. Fra i nodi A e B di una rete di telecomunicazioni a datagrammi c è un traffico di 128 pkt/s, che possono essere instradati su un primo collegamento, avente capacità di 100 pkt/s, o su un secondo avente capacità di 64 pkt/s. Supponendo di essere in ipotesi memoryless, determinare la ripartizione del traffico fra le due linee che minimizza il tempo di permanenza nel sistema dei pacchetti. 9. Ad un negozio arrivano clienti secondo un processo di Poisson con tasso λ = 4. Al banco ci sono il proprietario, che ha tempi di servizio esponenziali con durata media 1/5, e un commesso, che ha tempi di servizio esponenziali con durata media 1/3. In assenza di clienti, il proprietario sbriga altre faccende, ma se c è più di un cliente torna al banco e completa sempre i servizi cominciati. Disegnare il diagramma di stato che descrive il negozio e quindi calcolare la distribuzione di probabilità del numero di clienti nel negozio; la frazione di tempo che il proprietario dedica al servizio; la percentuale di clienti serviti dal proprietario; il tempo medio di attesa in coda del generico cliente. 10. Una stazione radio base di un gestore di telefonia mobile si trova nel punto di incontro di tre celle, e i suoi N = 21 canali possono quindi essere ripartiti (in modo rigido) fra di esse. Sapendo che il traffico offerto è di A 1 = 8, A 2 = 4 e A 3 = 6 Erlang rispettivamente, determinare se conviene allocare lo stesso numero di canali alle tre celle oppure esistono altre allocazioni che permettono di aumentare il traffico complessivo trasportato. 11. Ad un ufficio della circoscrizione arrivano clienti secondo un processo di Poisson al tasso di 6 all ora. Il disbrigo di una pratica richiede un tempo di compilazione dei moduli pari a 2 minuti per cittadini residenti (il 75%) e 6 minuti per gli altri, più un tempo aleatorio esponenziale con media pari a 4 minuti. Calcolare il tempo medio di attesa in coda dei clienti, e ripetere poi il calcolo nel caso che venga data priorità non preemptive ai cittadini residenti. 2

3 12. In un girone del purgatorio, quattro amministratori corrotti sono condannati a passare da un ufficio postale a uno sportello bancario a un ufficio del collocamento, con tempi di servizio esponenziali aventi durata media di 1, 2 e 3 ore rispettivamente, per poi ricominciare daccapo per di volte. Usando la mean-value analysis, calcolare il tempo che impiega mediamente un amministratore per fare un giro completo. 13. Ad una gioielleria a gestione familiare arrivano clienti secondo un processo di Poisson con tasso λ = 4. Al banco ci sono il proprietario e il figlio, studente, che hanno entrambi tempi di servizio esponenziali con durata media 1/4. Nella gioielleria sono ammessi non più di quattro clienti contemporaneamente, e quando si raggiunge questo stato, i nuovi clienti se ne vanno. Sapendo che tutti i tempi di arrivo e di servizio sono fra loro indipendenti, e che l unità di misura dei tempi è 1 ora, calcolare la frazione di clienti che viene rigettata all ingresso; il tempo medio di attesa dei clienti che entrano; la percentuale di tempo che il ragazzo può dedicare allo studio. Cosa cambia se, per aumentare il tempo dedicato allo studio, lo studente si occupa dei clienti solo se ce ne sono almeno 2 in negozio (e quindi il proprietario non è mai inattivo se c è almeno un cliente). 14. Ad una coda ci sono arrivi Poisson a tasso λ = 1.8 e tempi di servizio, indipendenti dagli arrivi, che sono v.a.i.i.d. U(0, 1). Per migliorare le prestazioni si stabilisce che i clienti con tempo di servizio inferiore alla media (classe 1) abbiano priorità non-preemptive sugli altri (classe 2). Calcolare come questa modifica cambi il tempo medio di attesa in coda dei clienti. 15. Ad una linea di trasmissione con capacità di 800 kbit/s arrivano in media 500 pkt/s al secondo, con interarrivi τ k U(0, 0.004). Il 90% dei pacchetti è lungo 100 byte, gli altri sono lunghi 1000 byte. Stabilire un limite superiore per il tempo di attesa in coda dei pacchetti. 16. In una rete di tre code, per la quale valgono le ipotesi del teorema di Jackson, arrivano dall esterno 100 clienti all ora, che sono instradati verso ognuna delle tre code con probabilità (c.p.) 0.3, 0.4, e 0.3 rispettivamente. I clienti che escono dalla coda 1 o dalla coda 3, escono dal sistema c.p. 0.5, oppure entrano nella coda 2. Quelli che escono dalla coda 2, escono dal sistema c.p. 0.4, oppure entrano c.p. 0.3 nella prima e c.p. 0.3 nella terza coda. Se i tre server hanno tutti tassi di servizio di 120 clienti all ora, quale sarà il tempo medio di permanenza del generico cliente nella rete? Qual è la probabilità che un cliente visiti più di una volta la coda 2? 17. Ad un sistema arriva un flusso Poisson di tasso λ di clienti i cui tempi di servizio X i sono v.a.i.i.d. Erlang(K i,µ), indipendenti dagli arrivi, dove Pr(K i = k) = (1 a)a k 1, k 1. Per λ = 1, µ = 2, e a = 1/3, determinare la probabilità che il sistema sia vuoto e il tempo medio di permanenza nel sistema. 18. Fra le sedi di New York e Boston della K-corporation durante le 12 ore diurne c è un traffico telefonico di 6 Erlang con caratteristiche memoryless, per tutti i 275 giorni lavorativi dell anno. 3

4 L azienda ha quindi deciso di affittare N linee dedicate fra le due sedi, al costo di 6600 dollari l anno per ciascuna. Il centralino smisterà tutto il traffico possibile su tali linee, mentre quello in eccesso continuerà ad usare le linee dell operatore telefonico. Se quest ultimo fa pagare 0.1 dollari al minuto per ogni sua linea occupata, qual è il numero ottimo di linee dedicate da affittare e quale sarà il risparmio annuo? 19. I clienti che giungono ad un ufficio pubblico hanno tempi interarrivo i.i.d. τ i U(0,20). I tempi di servizio sono anch essi i.i.d. e uniformi X i U(0,32) indipendenti dagli arrivi. All ingresso i clienti sono numerati, quelli dispari vanno al primo sportello, quelli pari al secondo. Stabilire un limite superiore per il tempo medio di attesa in coda dei clienti a regime. 20. In una rete a canale condiviso che usa la tecnica di accesso ALOHA slotted sono presenti 155 stazioni. In ogni time-slot, le stazioni trasmettono con probabilità q t = , se non hanno traffico arretrato e q r altrimenti. Determinare la q r che massimizza il throughput in condizioni di stabilità e dire quante stazioni hanno traffico arretrato. Calcolare il numero medio di time-slot S necessari affinchè una stazione riesca a trasmettere con successo una frame che ha sofferto una collisione. Per ridurre S, il gestore del sistema prova a raddoppiare q r. Procedendo graficamente e/o per tentativi, determinare come varia il throughput in questa nuova situazione e quali sono i nuovi valori di S e del numero di stazioni arretrate. 21. In un salone da barbiere lavorano due barbieri esperti ed un apprendista, caratterizzati da tempi di servizio esponenziali con parametri (in [h 1 ]) µ E = 2 per gli esperti e µ A = 1.5 per l apprendista. I clienti arrivano secondo un processo di Poisson di parametro λ = 4, (arrivi e tempi di servizio sono indipendenti) ma se trovano tutti i barbieri occupati vanno a sbrigare altre faccende e non tornano. Se arriva un cliente quando gli esperti sono entrambi impegnati se ne occupa l apprendista, ma solo fino a quando uno degli esperti non si libera. Determinare: 1. il diagramma degli stati che modella questo sistema; 2. la probabilità che un cliente trovi tutti i barbieri occupati; 3. la probabilità che l apprendista riesca a terminare un taglio iniziato; 4. il diagramma degli stati nel caso che l apprendista porti comunque a termine i tagli iniziati. 22. Il signor K ha solo 6 minuti per fare il biglietto prima di perdere il treno Alla biglietteria ci sono due cassieri, con tempi di servizio che sono v.a.i.i.d. esponenziali con media di 1 minuto e 2 minuti rispettivamente. Davanti al cassiere veloce ci sono due persone in coda più una in servizio, mentre davanti a quello lento c è solo una persona in servizio e nessuno in coda. A quale fila conviene che si accodi il signor K per minimizzare la probabilità di perdere il treno? 23. Un gestore di servizi telefonici ha 12 canali a disposizione per fornire due tipi di servizio, X e Y. Gli utenti offrono 8 Erlang di traffico di tipo X e 3 Erlang di tipo Y. Se i canali devono essere allocati rigidamente all uno o all altro servizio (Nx+Ny=12), e il gestore fa pagare 1 Euro/min per il servizio X e 3 Euro/min per quello Y, qual è l allocazione che massimizza il profitto? 4

5 24. A una fotocopiatrice arrivano utenti secondo un processo di Poisson al ritmo di 1 al minuto. Il 75% degli utenti devono riprodurre fogli sciolti ed hanno tempi di servizio i.i.d. esponenziali con media 0.5 minuti, gli altri fotocopiano volumi ed hanno tempi di servizio esponenziali con media 2 minuti, tutti indipendenti fra loro e dagli arrivi. Determinare il tempo medio di attesa in coda nei casi che 1. non si usino priorità; 2. si dia priorità non-preemptive agli utenti con fogli sciolti; 3. si dia priorità preemptive-resume agli stessi utenti. 25. Un sistema con due server e senza sezione di attesa gestisce clienti di due tipi, caratterizzati entrambi da interarrivi esponenziali, con tassi λ 1 = 1 e λ 2 = 2, e tempi di servizio esponenziali, con tassi µ 1 = 2 e µ 2 = 4, tutti indipendenti fra loro. Determinare la probabilità di blocco per i clienti di due tipi e quella media. Come cambiano tali probabilità se il sistema impedisce la presenza contemporanea di due clienti di tipo 1? 26. Ad una linea di trasmissione arrivano pacchetti secondo un processo di Poisson con tasso λ = 15. Il tempo di servizio dei pacchetti è una v.a. esponenziale con media pari a 1/20, e arrivi e tempi di servizio sono indipendenti. Valutare il tempo medio d attesa in coda W. Per ridurre l attesa, si decide di dare priorità non-preemptive ai pacchetti il cui tempo di servizio sia inferiore a = (ln 2)/µ, con µ tasso di servizio. Per questa nuova situazione, calcolati X 1 e X 2 (tenendo presente che X non cambia) valutare W 1 e W 2, i tempi medi d attesa in coda per i pacchetti di classe 1 e 2, e W tempo medio d attesa in coda complessivo. 27. Una rete locale adotta a livello MAC il protocollo ALOHA puro. Dal livello di rete arrivano pacchetti che, insieme alle frame ritrasmesse, formano un flusso Poisson di tentate trasmissioni a tasso λ = 2. La lunghezza delle frame è invece una v.a. esponenziale con media 1. Determinare le probabilità che una trasmissione abbia successo; due trasmissioni consecutive abbiano successo; una frame collida con la frame successiva; una frame collida con entrambe le frame successive. 28. Un villaggio vacanze dispone di un centro con un fast-food, un ristorante, una discoteca e un cabaret. Nel centro arrivano clienti di quattro tipi, che frequentano nell ordine, A: fast-food + discoteca (λ A = 100); B: fast-food + cabaret (λ B = 20); C: ristorante + discoteca (λ C = 20); D: ristorante + cabaret (λ D = 40); dove i tassi di arrivo sono dati in clienti all ora. Sapendo che nel fast-food si rimane mediamente mezz ora, che nel cabaret si trovano mediamente 90 persone e in discoteca 240, e che i clienti di 5

6 tipo C restano nel centro mediamente per tre ore e mezza, stabilire il numero medio di persone che si trova nel centro e il loro tempo medio di permanenza. 29. I clienti che giungono ad un ufficio postale, secondo un processo di Poisson con tasso 1/5 clienti/minuto, effettuano operazioni che hanno durata aleatoria uniforme fra 0 e 12 minuti. Essi sono suddivisi su due file: nella prima vanno quelli con operazioni di durata fino a 9 minuti, nella seconda quelli con operazioni di 9 minuti o più. Dovendo effettuare una operazione di durata 9 minuti, e potendo perciò scegliere, in quale fila conviene accodarsi? 30. Ad un ristorante dotato di K tavoli, arrivano gruppi di clienti secondo un processo memoryless con tasso dipendente dallo stato, λ n = (n + 1)λ, dove n è il numero di tavoli occupati e si assume che ogni gruppo occupi un tavolo. Se un gruppo non trova tavoli liberi abbandona il ristorante, altrimenti vi resta per un tempo esponenziale di parametro µ indipendente da quelli degli altri gruppi e dagli arrivi. Modellare opportunamente il sistema nell ipotesi di poterlo considerare a regime, ricavando diagramma degli stati e distribuzione di probabilità p n. Determinare poi il numero medio di tavoli occupati ed il throughput in gruppi/ora nel caso di λ = µ = 1 e N = In una rete locale che usa il protocollo Token Ring, ogni stazione accetta pacchetti dallo strato di rete fino a quando non ha finito di ricevere il token, quindi trasmette tutti i pacchetti che si trovano in coda. Determinare il tempo medio di attesa in coda dei pacchetti, sapendo che la capacità di canale è C = 1 Gbit/s, la velocità di propagazione nel mezzo è c = km/s, le 20 stazioni presenti sono a 40 metri l una dall altra, il traffico in ingresso dallo strato di rete è di tipo Poisson, con tasso λ = pacchetti al secondo, e si distribuisce equamente fra le diverse stazioni, la lunghezza dei pacchetti è una v.a. esponenziale con media 4000 bit, e assumendo che il tempo di passaggio del token sia legato alla sola propagazione nel mezzo. Come cambia il tempo di attesa se ogni stazione trasmette un solo pacchetto per ogni possesso del token? 32. Un circuito virtuale con controllo di flusso a finestra è modellato con la rete di code chiusa Jacksoniana mostrata in figura, dove i tassi di servizio delle code sono di 10, 5, 5 e 5 pkt/s rispettivamente. Sapendo che ad ogni biforcazione l instradamento è equiprobabile, determinare la dimensione N della finestra in modo che il throughput fra A e B sia almeno 9 pkt/s. 4 A 2 B 1 3 6

7 33. Ad un calcolatore multitasking, arrivano task da elaborare secondo un processo di Poisson con tasso λ=2 [min 1 ]. I tempi di elaborazione (CPU-time) dei task sono variabili aleatorie esponenziali, indipendenti fra loro e dagli arrivi, e di parametro µ=4 [min 1 ]. Tutti i task che arrivano vanno immediatamente in servizio, e istante per istante la CPU viene ripartita equamente fra tutti i task in corso. Trovato il modello di coda che rappresenta correttamente questo sistema, calcolare: la probabilità che a regime vi siano n task in corso; il tempo medio di permanenza nel sistema di un generico task; la probabilità che un task da 3 minuti di CPU resti nel sistema esattamente 3 minuti. 34. In una coda è attivo un server con tempi di servizio esponenziali a tasso µ = 5, e ci sono arrivi secondo un processo di Poisson con tasso λ = 3, indipendente dai tempi di servizio. Quanti posti ci devono essere nel sistema (compreso il posto di servizio) per garantire una probabilità di blocco p B < 0.02? Si supponga ora che i clienti che trovano la coda piena, invece di abbandonare per sempre il sistema, ritornino dopo un certo tempo aleatorio, senza turbare il carattere Poisson del traffico, fino a quando infine non riescono a entrare nel sistema. Suggerire un procedimento per determinare, in questa nuova condizione, il tasso complessivo λ TOT di arrivi (nuovi più ritorni) nel sistema. 35. Una società di telefonia ha a disposizione un totale di N=13 canali per gestire 3 distinti flussi di traffico telefonico. Determinare, per tentativi, l allocazione dei canali che massimizza il profitto del gestore, per flussi di traffico di A 1 =1, A 2 =2, e A 3 =4 Erlang rispettivamente. Ripetere l allocazione nel caso in cui si debba garantire a tutti per legge una probabilità di blocco minore di 0.15, e valutare l aumento del traffico perso con questo vincolo. 36. Ad una coda a singolo server arrivano clienti di tre tipi con le seguenti caratteristiche 1. λ 1 = 6 clienti/ora, tempo di servizio deterministico di 1 minuto; 2. λ 2 = 6 clienti/ora, tempo di servizio esponenziale con media 3 minuti; 3. λ 3 = 8 clienti/ora, tempo di servizio uniforme fra 0 e 6 minuti. con arrivi e tempi di servizio tutti indipendenti fra loro. Determinare il tempo medio di attesa in coda dei clienti nei casi di disciplina di servizio FIFO, priorità non-preemptive, e priorità preemptive-resume. 37. Il signor K deve prendere un treno che parte nel giro di pochi minuti, ma deve ancora fare il biglietto. Alla biglietteria ci sono due sportelli, con code separate, entrambe con 8 persone in fila più una in servizio, quando arriva il signor K. I tempi di servizio dei due cassieri sono v.a.i.i.d. Esponenziali, con media di 1 minuto e 2 minuti rispettivamente. Quanto tempo impiega mediamente il signor K per ottenere il suo biglietto se sceglie a caso la coda in cui inserirsi? Mentre arriva, il signor K osserva che il cassiere di sinistra finisce di servire un cliente (subito rimpiazzato da un nuovo arrivo in coda). Alla luce di questa osservazione, qual è la probabilità che il cassiere di sinistra sia quello più veloce? Se il signor K si butta a sinistra, quanto tempo riuscirà a risparmiare in media rispetto alla scelta casuale? 7

8 38. Una banca dispone di due sportelli, serviti da una singola coda, presso i quali i clienti vengono serviti con tempi esponenziali di media 6 minuti. Per impedire un eccessivo affollamento nei locali della banca, i clienti vengono fatti attendere fuori e lasciati accedere a gruppi di 8 nel momento in cui il penultimo cliente presente viene servito. Assumendo che all esterno ci siano sempre clienti, valutare la probabilità che in banca ci siano n clienti e il tempo medio di permanenza in banca dei clienti che riescono a entrare. 39. Un call center deve gestire un flusso Poisson di chiamate che arrivano al ritmo di 75 all ora. Una generica chiamata ha durata esponenziale con media 4 minuti, e nel caso che tutti gli addetti siano già occupati viene messa in coda. Determinare il numero minimo di addetti che garantisce di soddisfare entrambe le condizioni: probabilità di andare in coda inferiore al 20%; probabilità di restare in coda per più di 5 minuti inferiore all 1% 40. Un autolavaggio ha un tempo di servizio fisso pari a 10 minuti. Sapendo che la domenica gli arrivi sono caratterizzati da un processo di Poisson con tasso λ=5 [h 1 ] e ipotizzando di trovarsi a regime, stabilire 1. il tempo medio di attesa in coda 2. la probabilità di dover attendere in coda per più di venti minuti 41. Ad un server arriva un nuovo processo da elaborare ogni 10 secondi esatti, e i tempi di elaborazione sono v.a.i.i.d. esponenziali con durata media pari a 8 secondi. Se nel sistema è presente un processo, qual è la probabilità che la sua elaborazione sia completata prima che ne arrivi uno nuovo? 8