GAS IDEALI E MACCHINE TERMICHE. G. Pugliese 1

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1 GAS IDEALI E MACCHINE TERMICHE G. Pugliese 1

2 Proprietà dei gas 1. Non hanno forma né volume proprio 2. Sono facilmente comprimibili 3. Le variabili termodinamiche più appropriate a descrivere lo stato termodinamico e le loro trasformazioni sono: la pressione P, temperatura T ed il volume (correlata da una equazione di stato). 4. I gas tendono ad uno stesso comportamento quanto più la pressione è bassa e la temperatura è alta rispetto a quella di condensazione: gas perfetti P i P i f f Trasformazione irreversibile Trasformazione reversibile Piano di Clapeyron G. Pugliese 2

3 Legge delle isoterme di Boyle T = costante p = costante p i i = p f f G. Pugliese 3

4 Legge isobare di olta-gay Lussac P = costante f = i αt Dove α è il coefficiente di dilatazione termica Mobile Manopola di regolazione Affinché la trasformazione sia reversibile: vario la manopola di quantità infinitesime dt. G. Pugliese 4

5 Legge isocore di olta-gay Lussac = costante P f = P i αt Dove α è il coefficiente di dilatazione termica Affinché la trasformazione sia reversibile: vario la manopola di quantità infinitesime dt. G. Pugliese 5

6 Legge di Avogadro Legge di Avogadro: volumi uguali di gas, nelle stesse condizioni di pressione e temperatura, contengono lo stesso numero di molecole. N A = molecole/mole Ø La mole Ø Una mole di 12 C ha la massa di 12 g Ø contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi contenuti in 12 gr dell isotopo 12 C, ossia entità elementari. Ø 1 mole di O 2 contiene Na molecole di O 2. Ø Numero di moli n: rapporto fra la massa espressa un grammi e la massa molecolare. Ø 1 mole di qualsiasi sostanza (che contiene Na = molecole, Numero di Avogadro) occupa lo stesso volume molare: m =14.14litri a T=273.15K e P=1Atm G. Pugliese 6

7 Equazione di stato dei gas perfetti 0 costante P T = P 0 αt 0 P T = 0 P 0 αt = P 0 T P T cos. T = αt 0 P = 0 P 0 αt = n m P 0 αt n moli, P 0_ = 1 atm, T 0 = K, 0 = n m 0 P T = P 0 T = P P e le coord. in un generico stato di equil. a Temp. T P = nrt p 0 α m = R = joule mole K Equazione di stato dei gas perfetti R: costante universale dei gas G. Pugliese 7

8 Lavoro termodinamico Il calore à energia che viene scambiata tra un sistema ed il suo ambiente a causa di una differenza di temperatura. Lavoroà energia scambiata tra un sistema ed il suo ambiente attraverso meccanismi indipendenti dalla differenza di temperatura. W = B A F d l Il lavoro compiuto dal sistema deve essere associato al moto di una qualche sua parte nell ambiente. W > 0 W < 0 G. Pugliese 8

9 Lavoro termodinamico Calcoliamo il lavoro compiuto su una parete mobile dalla forza dovuta alla pressione di un fluido. dx dw = Fdx = padx = pd Espansione dw > 0 Compressione dw < 0 G. Pugliese 9

10 Lavoro termodinamico P i f W = f pd i Ø significato geometrico del lavoro. Ø i l l a v o r o d i p e n d e d a l l a trasformazione da i à f Ø La forza di superficie non è conservativa Ø Trasformazione ciclica: il lavoro è pari all area racchiusa. Positivo se il ciclo è percorso in senso orario, viceversa negativo. G. Pugliese W area sottesa dalla curva i f > 0 W area sottesa dalla curva f i < 0 P 10

11 Il Lavoro dei gas ideali P A B cost. W = B pd = 0 C C p cost. W = B pd = p B d = p( B A ) A A T cost. W = A pd = C A C nrt d = nrtln A C 11

12 Lavoro termodinamico B 1 A 1 2 C 2 D W 2 = W AD +W DC W 1 = W AB +W BC W AD = D d = p A ( D A ) p A W AB = W BC = B pd = 0 A C d = p B ( C B ) B p B A C W DC = pd = 0 D 12

13 L energia interna del gas perfetto (esperienza di Joule) p = 0 W = p e Δ = 0 Pareti rigide Sperimentalmente: T costante p i Q = CΔT = 0 ΔU = Q W = 0 Espansione a i à f T costante U ( ) ( ) i, T = U f, T i e f U(,T) funzionedistato U =U( T)

14 Calori specifici molari Per un gas ideale il calore specifico o il calore molare dipende dal modo in cui il calore è scambiato, per una trasformazione infinitesima isocora o isobara: Calore specifico a volume costante Calore molare a volume costante c = 1 m dq dt =cost C = 1 n dq dt =cost Calore specifico a pressione costante Calore molare a pressione costante c P = 1 m dq dt P=cost C P = 1 n dq dt P=cost 14

15 Calori specifici molari Se c p e c v sono costanti Q = nc ΔT Q P = nc P ΔT Q W = ΔU Ossia i calori scambiati dipendo solo dalla variazione di temperatura. Consideriamo due trasformazioni, cui corrisponda la stessa ΔT: AB : Q = nc ΔT = ΔU AC : ΔU = Q P W Q P = ΔU +W A B C Δ > 0 è il gas che tende a fare un W > 0 Il calore che bisogna cedere a una mole di gas ideale per far aumentare la sua temperatura di 1 K è maggiore a pressione costante che a volume, perchè a pressione costante il gas compie anche un lavoro.

16 Consideriamo ancora le trasformazioni Relazione di Mayer nc ΔT = nc P ΔT W nc ΔT = nc P ΔT pδ nc ΔT = nc P ΔT nrδt p = nrt pd + dp = nrdt pd = nrdt Per P costante à dp= 0 c p c = R 16

17 Relazione di Mayer c p c = R γ = c c p γ = C P C = C + R C = 7 5 = 1.4 Rapporto dei calori specifici Per una gas ideale c che c p dipendono solo da T Gas monoatomici C = 3 2 R C P = 5 2 R γ = C P C = C + R C = 5 3 = 1.6 Gas biatomici C = 5 2 R C P = 7 2 R γ = C C P = C + C R = 7 =

18 Riassumiamo Ø I Principio termodinamica ΔU = Q W Ø per qualsiasi trasformazione Δ U = nc Δ T Ø cost. Q = nc ΔT P cost. QP = nc pδt Ø equazione di stato p = nrt Ø Relazioni di Mayer c p c = R 18

19 Studio di trasformazioni: adiabatica Q = 0 W = ΔU Espansione: W > 0 e ΔU < 0 il gas si raffredda. Compressione W < 0 e ΔU > 0 il gas si riscalda. Reverisibile du = nc dt dw = pd pd + dp = nrdt nc dt +dp = nrdt pd = nc dt dp = nrdt + nc dt = ndt(r + c ) = nc P dt dp = nc p dt G. Pugliese 19

20 Studio di trasformazioni: adiabatica pd = nc dt dp = nc P dt dp pd = c c P = γ dp p d γ = γ = p p f i dp p f i d ln p p f i = γ ln f i γ i p = i p p = cost G. Pugliese 20 f γ γ f

21 Pendenza della adiabatica e isoterma isoterma adiabatica P = P o o P γ = P o o γ P = P o o P = P o o γ γ dp d o 1 = P o o 2 o P = o o dp d o γ γ 1 = γ P o o 2γ o P = γ o o Ø entrambe hanno pendenza negativa Ø l adiabatica ha una pendenza γ volte maggiore

22 Studio di trasformazioni: adiabatica p γ = cost T i γ 1 γ 1 i = Tf f γ T 1 = cost Tp ( 1 γ ) / γ = cost Equazioni di una trasformazione adiabatica reversibile di una gas ideale G. Pugliese 22

23 Studio di trasformazioni: adiabatica Q = 0 W=-ΔU=-nc (T f T i ) P = nrt W= -nc nr (P f f P i i ) = W= 1 γ 1 (P i i P f f ) -c c P c (P f f P i i ) G. Pugliese 23

24 Studio di trasformazioni: isoterme ΔU = 0 Q = W Q Espansione : W > 0 e Q > 0 Compressione : W < 0 e Q < 0 Nulla del lavoro rimane immagazzinato nel gas sotto forma di energia interna p = A A p B B W = B A pd = nrt ln B A reversibile G. Pugliese 24

25 Studio di trasformazioni: isocore cost. W = 0 Q = ΔU = nc se c cost. ( T B -T ) A Tutto il calore che entra Q > 0 viene immagazzinato sotto forma di energia interna. ΔT > 0 P = nrt T A p A = T B p B T A T B = p A p B G. Pugliese 25

26 Studio di trasformazioni: isobare p cost. W = p( f i ) Q = nc p (T f T i ) ΔU = nc (T f T i ) P = nrt T A A = T B B T A T B = A B G. Pugliese 26

27 Trasformazioni cicliche Trasformazione ciclica: una trasformazione in cui lo stato finale coincide con quello iniziale. du = dq dw = 0 dq = dw Motore termico è un dispositivo che scambia calore con l ambiente e produce lavoro. Affinché il lavoro venga prodotto in modo continuativo deve operare in modo ciclico. Se viene richiesto lavoro esterno (W < 0): ciclo frigorifero. η = W tot Q ass = Q ass Q ced Q ass =1 Q ced Q ass P Sperimentalmente 0 < η <1 W < Q ass 27

28 Ciclo di Carnot ü macchina reversibile che opera tra due sorgenti (T 1 e T 2, con ) ü 2 isoterme + 2 adiabatiche ü può essere percorso da un qualsiasi fluido motore: consideriamo un gas perfetto.

29 Ciclo di Carnot ΔU = 0 AB: espansione isoterma W ab = P d = a b b nrt 1 d d = nrt b a 1 = a = nrt 1 [ ln ] b a = nrt 1 ln b > 0 a Q 1 = W AB > 0 Assorbito

30 Ciclo di Carnot Q = 0 BC: espansione adiabatica ΔU bc = nc ( T 2 T ) 1 W bc = ΔU bc = nc ( T 2 T ) 1 > 0 ΔU = 0 Cd: compressione isoterma W cd = nrt 2 ln d c < 0 Q 2 = W CD < 0 Ceduto

31 Ciclo di Carnot DA: compressione adiabatica Q = 0 ( ) ΔU da = nc T 1 T 2 W da = ΔU da = nc ( T 1 T ) 2 = W bc Rendimento del ciclo: η =1 Q ced Q ass =1 nrt 2 ln d c nrt 1 ln b a

32 Ciclo di Carnot ab isoterma bc adiabatica cd isoterma da adiabatica P a a = P b b P b γ γ b = P c c P c c = P d d P d γ γ d = P a a Moltiplicando tutti i primi membri e tutti i secondi membri tra loro P a a P b b γ P c c P d d γ = P b b P c c γ P d d P a a γ η =1 T 2 T 1 32 ln c d ln b a! # " b a γ 1 $ & %! = # c " d γ 1 $ & % η = 1 T 2 T 1 b a = c d

33 Il frigorifero n Ø n n n Il ciclo di Carnot è un ciclo reversibile Quindi può essere percorso al contrario: n Si invertono i segni degli scambi energetici n n Cambia segno di ΔU, W e Q Quelle che erano le quantità assorbite diventano cedute e viceversa quindi la macchina di Carnot al contrario n n n assorbe il lavoro W assorbe il calore Q 2 dal serbatoio più freddo cede la quantità di calore Q 1 al serbatoio più caldo Abbiamo realizzato un frigorifero Si definisce coefficiente di prestazione del frigorifero w ε = Q ass W