Esercizi di dimensionamento dei sistemi di commutazione telefonica

Transcript

1 Politecnico di Milano Sede di Cremona A.A. 2013/20134 Corso di RETI DI COMUNICAZIONE ED INTERNET Modulo 1 Esercizi di dimensionamento dei sistemi di commutazione telefonica Antonio Corghi

2 Modelli di commutazione per sistemi telefonici q Le sorgenti di traffico telefonico presentano richieste di connessione (tentativi di chiamata). q Il servente del sistema di commutazione (indicato con il termine generico di giunzione) esplica le funzioni necessarie a supportare la chiamata. q Si indica con il termine congestione la condizione in cui si trova il sistema di commutazione quando, al presentarsi di un tentativo di chiamata, non è in grado di effettuare la connessione. Derivati Centrale telefonica Giunzione PSTN Linee Lucido 2

3 Sistemi a coda multiservente a perdita S n Sorgenti di traffico Serventi q La richiesta in arrivo è servita subito se trova almeno una risorsa (servente) disponibile, altrimenti è rifiutata. q Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio delle reti telefoniche. Lucido 3

4 Tentativi di chiamata q Per modellare i sistemi a perdita si può assumere una delle tre seguenti ipotesi relative al comportamento di una sorgente quando riceve un rifiuto ad un suo tentativo di chiamata: la sorgente che incontra congestione desiste immediatamente dal richiedere servizio e riprova dopo un intervallo di tempo che risulta dalla realizzazione del processo di ingresso (ipotesi CPS-Chiamate Perdute Sparite) la sorgente che incontra congestione insiste per un tempo non superiore a quello della durata della chiamata (θ) e se dopo un tempo t<θ la richiesta viene accolta la chiamata dura θ - t (ipotesi CPT-Chiamate Perdute Tenute) la sorgente insiste indefinitamente nella richiesta di servizio fino a quando la chiamata non verrà accettata (ipotesi CPR-Chiamate Perdute Ripetute) Lucido 4

5 Modelli per i sistemi di commutazione telefonica q Ipotesi: tempi di interarrivo con distribuzione esponenziale negativa (λ); tempi di servizio con distribuzione esponenziale negativa (µ); processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti. S serventi, statisticamente identici ed indipendenti; capacità nulla della fila d attesa; la connessione delle sorgenti alle risorse e la loro disconnessione avvengono istantaneamente; le risorse del sistema di commutazione (S giunzioni) sono individualmente e indipendentemente assegnabili, equivalenti e completamente condivise (fascio perfetto) vale l ipotesi Chiamate Perdute Sparite. Lucido 5

6 Evoluzione di un sistema telefonico Tempi di servizio Numero di serven- occupa- Chiamata 1 Chiamata 2 Chiamata 3 Chiamata 4 Chiamata 5 Chiamata 6 Arrivi Partenze Lucido 6

7 Parametri prestazionali q In questo contesto è di particolare importanza il calcolo delle due misure di congestione: probabilità di congestione temporale (indicata anche come probabilità di blocco) che rappresenta tempo in cui il sistema è in congestione rispetto al tempo totale: S p = P(sistema bloccato) = P(k=S) = P s probabilità di congestione di chiamata (probabilità di rifiuto), che rappresenta il numero di tentativi di chiamata rifiutati rispetto al numero totale ti tentativi di chiamata π p = P(rifiuto) = P(sistema bloccato r.s.o.) = = Sp P(r.s.o sistema bloccato) / P(r.s.o) Lucido 7

8 Sistema a coda M/M/S/S (1) q Scrivendo gli equilibri ai tagli si ha: q E più in generale: N.B. ρ viene anche indicato con la notazione A O e rappresenta il traffico offerto, misurato in Erlang λ λ λ λ λ S-1 S µ 2µ 3µ (S-1)µ Sµ Lucido 8

9 Sistema a coda M/M/S/S (2) q Applicando la condizione di normalizzazione si ottiene: q La probabilità di trovarsi nello stato k si scrive quindi come: q Dipende solo dal traffico offerto e dal numero di giunzioni! q Il traffico offerto non deve essere strettamente minore di 1 Lucido 9

10 Sistema a coda M/M/S/S (3) q Nessun nuovo ingresso è accettato quando il sistema ha tutti gli S serventi occupati. Pertanto la probabilità di blocco del sistema, che coincide con la probabilità di rifiuto di un nuovo tentativo di chiamata, è la probabilità di avere il sistema nello stato S FORMULA DI ERLANG B Lucido 10

11 Parametri prestazionali q Intensità media di traffico smaltito As, che rappresenta il numero medio di serventi contemporaneamente occupati, dipende da Ao e dal numero di serventi S: q Intensità di traffico rifiutato q Coefficiente di utilizzazione del servente Lucido 11

12 Erlang B (1) La probabilità di rifiuto, a parità di Ao, decresce al crescere del numero di serventi S Lucido 12

13 Erlang B (2) A parità di S la probabilità di rifiuto è una funzione monotona crescente di Ao Lucido 13

14 Tabella di Erlang B (1) n Loss probability (E) n Lucido 14

15 Tabella di Erlang B (2) n Loss probability (E) n n Loss probability (E) n Lucido 15

16 Tabella di Erlang B (3) Lucido 16

17 Efficienza dei sistemi più grandi (1) q A parità di congestione di chiamata sistemi con elevato numero di serventi presentano, in condizioni di equilibrio statistico, un rendimento migliore rispetto a sistemi con pochi serventi. q Esempio Traffico offerto ad una linea telefonica Ao=100 Erl Tale traffico viene offerto ad un unico fascio di circuiti in modo tale che la probabilità di rifiuto rimanga sotto l 1% E 1,S (A O ) 0,01 à S = 117 Si supponga ora di ripartire tale traffico uniformemente su m fasci con m=2, 4, 10,25, 50, 100. Il traffico ripartito è segregato nel suo fascio. Si può notare (tabella nella slide successiva) come all aumentare di m aumenta il numero di circuiti necessari e diminuisce il coefficiente di utilizzazione di ogni singolo fascio Lucido 17

18 Efficienza dei sistemi più grandi (2) m A Oi =A O /m S S TOT =S*m π P ρ Lucido 18

19 Esercizio 1 Si consideri un centralino telefonico che raccoglie le chiamate di una grande azienda in cui si hanno 1000 utenze telefoniche, ciascuna generante un traffico di Poisson di 12mErlang. a) Dimensionare il numero di linee telefoniche per collegarsi alla Rete Telefonica Pubblica in modo da garantire una probabilità di blocco delle chiamate minore o uguale al 3% (si faccia uso della tabella allegata). b) Cosa succede al numero di linee in uscita, volendo mantenere la probabilità di blocco inferiore o uguale al 3%, se il numero di utenze telefoniche aumenta a 1300? c) Si confronti l incremento percentuale di traffico offerto con l incremento percentuale di linee che ne risulta. Lucido 19

20 Esercizio 2 q Si consideri un centralino telefonico automatico (PABX) di una grande azienda. Il centralino è collegato alla rete telefonica nazionale (RTN) tramite un certo numero di linee bidirezionali. q Si consideri inoltre che: nell ora di punta gli utenti attestati al centralino formulano mediamente 140 chiamate dirette verso la RTN; nell ora di punta il numero di chiamate provenienti dalla RTN e dirette verso gli utenti del PABX è mediamente 180; il flusso delle chiamate sia entranti che uscenti è Poissoniano; la distribuzione di probabilità delle durate delle conversazioni è di tipo esponenziale negativo con valor medio pari a 3 minuti; la modularità delle linee è pari a 4, ovvero si possono inserire linee solo a gruppi di 4; il PABX è del tipo a perdita pura. q Si determini il numero di linee necessario a garantire un grado di servizio tale per cui la congestione di chiamata non sia superiore all 1%. q Calcolare inoltre la frequenza massima delle chiamate nell ora di punta. Lucido 20

21 Esercizio 3 q Si consideri il PABX dell esempio 1 dimensionato con 28 linee bidirezionali che lo connettono alla Rete Telefonica Nazionale. q A distanza di tempo dalla sua installazione si vuole valutare la la frequenza massima delle chiamate nell ora di punta sapendo che a seguito di una campagna di misure si è riscontrato, nell ora di punta, un valore di intensità media di traffico smaltito pari a circa Erl. Lucido 21