Teoria delle File di Attesa

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1 Teoria delle File di Attesa Una coda, o fila di attesa, si forma quando degli utenti attendono di essere serviti da uno o più serventi. Esempi: Studenti agli sportelli della segreteria Utenti di un centro di calcolo Programmi eseguiti in multiprogrammazione Dati che devono essere trasmessi da un satellite. Teoria dei Fenomeni Aleatori 1/49

2 Sistemi di Servizio Serventi Sorgenti di traffico 1 2 Capacità =K 1 2 S Coda N Stazione di servizio Strutture di un sistema di servizio Teoria dei Fenomeni Aleatori 2/49

3 Sistemi di Servizio In un sistema di servizio in generale risultano aleatori: Gli istanti di tempo in cui si generano le richieste di servizio. Si deve ricorrere ad una descrizione statistica dei tempi di interarrivo delle richieste oppure del numero delle richieste nell unità di tempo. La durata di ogni servizio. Teoria dei Fenomeni Aleatori 3/49

4 Teoria delle Code Sistemi di Flusso e di Servizio ( Queuing Systems ) File di Attesa Un punto di Poisson può rappresentare l arrivo di un utente: o persona ad uno sportello o richiesta di collegamento ad un centralino telefonico o pacchetto dati ad uno switch.... con assegnata intensità (o frequenza di arrivo ): valore atteso del numero di arrivi in Teoria dei Fenomeni Aleatori 4/49

5 Tempo di Interarrivo Il tempo di interarrivo è una v.a., che nel caso Markoviano ha densità di probabilità esponenziale con parametro : t t Teoria dei Fenomeni Aleatori 5/49

6 Tempo di Servizio e Tempo Totale Utenti SERVIZIO Utenti serviti Nel caso Markoviano il tempo di servizio è una v.a. con distribuzione esponenziale di intensità : Il tempo totale speso nel sistema è e dipende dalle leggi di arrivo e di servizio, cioè da e. Teoria dei Fenomeni Aleatori 6/49

7 Numero di utenti nel sistema: Per definizione, il numero medio di arrivi per unità di tempo è ed il numero medio di servizi per unità di tempo è. Utenti 10 : arrivi : servizi nt () = numero di utenti nel sistema 5 nt () 1 0 tempo Teoria dei Fenomeni Aleatori 7/49

8 Numero di utenti nel sistema: Il numero di utenti nel sistema all istante è una v.a. che dipende dalla: statistica degli arrivi; statistica del tempo di servizio; condizioni iniziali. Un sistema di servizio può essere trattato tramite la Teoria dei Processi di Nascita e Morte. Teoria dei Fenomeni Aleatori 8/49

9 Processi di Nascita e Morte Sono processi di Markov in cui sono permesse solo le transizioni tra stati contigui:. j 1 j j + 1 Interessa il caso tempo-continuo con transizioni permesse solo da/a stati contigui: Nascita: da a Morte: da a Teoria dei Fenomeni Aleatori 9/49

10 Processi di Nascita e Morte Nascita i 1 i i + 1 Morte Tasso di nascite per popolazione di dimensione i: Tasso di morti per popolazione di dimensione i: e dipendono dallo stato ma non dal tempo (Catena di Markov omogenea). Teoria dei Fenomeni Aleatori 10/49

11 Sistemi di Servizio Un sistema di servizio è definito da: Il numero S delle sorgenti che generano richieste di servizio. La statistica delle richieste di servizio. La capacita K della coda (massimo numero di richieste che possono essere messe in attesa). La modalità di gestione della fila di attesa. Il numero N dei serventi. La statistica della durata dei servizi. Teoria dei Fenomeni Aleatori 11/49

12 Sistemi di Servizio Nella pratica S, K ed N sono finiti, ma dai casi limite per: S, K, N risultano modelli semplificati che sono di particolare utilità in alcune applicazioni. Teoria dei Fenomeni Aleatori 12/49

13 Classificazione dei Sistemi di Servizio Sistemi a pura perdita: Una richiesta di servizio viene soddisfatta senza attesa se c è un servente libero, altrimenti viene rifiutata. Sistemi a pura attesa: S K N Tutte le richieste vengono soddisfatte. Sistemi ad attesa con perdite: S N K Teoria dei Fenomeni Aleatori 13/49

14 Descrizione Sintetica di un Sistema di Servizio Notazione di Kendall, costituita da 5 simboli: in cui A/A/N/K/S 1 2 A 1 definisce la distribuzione dei tempi di interarrivo A 2 definisce la distribuzione dei tempi di servizio N numero di serventi; K capacità della coda; S numero di sorgenti. Teoria dei Fenomeni Aleatori 14/49

15 Descrizione Sintetica di un Sistema di Servizio Per A 1 ed A 2 i simboli più usati sono i seguenti: (Markoviana: senza memoria, si vedano le proprietà del processo di Poisson) di ordine m di ordine m (costante) (descritta dal solo valore medio) Se K ed S non figurano, si intendono di valore infinito. Teoria dei Fenomeni Aleatori 15/49

16 Modalità di Gestione della File di Attesa I casi più frequenti sono: FIFO (First In First Out) o FCFS (First Come First Served) LIFO (Last In First Out) o LCFS (Last Come First Served) SJF (Shortest Job First) LJF (Largest Job First) Teoria dei Fenomeni Aleatori 16/49

17 Processi di Nascita e Morte La grandezza di interesse è il numero di utenti presenti nel sistema di servizio (o perché in coda o perché vengono serviti). Esso costituisce il valore del processo, denominato stato del processo. Indichiamo con X t il valore (stato) del processo all istante t. X t è un intero non negativo. Teoria dei Fenomeni Aleatori 17/49

18 Proprietà dei Processi di Nascita e Morte X t è un processo di Markov del primo ordine, cioè gode della proprietà di assenza di memoria. La probabilità che si verificano nascite o morti a gruppi, con h intervallo di durata molto piccola, è un infinitesimo di ordine superiore ad h: P X t h j X t i o h j i 2 Teoria dei Fenomeni Aleatori 18/49

19 Proprietà dei Processi di Nascita e Morte La probabilità che si verifichi una nascita: i P X t h i 1 X t i h o h con h intervallo di durata molto piccola, dipende dallo stato attuale del processo (cioè da i) ed è proporzionale (con coefficiente di proporzionalità i) alla durata dell intervallo h. Teoria dei Fenomeni Aleatori 19/49

20 Proprietà dei Processi di Nascita e Morte La probabilità che si verifichi una morte i P X t h i 1 X t i h o h con h intervallo di durata molto piccola, dipende dallo stato attuale del processo ed è proporzionale (con coefficiente di proporzionalità i generalmente diverso da quello delle nascite i) alla durata dell intervallo. I parametri i e nascita e di morte. i sono dette rispettivamente frequenze di Teoria dei Fenomeni Aleatori 20/49

21 Processi di Nascita e Morte Si possono considerare i seguenti eventi: A Avviene una Nascita in un intervallo infinitesimo B X t i 1 e X t dt i (è possibile solo se i 1) Avviene una Morte in un intervallo infinitesimo C X t i 1 e X t dt i Non Avvengono né Nascite né Morti X t dt X t i Teoria dei Fenomeni Aleatori 21/49

22 Processi di Nascita e Morte Per le proprietà dei processi di nascita e morte si ha: (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore) P A P B i1 i1 dt dt P C 1 dt 1 dt 1 dt i i i i Teoria dei Fenomeni Aleatori 22/49

23 Processi di Nascita e Morte Per il teorema della probabilità totale, la probabilità che il processo abbia valore i all istante t P X tdt i dt è allora: P X t i1 P A P X t i1 P B P X t i P C P X t i1 i 1dtP X t i1 i 1dtP X t i 1 ii dt Questa espressione si può opportunamente riscrivere sotto forma di equazione differenziale: dp X t i P X tdt i P X t i dt dt P X t i1 P X t i1 P X t i i1 i1 i i (1) Teoria dei Fenomeni Aleatori 23/49

24 Processi di Nascita e Morte Nel caso particolare in cui i 0 si ha: 1 0 e 0 0 dp X t 0 dt P X t 1 P X t 0 (2) 1 0 La soluzione delle (1) e (2) non è in generale agevole, inoltre occorre conoscere la distribuzione di probabilità degli stati del processo a regime, cioè in condizioni di stazionarietà. Questa distribuzione si ottiene ponendo: dp X t i dp X t dt dt Teoria dei Fenomeni Aleatori 24/49

25 Da dp X t 0 dt Dalla (1) per i = 1 si ha: Processi di Nascita e Morte 0 si ottiene: 0 P X t 1 PX t 0 1 (3) P X t 0 P X t 2 P X t sostituendo la (3) in quest ultima equazione, si ottiene: PX t 2 PX t 0 PX t Teoria dei Fenomeni Aleatori 25/49

26 Processi di Nascita e Morte Ripetendo la procedura per i = 2 si ottiene: PX t 3 PX t 0 PX t 2 In generale risulta: Oppure: n 1 P X t n P X t 0 i (4) i0 i1 P X t n n P X t n1 n1 (5) Teoria dei Fenomeni Aleatori 26/49

27 La formula: Processi di Nascita e Morte n 1 P X t n P X t 0 non permette ancora di ricavare le probabilità degli stati del processo in quanto dipende da incognita. i0 P X t 0 i i1 che è ancora Teoria dei Fenomeni Aleatori 27/49

28 Processi di Nascita e Morte Utilizzando la condizione che la somma delle probabilità di tutti gli stati deve esse unitaria, e ricordando che il numero massimo di utenti nel sistema è la somma del numero di serventi N e del numero K di posti in attesa: NK i0 P X t i 1 NK P X t 0 P X t i 1 utilizzando la (4), si ottiene: i1 Teoria dei Fenomeni Aleatori 28/49

29 Processi di Nascita e Morte NK i1 j P X t 0 P X t 0 1 i1 j0 NK i1 j P X t i 1 j 0 j1 1 PX t 0 NK i1 j 1 i1 j0 j1 j1 Teoria dei Fenomeni Aleatori 29/49

30 Processi di Nascita e Morte Affinché esista una distribuzione di probabilità degli stati a regime P X t 0 0 deve essere verificata: NK i1 j (condizione di stabilità) (7) i1 j0 j1 altrimenti sia lo stato 0 che tutti gli altri stati avrebbero probabilità nulla. La condizione di stabilità è certamente soddisfatta se il numero di stati del sistema (e quindi N + K) è finito. Teoria dei Fenomeni Aleatori 30/49

31 Rappresentazione di un Processo di Nascita e Morte Grafo di transizione degli stati N+K N + K Le equazioni: N+K P X t n P X t n1 n n 1 vengono dette equazioni di bilanciamento. Teoria dei Fenomeni Aleatori 31/49

32 Fattore di Utilizzazione Si definisce fattore di utilizzazione la probabilità di utilizzo e quindi (supponendo il processo stazionario ed ergodico) il valore atteso della frazione di tempo in cui il sistema è utilizzato. 0 NK i1 P P X t 0 si ricava: 1 n1 1 n1 i0 n1 n1 i0 1 i1 j0 i i1 i i1 j j1 (8) Teoria dei Fenomeni Aleatori 32/49

33 Code M/M/1 Si consideri il caso stazionario di: Arrivi e partenze Markoviane, parametri fissi: n e n per n 1,2,3,... Un solo servente. La coda può essere comunque lunga (capacità infinita) N Grafo di transizione degli stati per la coda M/M/1 Teoria dei Fenomeni Aleatori 33/49

34 Utilizzando la (7): Code M/M/1 n1 i 1 n1 i0 i1 n1 Si ottiene la condizione di stabilità: 1 (per la serie diverge) n Il fattore di utilizzazione e, valgono: Teoria dei Fenomeni Aleatori 34/49

35 Ricordando l espressione: Code M/M/1 n 1 n1 i P P X t n P X t 0 P i n 0 i 0 i1 i0 i1 essendo, si ottiene: n P n P0 1 cioè la distribuzione Geometrica di parametro. n Teoria dei Fenomeni Aleatori 35/49

36 Code M/M/1 Distribuzione stazionaria del numero di utenti Grandi valori di (cioè elevate occupazioni) sono più probabili per vicino all unità piuttosto che per bassi. Teoria dei Fenomeni Aleatori 36/49

37 Code M/M/1 La probabilità che l unico servente sia occupato è: P X t 0 1P X t 0 1P 1 1 Numero medio di utenti nel sistema: n EnnP 1 n 1 n n0 n0 cioè tende a infinito per 1. 0 Se si vuole un elevato fattore di utilizzazione occorre accettare una coda alquanto lunga! Teoria dei Fenomeni Aleatori 37/49

38 Code M/M/ Si consideri un sistema con un numero illimitato di serventi (N infinito), per cui ogni utente che entra nel sistema trova un servente libero (lunghezza nulla della coda). Siano:, per n 1,2,3, N 2 3 N (N+1) Grafo di transizione degli stati per la coda M/M/ Teoria dei Fenomeni Aleatori 38/49

39 Inserendo in: P Code M/M/ n1 i n P 0, si ha: i0 i1 n Dall espressione generale di: dalle (a) e (b) si ottiene: 1 1 Pn P0 P n1 0 n! i 1 i0 P 0 i P n i1 1 n 1 1 i! n e A e n e A n! n! (a) (b) (c) Teoria dei Fenomeni Aleatori 39/49

40 Code M/M/ Distribuzione del numero di utenti nel sistema P n n A e n e A n! n! Poisson di parametro: A Numero medio di utenti nel sistema: coincide col numero di serventi attivi e dipende solo dal loro rapporto tra e. A è detto intensità di traffico o brevemente traffico. Teoria dei Fenomeni Aleatori 40/49

41 Code M/M/N/ Si consideri il caso stazionario con le stesse ipotesi (processi Markoviani) dell applicazione precedente ma con N serventi. Si ha: n per n 0,1,2,... n n per 0 n N N per N n N 2 3 N N Grafo di transizione del modello M/M/N/ Teoria dei Fenomeni Aleatori 41/49

42 Code M/M/N/ Finché ci sono serventi liberi l utente viene servito immediatamente, viceversa quando le N stazioni di servizio sono occupate l utente è in coda. E' questo il caso di un servizio "con prenotazione". P 0 N1 K N K K! N! 1 N P P n 0 n 1 n! per n N Teoria dei Fenomeni Aleatori 42/49

43 Code M/M/N/ Si può ora calcolare la probabilità tutti occupati: N1 * P 1 P n0 * P che gli N serventi siano Utilizzando le precedenti espressioni si ricava la formula C di Erlang : N n N N! 1 N * N A P CM, P N! N A 0 N1 K N K 0 K! N! 1 N Teoria dei Fenomeni Aleatori 43/49

44 Code M/M/N/0 Nel sistema M/M/N/0 quando tutti gli N serventi sono occupati l utente viene rifiutato (sistema "a perdita"). Esempio: servizio telefonico con N linee disponibili in centrale. Si ha quindi: se n N n 0 se n N n n N 2 3 N Grafo di transizione del modello M/M/N/0 Teoria dei Fenomeni Aleatori 44/49

45 Code M/M/N/0 Distribuzione del numero di utenti nel sistema n 1 n i 0 0 n i0 i1 1 P P n N P n! 0 n N n1 1 N n i 1 P0 1 1 n 1 i 0 i1 n! n1 di conseguenza: n 1 n! Pn N n 1 n N n! n0 1 Teoria dei Fenomeni Aleatori 45/49

46 Code M/M/N/0 Ponendo n = N si ricava la probabilità che l utente venga rifiutato perché gli N serventi sono occupati. Nell esempio del servizio telefonico con N linee disponibili, la probabilità di trovare occupato, è nota come formula B di Erlang: B N, n0 N N 1 N! n 1 n! Teoria dei Fenomeni Aleatori 46/49

47 MISURA DEL TRAFFICO Il rapporto coincide con il traffico, misurato in Erlang. Nel caso della telefonia, un utente che è sempre attivo offre il traffico di 1 Erlang (E) in quanto occupa una linea telefonica per il 100 % del tempo. Più realisticamente, un utente attivo al 10 % del tempo offre il traffico di: 0.1 E. 10 di tali utenti offrono il traffico di 1 E. Se ad uno sportello arrivano in media 2 persone al minuto, ed il tempo medio per svolgere il servizio di sportello è di 12 secondi, si ha (in ): Erlang. e che corrisponde a 0.4 Teoria dei Fenomeni Aleatori 47/49

48 ESEMPIO Una centralina telefonica serve un traffico offerto di 5 E (Erlang), ad esempio 50 utenti, ciascuno dei quali offre 0.1 E, cioè occupa il sistema al 10 %. a) Dimensionare il numero di collegamenti tra centralina e utenti in modo che la probabilità di perdita (di trovare occupato) sia al più l uno per cento. b) Calcolare il fattore di utilizzazione di una linea. Teoria dei Fenomeni Aleatori 48/49

49 ESEMPIO (Soluzione) (a) Si calcola la formula B di Erlang per in funzione dei valori crescenti del numero di serventi, cioè di linee: Per, Per, Quindi si sceglie. (b) Traffico smaltito:. Fattore di utilizzazione:. Commento: Per consentire una buona qualità del servizio occorre utilizzare le linee a meno del 50 %. Teoria dei Fenomeni Aleatori 49/49